Тема 07 · Математика, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Периметр и площадь прямоугольника

Площади и объёмы. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Площадь — сколько квадратиков $1 \times 1$ помещается в фигуре (сколько плитки нужно на пол). Объём — сколько кубиков $1 \times 1 \times 1$ помещается в теле (сколько воды войдёт в аквариум). Периметр — длина забора вокруг фигуры. Почти любая задача сводится к прямоугольнику и прямоугольному параллелепипеду.

Прямоугольник и составные фигуры

S = a \cdot b P = 2 (a + b)

a

— длина,

b

— ширина; для квадрата

S = a^{2}

P = 4 a

Обратные задачи: $b = S : a$ ; полупериметр $a + b = P : 2$ .
Составную фигуру разрезают на прямоугольники и складывают площади — или достраивают до большого прямоугольника и вычитают лишнее. $S_{рамки} = S_{внешн .} - S_{внутр .}$
При одинаковом периметре наибольшую площадь имеет квадрат.

Периметр 108 см, длина в 2 раза больше ширины. Площадь?

Ширина — 1 часть, длина — 2 части; полупериметр $108 : 2 = 54$ см — это 3 части.
Ширина $54 : 3 = 18$ см, длина $36$ см.
$S = 18 \cdot 36 = 648$ см².

Крест из пяти одинаковых квадратов, площадь 45 см². Периметр?

Один квадрат: $45 : 5 = 9$ см², сторона $3$ см.
Граница креста состоит из 12 сторон квадратов: $12 \cdot 3 = 36$ см.

Внутренние линии разреза в периметр не входят — считаем только внешнюю границу.

Объём параллелепипеда и куба

Длина

a

, ширина

b

, высота

c

; у параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер, 8 вершин

V = a \cdot b \cdot c V_{куба} = a^{3}

V

— объём (см³, дм³, м³),

a, b, c

— длина, ширина, высота

Высота по объёму: $c = V : (a \cdot b)$ .
У куба 12 равных рёбер: ребро = сумма рёбер $: 12$ . Если $V = 216$ см³, ребро $6$ см ( $6^{3} = 216$ ), сумма рёбер $72$ см.
Сколько кубиков с ребром $k$ войдёт в коробку: $(a : k) \cdot (b : k) \cdot (c : k)$ . Для $56 \times 28 \times 35$ и $k = 7$ : $8 \cdot 4 \cdot 5 = 160$ .
Подъём воды = объём погружённого тела $:$ площадь дна.

Делить объём коробки на объём кубика можно не всегда: если размеры не делятся на ребро нацело, «хвосты» пропадут. Надёжнее считать кубики по каждому измерению.

Площадь поверхности и развёртки

S_{поверхн .} = 2 (ab + b c + a c) S_{куба} = 6 a^{2}

три пары одинаковых противоположных граней

Коробка без крышки $27 \times 32 \times 3$ см. Сколько картона?

Дно: $27 \cdot 32 = 864$ см² (одно — крышки нет).
Боковые стенки: $2 \cdot (27 \cdot 3 + 32 \cdot 3) = 2 \cdot 177 = 354$ см².
Итого $864 + 354 = 1218$ см².

Подробнее: окрашенный куб

Куб $n \times n \times n$ покрасили снаружи и распилили на кубики $1 \times 1 \times 1$ . Три окрашенные грани — у 8 угловых кубиков, две — $12 (n - 2)$ , одна — $6 (n - 2)^{2}$ , ни одной — $(n - 2)^{3}$ .

Склеенные кубы, развёртка, стены

5 кубов с ребром 7 см склеили в ряд. Площадь поверхности?

Получился параллелепипед $35 \times 7 \times 7$ см.
$S = 2 (35 \cdot 7 + 7 \cdot 7 + 35 \cdot 7) = 2 (245 + 49 + 245) = 1078$ см².
Проверка по граням: у 5 кубов $5 \cdot 6 = 30$ граней, при склейке спрятались $4 \cdot 2 = 8$ ; осталось $22$ грани по $49$ см² — $1078$ см² ✓

Развёртка — все 6 граней, разложенные на плоскости. На ней находят три разных размера (длину, ширину, высоту) и считают $V = a \cdot b \cdot c$ : развёртка с размерами 12, 4 и 3 см даёт $V = 12 \cdot 4 \cdot 3 = 144$ см³. Площадь развёртки — это площадь поверхности: $2 (12 \cdot 4 + 4 \cdot 3 + 12 \cdot 3) = 192$ см².

Стены комнаты — боковая поверхность без пола и потолка: $S_{стен} = 2 (a + b) \cdot c$ . Окна и двери вычитают. Комната $5 \times 5$ м, высота $3, 4$ м, 4 проёма по 2 м²: $2 \cdot 10 \cdot 3, 4 - 8 = 60$ м². При расходе 100 г краски на 1 м² нужно $6000$ г $= 6$ кг; банок по 3 кг — $6 : 3 = 2$ .

Банки, плитки, автобусы считают с округлением вверх: если краски нужно $9, 36$ кг, а банка 2 кг, то $9, 36 : 2 = 4, 68$ — покупают $5$ банок.

Единицы измерения

Единица	Равна
1 м²	100 дм² = 10 000 см²
1 а (сотка)	100 м²
1 га	100 а = 10 000 м²
1 л = 1 дм³	1000 см³
1 м³	1000 дм³ = 1000 л

Для длины шаг $10$ (1 дм = 10 см), для площади — $10 \cdot 10 = 100$ , для объёма — $10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$ .

Ящик $1 дм \times 60 см \times 0, 4 м$ . Сколько кубиков с ребром 5 см войдёт?

Всё в сантиметрах: $10 \times 60 \times 40$ .
$(10 : 5) \cdot (60 : 5) \cdot (40 : 5) = 2 \cdot 12 \cdot 8 = 192$ .

Аквариум $60 \times 20$ см, вода до высоты 33 см: $60 \cdot 20 \cdot 33 = 39600$ см³ $= 39, 6$ л (берём высоту воды, а не аквариума).

Серия: 0