Иррациональные неравенства

Найдите $\frac{x-27}{x^{2/3}+3x^{1/3}+9}$ при $x=64$.

1. Обозначим $t=x^{1/3}$, тогда $x-27=t^3-3^3=(t-3)(t^2+3t+9)$ — разность кубов.
2. Знаменатель равен $t^2+3t+9$, сокращаем: выражение равно $t-3=\sqrt[3]{x}-3$.
3. При $x=64$: $4-3=1$.

Решите $\sqrt{x^2-5x-40}=\sqrt{-3x+8}$.

1. Приравниваем подкоренные выражения: $x^2-5x-40=-3x+8$, $x^2-2x-48=0$, $x=8$ или $x=-6$.
2. Проверяем $-3x+8\ge 0$: при $x=8$ получаем $-16$ — не подходит; при $x=-6$ получаем $26$ ✓
3. Ответ: $-6$.

$\sqrt[3]{x^2}-3\sqrt[3]{x}=0$. Найдите сумму корней.

1. $t=\sqrt[3]{x}$ (может быть любого знака): $t^2-3t=0$, $t=0$ или $t=3$.
2. $x=0$ или $x=27$. Сумма $27$.

$x^2-7x+\sqrt{x^2-7x+4}=8$. Найдите произведение корней.

1. $t=\sqrt{x^2-7x+4}\ge 0$, тогда $x^2-7x=t^2-4$.
2. $t^2-4+t=8$, $t^2+t-12=0$, $t=3$ (корень $t=-4$ отбрасываем: $t\ge 0$).
3. $x^2-7x+4=9$, $x^2-7x-5=0$; $D>0$, по Виету произведение корней $-5$.

Сколько целых решений у $\sqrt{x+74}>x+2$?

1. Случай $x+2<0$: нужно лишь $x+74\ge 0$ — получаем $-74\le x<-2$.
2. Случай $x+2\ge 0$: $x+74>(x+2{)}^2$, $x^2+3x-70<0$, $-10<x<7$; вместе с $x\ge -2$: $-2\le x<7$.
3. Объединение $[-74;7)$: целые от $-74$ до $6$ — это $81$ число.

$\sqrt{x+6\sqrt{x-9}}+\sqrt{x-6\sqrt{x-9}}$ при $x=34$.

1. $t=\sqrt{x-9}=5$, тогда $x=t^2+9$ и $x\pm 6t=(t\pm 3{)}^2$.
2. Сумма равна $|t+3|+|t-3|=8+2=10$.

$\frac{1}{\sqrt{36}+\sqrt{38}}+\frac{1}{\sqrt{38}+\sqrt{40}}+\dots +\frac{1}{\sqrt{62}+\sqrt{64}}$

1. Каждое слагаемое равно $\frac{\sqrt{k+2}-\sqrt{k}}{2}$.
2. Средние корни взаимно уничтожаются: сумма $=\frac{\sqrt{64}-\sqrt{36}}{2}=\frac{8-6}{2}=1$.

Сколько целых чисел расположено между $\sqrt[3]{195}$ и $\sqrt{411}$?

1. Зажмём каждый корень между соседними целыми: $5^3=125<195<216=6^3$, значит $5<\sqrt[3]{195}<6$.
2. $20^2=400<411<441=21^2$, значит $20<\sqrt{411}<21$.
3. Между ними целые $6,7,\dots ,20$ — это $20-6+1=15$ чисел.