Кинематика: перемещение, скорость, ускорение

Графики x(t), v(t), a(t), средняя скорость, относительность движения. 100 заданий на отработку.

Простыми словами

Кинематика отвечает на вопросы «где тело?», «как быстро оно движется?» и «как меняется скорость?» — не спрашивая, почему. Чтобы ответить, нужна система отсчёта: тело отсчёта, система координат и часы.

Величина	Что это	Тип
путь $s$	длина траектории, м	скаляр, $s \geq 0$
перемещение $Δ \overset{r}{www.reknow.ru}$	вектор из начальной точки в конечную, м	вектор
скорость $\overset{v}{www.reknow.ru} = \frac{Δ r www.reknow.ru}{Δ t}$	направлена по касательной к траектории, м/с	вектор
ускорение $\overset{a}{www.reknow.ru} = \frac{Δ v www.reknow.ru}{Δ t}$	быстрота изменения скорости, м/с²	вектор

Всегда $s \geq ∣Δ \overset{r}{www.reknow.ru} ∣$ : путь никогда не меньше модуля перемещения. Равенство — только при движении по прямой в одну сторону.

Тело прошло $15 м$ на восток, затем $20 м$ на север. Путь $35 м$ , перемещение — гипотенуза: $1 5^{2} + 2 0^{2} www.reknow.ru = 625 www.reknow.ru = 25 м$ .

Уравнения движения

Записываем в проекциях на ось $O x$ ( $x_{0}$ — начальная координата, $v_{0 x}$ — проекция начальной скорости, $a_{x}$ — проекция ускорения):

Равномерное

x = x_{0} + v_{x} t

Равноускоренное

v_{x} = v_{0 x} + a_{x} t

x = x_{0} + v_{0 x} t + \frac{a _{x} t ^{2}}{2}

v_{ср} = \frac{s _{1} + s _{2} + \dots}{t _{1} + t _{2} + \dots}

средняя путевая скорость: весь путь делить на всё время

$75 м$ за $5 с$ , затем $16 м$ за $2 с$ : $v_{ср} = \frac{75 + 16}{5 + 2} = \frac{91}{7} = 13 м / с$ .

Средняя скорость — не среднее арифметическое скоростей участков ( $15$ и $8 м / с$ дали бы $11, 5$ — неверно).

Путь и перемещение различаются: тело, вернувшееся в начальную точку, прошло ненулевой путь, но его перемещение равно нулю. При движении 30 м на восток и 40 м на север путь 70 м, а модуль перемещения $3 0^{2} + 4 0^{2} www.reknow.ru = 50$ м.

Что читают по графикам

График	Наклон	Площадь под графиком
$x (t)$	проекция скорости $v_{x}$	смысла не имеет
$v_{x} (t)$	проекция ускорения $a_{x}$	проекция перемещения
$a_{x} (t)$	—	изменение скорости $Δ v_{x}$

Путь:

30 + 20 = 50 м

; перемещение:

x_{кон} - x_{0} = 20 - 10 = 10 м

Скорость за $3 с$ выросла с $2$ до $14 м / с$ : $a = \frac{14 - 2}{3} = 4 м / с^{2}$ .
Путь — площадь трапеции: $s = \frac{v _{0} + v}{2} \cdot t$ . При $v_{0} = 2$ , $v = 14 м / с$ , $t = 6 с$ : $s = \frac{2 + 14}{2} \cdot 6 = 48 м$ .
По графику $a (t)$ : $v_{0} = 2 м / с$ , $a = 2 м / с^{2}$ в течение $2 с$ (площадь $4$ ) → $v = 2 + 4 = 6 м / с$ .

Относительность движения

\overset{v}{www.reknow.ru} = \overset{v}{www.reknow.ru}^{'} + \overset{u}{www.reknow.ru}

\overset{v}{www.reknow.ru}

— скорость тела относительно неподвижной системы (берега, земли);

\overset{v}{www.reknow.ru}^{'}

— относительно подвижной (воды, вагона);

\overset{u}{www.reknow.ru}

— скорость подвижной системы

Ситуация	Скорость	Пример
Лодка по течению	$v = v_{л} + v_{т}$	$8 + 4 = 12 м / с$
Лодка против течения	$v = v_{л} - v_{т}$	$8 - 4 = 4 м / с$
Пассажир идёт против хода поезда	$v = u - v^{'}$	$20 - 2 = 18 м / с$
Два тела навстречу (скорость сближения)	$v_{1} + v_{2}$	$25 + 8 = 33 м / с$

Скорость и траектория относительны (зависят от системы отсчёта), а ускорение одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. В задачах принимаем $g = 10 м / с^{2}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Графики движения: подбери график Равноускоренное движение

Примеры заданий

Это несколько заданий из тренажёра, остальные — в тренажёре в начале страницы.

Может ли пройденный путь быть меньше модуля перемещения?

Да, при равноускоренном движении
Нет, путь никогда не меньше модуля перемещения
Да, если тело возвращается в начальную точку
Да, при криволинейном движении

Показать ответ

Ответ: Нет, путь никогда не меньше модуля перемещения
Решение. Путь — длина траектории, перемещение — отрезок между началом и концом; отрезок не длиннее дуги, поэтому s ≥ |Δr|.

Чему равно перемещение тела, вернувшегося в начальную точку?

Длине траектории
Нулю
Радиусу окружности
Половине пути

Показать ответ

Ответ: Нулю
Решение. Начальная и конечная точки совпадают, значит вектор перемещения нулевой, хотя путь при этом не равен нулю.

Что входит в систему отсчёта?

Только тело отсчёта
Тело отсчёта и измерительная линейка
Тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы
Только система координат

Показать ответ

Ответ: Тело отсчёта, связанная с ним система координат и часы
Решение. Система отсчёта = тело отсчёта + система координат + прибор для измерения времени.

Как направлен вектор мгновенной скорости?

По радиусу кривизны
По касательной к траектории
По хорде между точками
Всегда горизонтально

Показать ответ

Ответ: По касательной к траектории
Решение. Мгновенная скорость — предел отношения перемещения к времени, её направление совпадает с касательной к траектории.

Что определяет наклон графика x(t) при прямолинейном движении?

Проекцию ускорения
Пройденный путь
Начальную координату
Проекцию скорости

Показать ответ

Ответ: Проекцию скорости
Решение. Для равномерного движения x = x₀ + vₓt, и коэффициент при t — это проекция скорости.

Чему равна площадь фигуры под графиком vₓ(t)?

Проекции перемещения за это время
Средней скорости
Ускорению
Начальной координате

Показать ответ

Ответ: Проекции перемещения за это время
Решение. Площадь под графиком скорости численно равна проекции перемещения.

Какая площадь на графике aₓ(t) численно равна изменению скорости?

Площадь под графиком пути
Площадь под графиком ускорения
Площадь треугольника над графиком
Площадь под графиком координаты

Показать ответ

Ответ: Площадь под графиком ускорения
Решение. Δvₓ = aₓ·t, а это и есть площадь под графиком ускорения.

Одинакова ли скорость тела в разных инерциальных системах отсчёта?

Да, если системы движутся равномерно
Скорость зависит только от массы тела
Нет, скорость относительна
Да, скорость абсолютна

Показать ответ

Ответ: Нет, скорость относительна
Решение. По закону сложения скоростей v = v′ + u, поэтому в разных ИСО скорость разная, а ускорение одинаково.