Тема 05 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Объём через углы и основание высоты

Объёмы и отношения объёмов. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Объём через углы и основание высоты»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Чтобы разделить торт на части, не нужно взвешивать каждую — достаточно знать, какую долю составляет кусок. Так и с объёмами: часто сам объём считать не надо, хватает отношения — общих высот, общих оснований или коэффициента подобия.

Пирамида и конус: $V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h$ . Призма и цилиндр: $V = S_{осн} \cdot h$ . Шар: $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ .

Отношения объёмов частей

Общая высота

V_{1} : V_{2} = S_{1} : S_{2}

— объёмы относятся как площади оснований.

Общее основание

V_{1} : V_{2} = h_{1} : h_{2}

— как высоты.

Пирамида в призмеПри общем основании и высоте пирамида —

\frac{1}{3}

призмы.

Общий трёхгранный угол. Если точки $K, L, M$ лежат на рёбрах $A B, A C, A D$ тетраэдра, то

\frac{V _{A K L M}}{V _{A BC D}} = \frac{A K}{A B} \cdot \frac{A L}{A C} \cdot \frac{A M}{A D}

тетраэдры с общим трёхгранным углом при вершине

A

Тетраэдр

A K L M

«вырезан» из

A BC D

у вершины

A

$V_{A BC D} = 40$ , $A K : K B = 1 : 2$ , $A L : L C = 2 : 3$ , $A M : M D = 3 : 1$ . Найдите $V_{A K L M}$ .

Доли: $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{3}$ , $\frac{A L}{A C} = \frac{2}{5}$ , $\frac{A M}{A D} = \frac{3}{4}$ .
$V_{A K L M} = 40 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 4$ .

$V_{A BC D} = 170$ , $A M : M D = 1 : 4$ , плоскость $MBC$ . Часть с вершиной $D$ — тетраэдр $MBC D$ .

У $MBC D$ и $A BC D$ общее основание $BC D$ , а высоты относятся как $M D : A D = 4 : 5$ . $V = 170 \cdot \frac{4}{5} = 136$ .

Отношение $A K : K B = 1 : 2$ даёт долю $\frac{A K}{A B} = \frac{1}{3}$ , а не $\frac{1}{2}$ : делим на сумму частей.

Подробнее: смешанное произведение

Отношения объёмов сохраняются при параллельном проектировании, поэтому любой параллелепипед можно заменить кубом. Объём тетраэдра в координатах: $V = \frac{1}{6} www.reknow.ru det (\overset{www.reknow.ru}{A B}, \overset{www.reknow.ru}{A C}, \overset{www.reknow.ru}{A D}) www.reknow.ru$ .

Объём через углы: где основание высоты

Условие	Основание высоты	Связь
Боковые рёбра равны или одинаково наклонены к основанию (угол $α$ )	центр описанной окружности основания, радиус $R$	$h = R tg α$
Боковые грани одинаково наклонены к основанию (угол $φ$ )	центр вписанной окружности, радиус $r$	$h = r tg φ$

Для прямоугольного треугольника в основании: $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$ ( $a, b$ — катеты, $c$ — гипотенуза). Для квадрата со стороной $a$ : $r = \frac{a}{2}$ , $R = \frac{a 2 www.reknow.ru}{2}$ ; для правильного треугольника: $r = \frac{a}{2 3 www.reknow.ru}$ , $R = \frac{a}{3 www.reknow.ru}$ .

Правильная четырёхугольная пирамида, сторона 24, тангенс угла боковой грани с основанием 0,75.

$r = 12$ , $h = 12 \cdot 0, 75 = 9$ .
$V = \frac{1}{3} \cdot 2 4^{2} \cdot 9 = 1728$ .

Правильная треугольная пирамида, сторона 6, боковое ребро наклонено под $4 5^{\circ}$ .

$R = \frac{6}{3 www.reknow.ru} = 2 3 www.reknow.ru$ , $h = R \cdot tg 4 5^{\circ} = 2 3 www.reknow.ru$ .
$S = \frac{3 www.reknow.ru}{4} \cdot 36 = 9 3 www.reknow.ru$ , $V = \frac{1}{3} \cdot 9 3 www.reknow.ru \cdot 2 3 www.reknow.ru = 18$ .

Подобие и усечённые тела

Плоскость, параллельная основанию пирамиды или конуса, отсекает подобное тело. Если она делит высоту от вершины в отношении $p : q$ , то коэффициент подобия $k = \frac{p}{p + q}$ , и

V_{отс} = k^{3} \cdot V

объём отсечённой верхушки

V_{усеч} = \frac{1}{3} h (S_{1} + S_{2} + S_{1} S_{2} www.reknow.ru)

усечённая пирамида:

S_{1}, S_{2}

— площади оснований,

h

— высота

Конус $V = 128$ , плоскость делит высоту $3 : 1$ от вершины. Объём части у основания?

$k = \frac{3}{4}$ , $V_{отс} = 128 \cdot \frac{27}{64} = 54$ , остаток $128 - 54 = 74$ .

Правильная четырёхугольная усечённая пирамида: стороны 32 и 8, апофема 37.

В сечении через апофемы — трапеция: $h = 3 7^{2} - (\frac{32 - 8}{2})^{2} www.reknow.ru = 1369 - 144 www.reknow.ru = 35$ .
$V = \frac{35}{3} (1024 + 64 + 256) = 15680$ .

Если высоту делят на $n$ равных частей, слой между $(j - 1)$ -й и $j$ -й плоскостями (считая от вершины) имеет объём $V \cdot \frac{j ^{3} - ( j - 1 ) ^{3}}{n ^{3}}$ .

Части шара

Сегмент — «шапочка» высоты

h

;

r

— радиус её основания

Часть	Формула
Шаровой сегмент (объём)	$V = π h^{2} (R - \frac{h}{3})$
Сферическая часть сегмента (площадь)	$S = 2 π R h$
Шаровой сектор (сегмент + конус с вершиной в центре)	$V = \frac{2}{3} π R^{2} h$
Шаровой слой	разность двух сегментов

Если известны радиус основания $r$ и высота $h$ сегмента, радиус шара: $R = \frac{r ^{2} + h ^{2}}{2 h}$ (из $r^{2} = h (2 R - h)$ ), а $2 π R h = π (r^{2} + h^{2})$ .

$R = 10$ , $h = 15$ (сегмент больше половины шара — формула та же): $V = π \cdot 225 \cdot (10 - 5) = 1125 π$ .
$r = 3$ , $h = 9$ : $R = \frac{9 + 81}{18} = 5$ , $V = π \cdot 81 \cdot (5 - 3) = 162 π$ .

Сосуды, переливания, переплавка

Жидкость в конусе вершиной вниз — маленький конус, подобный сосуду. Уровень $k$ от высоты — объём $k^{3}$ от полного. При переливании и переплавке сохраняется объём.

Жидкость налита до $0, 4$ высоты конуса, её объём 24 мл. Сколько долить?

$k^{3} = 0, 4^{3} = 0, 064$ , полный объём $24 : 0, 064 = 375$ .
Долить $375 - 24 = 351$ мл.

Конус высотой 5 вершиной вниз, жидкость до высоты 3; её переливают в цилиндр с основанием, равным верхнему кругу конуса (радиус $R$ ).

Радиус поверхности жидкости $\frac{3}{5} R$ , объём $\frac{1}{3} π \cdot \frac{9}{25} R^{2} \cdot 3 = \frac{9}{25} π R^{2}$ .
В цилиндре $π R^{2} \cdot x = \frac{9}{25} π R^{2}$ , $x = 0, 36$ .

Уровень «до половины высоты» — это только $\frac{1}{8}$ объёма конуса, а не половина. Объём растёт как куб высоты.

Погружение тел в сосуд

Если тело целиком погрузили в цилиндрический сосуд с радиусом основания $R$ , уровень воды поднимается на $Δ h = \frac{V _{тела}}{π R ^{2}}$ : объём вытесненной воды равен объёму тела.

3 шара радиуса 14 опустили в цилиндр радиуса 20: $Δ h = \frac{3 \cdot \frac{4}{3} π \cdot 1 4 ^{3}}{π \cdot 400} = \frac{4 \cdot 2744}{400} = 27, 44$ .

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Объём пирамиды

Серия: 0