Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Двугранный угол при ребре

Углы между прямыми и плоскостями. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В пространстве любой угол в итоге ищут на плоском чертеже: в каком-то треугольнике. Задача — правильно «перенести» угол в треугольник: прямую сдвинуть параллельно, наклонную спроецировать, двугранный угол заменить линейным.

Слева:

φ = ∠ B A H

A H

— проекция наклонной. Справа: линейный угол — лучи в гранях, перпендикулярные ребру

l

Угол между скрещивающимися прямыми

Это угол между пересекающимися прямыми, соответственно им параллельными. Одну прямую переносят параллельно так, чтобы она прошла через точку другой, и ищут угол в треугольнике. Всегда $0^{\circ} < φ \leq 9 0^{\circ}$ , поэтому косинус берут по модулю:

cos φ = \frac{∣ b ^{2} + c ^{2} - a ^{2} ∣}{2 b c}

теорема косинусов в треугольнике со сторонами

b

c

при искомом угле и

a

напротив

Переносы в параллелепипеде

B C_{1} ∥ A D_{1}

A_{1} C_{1} ∥ A C

BC ∥ A D

Тетраэдрсредние линии граней параллельны рёбрам

$A B = 6$ , $A D = A A_{1} = 8$ ; угол между $A B_{1}$ и $A_{1} C_{1}$ . $A_{1} C_{1} ∥ A C$ — смотрим $△ A B_{1} C$ : $A B_{1} = A C = 10$ , $B_{1} C = 8 2 www.reknow.ru$ . $cos φ = \frac{100 + 100 - 128}{200} = 0, 36$ .
Правильная пирамида, $a = 21$ , $l = 35$ ; угол между $S A$ и $BC$ . $BC ∥ A D$ , в равнобедренном $△ S A D$ : $cos φ = \frac{a /2}{l} = \frac{10 , 5}{35} = 0, 3$ .

Угол между прямой и плоскостью

Угол между наклонной и плоскостью — угол между наклонной и её проекцией на эту плоскость.

sin φ = \frac{B H}{A B} cos φ = \frac{A H}{A B}

B H

— перпендикуляр к плоскости,

A H

— проекция,

A B

— наклонная

$A B = 9$ , $A D = 8$ , $A A_{1} = 12$ , угол $A C_{1}$ с плоскостью $A D D_{1}$ : перпендикуляр из $C_{1}$ на эту грань — $C_{1} D_{1} = 9$ , $A C_{1} = 81 + 64 + 144 www.reknow.ru = 17$ , $sin φ = \frac{9}{17}$ .
Правильная четырёхугольная пирамида, $a = 12 2 www.reknow.ru$ , $h = 18$ : ребро проецируется на $R = \frac{a 2 www.reknow.ru}{2} = 12$ , $tg φ = \frac{18}{12} = 1, 5$ .

Двугранный угол и площадь проекции

Двугранный угол измеряется линейным: из одной точки ребра в гранях проводят перпендикуляры к ребру. Строить удобно по теореме о трёх перпендикулярах: если $SO ⊥$ плоскости и $O H ⊥ BC$ , то $S H ⊥ BC$ и $∠ S H O$ — линейный угол.

Правильная пирамида

tg φ = \frac{h}{r}

r

— радиус вписанной окружности основания

$S A ⊥ (A BC)$

tg φ = \frac{S A}{A H}

A H ⊥ BC

Шестиугольная пирамида, $a = 8 3 www.reknow.ru$ , $h = 24$ : $r = \frac{a 3 www.reknow.ru}{2} = 12$ , $tg φ = 2$ .
$S A ⊥ (A BC)$ , $∠ A CB = 9 0^{\circ}$ , $A B = 55$ , $BC = 44$ , $S A = 44$ : $A C = 33$ ; $BC ⊥ A C$ ⇒ $BC ⊥ SC$ , угол $SC A$ . $SC = 55$ , $cos φ = \frac{33}{55} = 0, 6$ .

S_{пр} = S \cdot cos φ

площадь ортогональной проекции фигуры на плоскость;

φ

— угол между плоскостями

Треугольник $10, 13, 13$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ , при $φ = 6 0^{\circ}$ проекция $30$ .
Грани пирамиды наклонены под $6 0^{\circ}$ , основание — катеты 10 и 24: основание — проекция боковой поверхности, $S_{бок} = \frac{S _{осн}}{c o s φ} = \frac{120}{0 , 5} = 240$ .

Точка внутри двугранного угла

Точка грани на расстоянии $d$ от ребрадо другой грани

d sin φ

; её проекция — на расстоянии

d ∣ cos φ ∣

от ребра

Равноудалённая от гранейлежит в биссекторной плоскости: до грани

= MO sin \frac{φ}{2}

Внутри прямого угладо ребра

p^{2} + q^{2} www.reknow.ru

p

q

— расстояния до граней

Отрезок между гранями прямого угла

A B^{2} = A A_{1}^{2} + A_{1} B_{1}^{2} + B B_{1}^{2}

Угол $12 0^{\circ}$ , $M K = 26$ : проекция $M_{1}$ на $α$ от ребра на $26 \cdot ∣ cos 12 0^{\circ} ∣ = 13$ .
Угол $12 0^{\circ}$ , $M$ равноудалена от граней, $MO = 56 3 www.reknow.ru$ : до грани $56 3 www.reknow.ru \cdot sin 6 0^{\circ} = 84$ .

Угол между прямыми не бывает тупым. Если по теореме косинусов вышел отрицательный косинус, ответ — его модуль.

Ещё типы задач

$M$ и $N$ — середины $A D$ и $BC$ , $A B = 6$ , $C D = 2$ , $MN = 13 www.reknow.ru$ . Угол между $A B$ и $C D$ .

Возьмём середину $P$ ребра $A C$ . Средние линии: $PN ∥ A B$ , $PN = 3$ ; $PM ∥ C D$ , $PM = 1$ .
В $△ PMN$ : $13 = 9 + 1 - 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot cos ∠ P$ , $cos ∠ P = - \frac{1}{2}$ , $∠ P = 12 0^{\circ}$ .
Угол между прямыми — острый: $18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .

$A B = 4 2 www.reknow.ru$ образует с плоскостью $4 5^{\circ}$ , $A C$ — $3 0^{\circ}$ . Общий перпендикуляр $A H = A B sin 4 5^{\circ} = 4$ , тогда $A C = \frac{A H}{s i n 3 0 ^{\circ}} = 8$ , а проекции $H B = A H ctg 4 5^{\circ}$ , $H C = A H ctg 3 0^{\circ}$ . Если проекции $H B ⊥ H C$ , то $B C^{2} = H B^{2} + H C^{2}$ .

A B^{2} = A A_{1}^{2} + B B_{1}^{2} - 2 A A_{1} \cdot B B_{1} cos φ + A_{1} B_{1}^{2}

отрезок с концами на гранях двугранного угла

φ

;

A A_{1}

B B_{1}

— перпендикуляры к ребру,

A_{1} B_{1}

— отрезок ребра

Пример: $A A_{1} = 9$ , $B B_{1} = 6$ , $A_{1} B_{1} = 5$ , $A B = 2 22 www.reknow.ru$ : $88 = 81 + 36 + 25 - 108 cos φ$ , $cos φ = \frac{1}{2}$ , $φ = 6 0^{\circ}$ . При $φ = 9 0^{\circ}$ формула превращается в $A B^{2} = A A_{1}^{2} + A_{1} B_{1}^{2} + B B_{1}^{2}$ .

Серия: 0