Глава 4. Операционные усилители и обратная связь

4.9. Теория обратной связи

Откуда берётся K = A/(1 + AB): стабильность усиления, входной и выходной импедансы, формула Блэкмана и полный расчёт транзисторных усилителей с обратной связью.

≈ 33 мин чтения · пунктирное подчёркивание — наведите или нажмите, чтобы увидеть пояснение

Правила идеального ОУ дают ответ «в пределе бесконечного усиления». В разделе 4.4 мы уже заметили, что конечное усиление без обратной связи портит картину: усиление схемы не может его превысить, и чем ближе они друг к другу, тем дальше схема от идеала.

Этот раздел — о том, как считать отклонения точно и как заранее предсказать усиление, импедансы и линейность усилителя, собранного из несовершенных деталей. Особенно это важно для транзисторных усилителей: у них усиление без обратной связи намного меньше, чем у ОУ, а выходное сопротивление далеко не нулевое. Освоив несколько формул, вы сможете оценить любую схему с обратной связью.

4.9.1Основное уравнение: K = A/(1 + AB)

≈ 2 мин

Главное

Усилитель с усилением $A$ и цепью обратной связи $B$ даёт $K = A / (1 + A B)$ .
$A B$ — петлевое усиление, $1 + A B$ — глубина обратной связи.
При $A B ≫ 1$ усиление $K \approx 1/ B$ — его определяет только цепь обратной связи.

Начнём со структурной схемы. Есть усилитель с конечным усилением $A$ . С его выхода цепь $B$ снимает часть сигнала, $B U_{вых}$ , и вычитает её из входного напряжения (позже то же самое сделаем для токов). Усилитель видит разность, а на выходе даёт её, умноженную на $A$ :

A (U_{вх} - B U_{вых}) = U_{вых} .

Осталось выразить отношение выхода ко входу.

1234

Структурная схема: усилитель A и цепь обратной связи B, сигнал которой вычитается из входа

Что здесь что (4)

Вычитающий узел. на усилитель поступает $U_{вх} - B U_{вых}$
Усилитель A. усиление при разомкнутой петле
Цепь B. возвращает на вход часть выхода; с β транзистора не путать
Выход. $U_{вых} = K U_{вх}$

Главное уравнение обратной связи

K = \frac{U _{вых}}{U _{вх}} = \frac{A}{1 + A B}

Обозначения:

K

A

B

A B

1 + A B

Запомним названия. $A$ — усиление при разомкнутой петле, $K$ — при замкнутой. Произведение $A B$ называют петлевым усилением: столько получит сигнал, если пройти его путь по петле один раз. Величину $1 + A B$ — глубиной обратной связи: в разделе мы увидим, что именно в $1 + A B$ раз обратная связь ослабляет нестабильность, искажения и выходное сопротивление. Цепь $B$ иногда обозначают греческой β; к коэффициенту усиления транзистора это отношения не имеет.

4.9.2Что обратная связь меняет в усилителе

≈ 16 мин4 упр.

Главное

Относительные колебания усиления (и нелинейность) уменьшаются в $1 + A B$ раз.
Последовательная обратная связь повышает входной импеданс в $1 + A B$ раз, параллельная — понижает.
Связь по напряжению снижает выходной импеданс в $1 + A B$ раз, по току — повышает.
Смешанный случай выходного импеданса описывает формула Блэкмана.

Четыре следствия отрицательной обратной связи — и каждое можно посчитать:

Что даёт отрицательная обратная связь

Предсказуемое усиление

Меньше искажений

Входной импеданс

Выходной импеданс

Усиление, которое не зависит от транзисторов

Если $A \to \infty$ , то $K = 1/ B$ . Это уже знакомый неинвертирующий усилитель с делителем на выходе: усиление обратно коэффициенту деления. Но и при конечном $A$ польза огромна: обратная связь сглаживает изменения $A$ , откуда бы они ни брались, — с частотой, с температурой, с амплитудой сигнала, от экземпляра к экземпляру.

Возьмём заведомо плохой усилитель: в звуковом диапазоне его $A$ меняется от 2000 до 20 000 — горб в 20 дБ. Охватим его простым делителем с $B = 0, 05$ :

K = \frac{2000}{1 + 2000 \cdot 0 , 05} = 19, 80 и K = \frac{20 000}{1 + 20 000 \cdot 0 , 05} = 19, 98.

Разница меньше процента (около 0,08 дБ) — усилитель стал «линейкой».

Никуда не годный усилитель: без обратной связи A гуляет от 2000 до 20 000

Цепь обратной связи с B = 0,05: при малом A усиление K ≈ A, а при AB ≫ 1 оно прижимается к 1/B = 20 — изменение A в 10 раз сдвигает K меньше чем на 1 %

2000…20 000A без обратной связи

19,80…19,98K при B = 0,05

1927год изобретения

Цена — усиление упало в сотни раз. Но три таких каскада подряд снова дадут больше 7000, а неравномерность останется ничтожной. Ровно такую задачу — сделать АЧХ телефонного усилителя-ретранслятора плоской, хотя лампы капризны, — решал инженер Гарольд Блэк, когда в 1927 г. придумал отрицательную обратную связь.

Совет. Рецепт стабильности: возьмите усилитель с запасом усиления (скажем, на 40 дБ больше нужного) и «сожгите» избыток в обратной связи — постоянство усиления и линейность резко вырастут.

Чтобы оценить эффект в общем виде, продифференцируем $K = A / (1 + A B)$ по $A$ :

\frac{d K}{d A} = \frac{1}{( 1 + A B ) ^{2}} .

Поделив обе части на

K

, получим связь относительных изменений.

Стабилизация усиления

\frac{d K}{K} = \frac{1}{1 + A B} \frac{d A}{A}

Обозначения:

d K / K

d A / A

1 + A B

Любая нестабильность $A$ ослабляется в глубину обратной связи раз. Отсюда требование: петлевое усиление должно быть много больше единицы, т. е. $A$ — много больше нужного $K$ . И поскольку нелинейность — это та же зависимость усиления от мгновенного уровня сигнала, искажения уменьшаются во столько же раз.

Модель: усилитель с обратной связью K = A/(1 + AB)

Упражнение 4.9.1

Для датчика давления нужен усилитель с усилением 50, которое должно меняться не больше чем на 0,05 %, когда усиление без обратной связи гуляет на 30 % с температурой. Какой нужна глубина обратной связи, каким — $A$ без обратной связи и чему равен $B$ ?

AB =A =B =

Решение

Из $d K / K = (d A / A) / (1 + A B)$ : $1 + A B = 30 %/0, 05 % = 600$ , т. е. $A B = 599$ . Тогда $K = A / (1 + A B) = A /600 = 50$ , откуда $A = 30000$ и $B = 599/30 000 \approx 0, 01997$ — чуть меньше «идеальных» $1/ K = 0, 02$ . (Формула написана для малых приращений; для 30 % поправка второго порядка составляет малую долю допуска.) ОУ с усилением $1 0^{5}$ легко справится, а одиночный транзисторный каскад — нет.

Входной импеданс: последовательная и параллельная связь

Вычесть сигнал обратной связи из входного можно двумя способами: из напряжения (последовательная обратная связь) или из тока (параллельная). Неинвертирующий усилитель — пример первого: сигнал делителя вычитается из напряжения между входами. Инвертирующий — пример второго: ток резистора обратной связи вычитается из входного тока в суммирующей точке.

На входной импеданс они действуют в противоположные стороны. Последовательная связь повышает его в $1 + A B$ раз: напряжение обратной связи почти целиком «гасит» входное, и на собственном входном сопротивлении усилителя остаётся в $A B$ раз меньше — это родственно следящей связи. Параллельная связь понижает его во столько же раз: ток цепи обратной связи «отсасывает» почти весь входной ток. При $A B \to \infty$ получаем бесконечность и ноль.

Обратная связь и входной импеданс

	Последовательная ОС	Параллельная ОС
Что вычитается	из входного напряжения	из входного тока
Пример	неинвертирующий усилитель	суммирующая точка инвертирующего
Входной импеданс	$\times (1 + A B)$ — растёт	$\div (1 + A B)$ — падает
При $A B \to \infty$	→ бесконечность	→ ноль

Проверим первый случай расчётом. Дадим усилителю конечное входное сопротивление $R_{вх}$ и включим сигнал обратной связи последовательно со входом.

вывод: последовательная связь умножает входное сопротивление на

1 + A B

На $R_{вх}$ действует $U_{д} = U_{вх} - B U_{вых}$ , причём $U_{вых} = K U_{вх}$ :

I_{вх} = \frac{U _{вх} - B U _{вых}}{R _{вх}} = \frac{U _{вх}}{R _{вх}} [1 - \frac{A B}{1 + A B}] = \frac{U _{вх}}{( 1 + A B ) R _{вх}} \Rightarrow R_{вх}^{'} = \frac{U _{вх}}{I _{вх}} = (1 + A B) R_{вх} .

Последовательная обратная связь

R_{вх}^{'} = (1 + A B) R_{вх}

Обозначения:

R_{вх}^{'}

R_{вх}

Неинвертирующий усилитель на ОУ подходит под эту модель целиком: $B = R_{1} / (R_{1} + R_{2})$ , в пределе $K = 1 + R_{2} / R_{1}$ , а при конечном $A$ — формулы этого раздела.

12345

Эквивалентная схема усилителя для расчёта импедансов: R_вх на входе, генератор A·Uд и R_вых на выходе; сигнал −B·Uвых включён последовательно со входом

Что здесь что (5)

R_вх. собственное входное сопротивление усилителя
U_д. разность входа и сигнала обратной связи
Генератор A·U_д. внутренний источник усилителя
R_вых. собственное выходное сопротивление
−B·U_вых. сигнал обратной связи последовательно со входом

123

Неинвертирующий усилитель — последовательная обратная связь по напряжению

Что здесь что (3)

Усилитель A. ОУ или транзисторный усилитель
R₂. верхнее плечо делителя обратной связи
R₁. нижнее плечо: $B = R_{1} / (R_{1} + R_{2})$

Инвертирующий усилитель удобнее разбирать по частям: входной резистор $R_{1}$ , а за ним усилитель с параллельной обратной связью через $R_{2}$ . В суммирующей точке сходятся входной ток и ток обратной связи; такая конструкция превращает входной ток в выходное напряжение — это усилитель с передаточным сопротивлением (трансимпедансный).

1234

Инвертирующий усилитель как резистор R₁, нагруженный на трансимпедансный усилитель с параллельной обратной связью

Что здесь что (4)

R₁. превращает входное напряжение в ток
Суммирующая точка. её импеданс $R_{2} / (1 + A)$ — доли ома
R₂. параллельная обратная связь: ток → напряжение
Усилитель A. вместе с R₂ — трансимпедансный усилитель

Импеданс суммирующей точки

Z_{сум} = \frac{R _{2}}{1 + A}

Обозначения:

Z_{сум}

R_{2}

A

При огромном петлевом усилении ОУ это доли ома — то, что нужно источнику тока на входе.

Импеданс суммирующей точки в $1 + A$ раз меньше $R_{2}$ . Для ОУ это доли ома, и источник тока (фотодиод люксметра из раздела 4.7, транзистор логарифматора из раздела 4.5) отдаёт свой ток почти в короткое замыкание. Весь инвертирующий усилитель имеет входной импеданс $R_{1} + R_{2} / (1 + A) \approx R_{1}$ , а его усиление при конечном $A$ таково:

Инвертирующий усилитель при конечном A

K = - \frac{A ( 1 - B )}{1 + A B}, B = \frac{R _{1}}{R _{1} + R _{2}}

Обозначения:

A

B

При

A \to \infty

K = - (1/ B - 1) = - R_{2} / R_{1}

Упражнение 4.9.2 задача

Фотодиод подключён прямо к суммирующей точке трансимпедансного усилителя: ОУ с усилением $A$ , резистор обратной связи $R_{2}$ , неинвертирующий вход заземлён. (а) Найдите сопротивление, которое «видит» фотодиод. (б) Найдите передаточное сопротивление $U_{вых} / I$ при конечном $A$ . (в) Теперь вместо фотодиода — источник напряжения через резистор $R_{1}$ . Пользуясь (а) и (б), получите входной импеданс и усиление инвертирующего усилителя.

Решение

Обозначим $U_{-}$ напряжение инвертирующего входа; $U_{вых} = - A U_{-}$ , входной ток ОУ считаем нулевым.

(а) Весь ток $I$ фотодиода уходит через $R_{2}$ : $I = (U_{-} - U_{вых}) / R_{2} = U_{-} (1 + A) / R_{2}$ , откуда $Z_{сум} = U_{-} / I = R_{2} / (1 + A)$ .

(б) $U_{вых} = - A U_{-} = - A I R_{2} / (1 + A)$ , т. е. передаточное сопротивление $- R_{2} A / (1 + A)$ — при $A \to \infty$ ровно $- R_{2}$ .

(в) Резистор $R_{1}$ последовательно с $Z_{сум}$ : $Z_{вх} = R_{1} + R_{2} / (1 + A)$ . Ток $I = U_{вх} / Z_{вх}$ , и по (б)

U_{вых} = - \frac{A R _{2}}{1 + A} \cdot \frac{U _{вх}}{R _{1} + R _{2} / ( 1 + A )} = - \frac{A R _{2}}{( 1 + A ) R _{1} + R _{2}} U_{вх} .

Поделим числитель и знаменатель на

R_{1} + R_{2}

и обозначим

B = R_{1} / (R_{1} + R_{2})

1 - B = R_{2} / (R_{1} + R_{2})

K = - \frac{A ( 1 - B )}{( 1 + A ) B + ( 1 - B )} = - \frac{A ( 1 - B )}{1 + A B} .

При

A \to \infty

K = - (1 - B) / B = - R_{2} / R_{1}

— знакомый результат.

Упражнение 4.9.3

Инвертирующий усилитель сигнала пьезодатчика: $R_{1} = 4, 7$ кОм, $R_{2} = 220$ кОм; на рабочей частоте у ОУ осталось усиление $A = 2000$ . Найдите усиление, входной импеданс и недобор усиления по сравнению с идеальным (в процентах).

K =Z_вх =кОмнедобор =%

Решение

$B = 4, 7/224, 7 = 0, 02092$ , $A B = 41, 8$ :

K = - \frac{2000 \cdot ( 1 - 0 , 02092 )}{1 + 41 , 8} = - \frac{1958}{42 , 8} \approx - 45, 72.

Идеал

- R_{2} / R_{1} = - 46, 81

; недобор 2,3 % — порядка

1/ (A B)

. Входной импеданс

Z_{вх} = 4, 7 кОм + 220 кОм /2001 \approx 4, 81

кОм. Вывод: при усилении около 50 и

A

в тысячи ошибка уже в процентах — на высоких частотах нужен более быстрый ОУ.

Выходной импеданс: связь по напряжению и по току

Что «измеряет» цепь обратной связи на выходе? Если она берёт сигнал, пропорциональный выходному напряжению, схема всеми силами держит напряжение — выходной импеданс падает в $1 + A B$ раз. Если сигнал пропорционален току нагрузки (скажем, снят с резистора последовательно с ней), схема держит ток — импеданс растёт во столько же раз.

Обратная связь и выходной импеданс

	ОС по напряжению	ОС по току
Сигнал обратной связи	пропорционален выходному напряжению	пропорционален току нагрузки (резистор последовательно с нагрузкой)
Выходной импеданс	$R_{вых} / (1 + A B)$	$R_{вых} (1 + A B)$
Схема ведёт себя как	источник напряжения	источник тока

Докажем первое на той же эквивалентной схеме, где $R_{вых}$ нарисован явно.

вывод: обратная связь по напряжению делит выходное сопротивление на

1 + A B

Закоротим вход и приложим к выходу напряжение $U$ , найдём ток $I$ . Цепь обратной связи подаст на вход усилителя $- B U$ , внутренний генератор выдаст $- A B U$ , и

I = \frac{U - ( - A B U )}{R _{вых}} = \frac{U ( 1 + A B )}{R _{вых}} \Rightarrow R_{вых}^{'} = \frac{U}{I} = \frac{R _{вых}}{1 + A B} .

Обратная связь по напряжению

R_{вых}^{'} = \frac{R _{вых}}{1 + A B}

Обозначения:

R_{вых}^{'}

R_{вых}

Для связи по току результат обратный: $R_{вых}^{'} = R_{вых} (1 + A B)$ — схема становится источником тока. А если петель несколько и они смешанные (часть по току, часть по напряжению), выручает формула Блэкмана:

Формула Блэкмана

R_{вых}^{'} = R_{вых} \frac{1 + ( A B ) _{кз}}{1 + ( A B ) _{хх}}

Обозначения:

(A B)_{кз}

(A B)_{хх}

Чистая связь по напряжению:

(A B)_{кз} = 0

; чистая по току:

(A B)_{хх} = 0

— получаются обе формулы выше.

Смысл простой: петлевое усиление считают дважды — с закороченным выходом и с отключённой нагрузкой. Связь по напряжению при коротком замыкании пропадает (выход равен нулю), связь по току пропадает на холостом ходу (тока нет). Комбинируя петли, можно получить практически любой нужный выходной импеданс.

Негласные допущения

Формулы раздела опираются на три упрощения, о которых стоит помнить:

цепь $B$ не нагружает выход усилителя — а если нагружает, это нужно учесть в $A$ ;
подключение цепи $B$ ко входу не меняет $A$ — иначе $A$ считают с подключённой (но разорванной) цепью;
цепь $B$ однонаправленная: она не передаёт сигнал со входа на выход в обход усилителя.

Упражнение 4.9.4

ОУ с собственным выходным сопротивлением 50 Ом и частотой единичного усиления 3 МГц ( $A (f) \approx f_{T} / f$ , сдвиг фазы −90°) работает повторителем в буфере АЦП. Каков выходной импеданс буфера на частоте 30 кГц? Каким будет входной импеданс неинвертирующего усилителя с усилением 20 на постоянном токе, если $A_{0} = 1 0^{5}$ , а собственное входное сопротивление ОУ 1 МОм?

Z_вых =ОмZ_вх =ГОм

Решение

На 30 кГц $∣ A ∣ = 3 \cdot 1 0^{6} /3 \cdot 1 0^{4} = 100$ ; у повторителя $B = 1$ , $A = - j 100$ , и $∣1 + A B ∣ = ∣1 - j 100∣ \approx 100$ :

∣ Z_{вых} ∣ = \frac{50}{100} = 0, 5 Ом .

Поскольку

∣ A ∣

падает с ростом частоты,

Z_{вых}

растёт пропорционально

f

: выход ведёт себя как индуктивность

50/ (2 π f_{T}) \approx 2, 7

мкГн — это важно при ёмкостной нагрузке. Для усилителя с

K = 20

B = 0, 05

1 + A B = 5001

Z_{вх} = 5001 \cdot 1 МОм \approx 5

ГОм (на практике его ограничат синфазное входное сопротивление и утечки по плате).

4.9.3Расчёт транзисторных усилителей с обратной связью

≈ 15 мин2 упр.

Главное

Усилитель: дифкаскад → каскад с общим эмиттером → двухтактный повторитель; петля через делитель $R_{4} R_{5}$ .
Без обратной связи: $A \approx 1480$ , $Z_{вх} \approx 22$ кОм, $Z_{вых} \approx 32$ Ом, усиление меняется в 1,7 раза.
С обратной связью ( $A B \approx 66$ ): $K \approx 22, 0$ , $Z_{вых} \approx 0, 5$ Ом, разброс усиления — около 1 %.

Формулы проверим на настоящей схеме — небольшом усилителе мощности для наушников или динамика на нескольких ваттах. Это типичная трёхкаскадная структура, на которой построено большинство транзисторных усилителей звука. Схема выглядит громоздкой, но читается по частям.

Путь сигнала и петля обратной связи

Дифференциальная пара

T_{1} T_{2}

Каскад ОЭ на p-n-p

T_{3}

Двухтактный повторитель

T_{4} T_{5}

Делитель

R_{4} R_{5}

C_{2}

)

123456789101112131415

Усилитель для наушников и маленького динамика на дискретных транзисторах, ±12 В (T₁, T₂ — согласованная пара, h21э ≈ 200; ток покоя выхода ≈ 44 мА)

Что здесь что (15)

C₁ 4,7 мкФ. входной разделительный конденсатор
R₁ 47 кОм. резистор смещения базы T₁; равен R₄, чтобы базы видели одинаковые сопротивления
T₁. вход дифференциальной пары (согласован с T₂, h21э ≈ 200)
T₂. второй вход пары: сюда приходит обратная связь
R₂ 1,2 кОм. при 0,5 мА на нём падает около $U_{БЭ}$ — токи плеч в покое равны
R₃ 11 кОм. задаёт ток пары ≈ 1 мА (по 0,5 мА на плечо)
T₃. каскад ОЭ на p-n-p, ток покоя ≈ 6 мА
Три диода. приоткрывают выходные транзисторы: ток покоя ≈ 44 мА (класс AB)
R₆ 2,0 кОм. нагрузка T₃; в покое на ней ≈ 12 В
T₄. верхнее плечо двухтактного повторителя
T₅. нижнее плечо двухтактного повторителя
R₇, R₈ по 6,8 Ом. стабилизируют ток покоя и ограничивают ток при большом сигнале
R₄ 47 кОм. верхнее плечо делителя обратной связи
R₅ 2,2 кОм. нижнее плечо: $B = R_{5} / (R_{4} + R_{5}) \approx 1/22$
C₂ 100 мкФ. по постоянному току отключает R₅: усиление 1, выход в покое на нуле

Режим по постоянному току

$R_{3} = 11$ кОм от $- 12$ В задаёт ток пары около $(12 - 0, 6) /11 кОм \approx 1$ мА, по 0,5 мА на плечо.
Из-за $C_{2}$ по постоянному току весь выход возвращается на базу $T_{2}$ — усиление 1. Петля держит выход на нуле, значит, на $R_{6}$ около 12 В, и ток $T_{3}$ — $12/2 кОм = 6$ мА.
Три диода в коллекторе $T_{3}$ дают напряжение, равное $U_{БЭ 4} + U_{БЭ 5}$ плюс одно диодное падение на $R_{7} + R_{8}$ . Отсюда ток покоя выхода $0, 6/13, 6 Ом \approx 44$ мА — режим класса AB (смещение двухтактного каскада диодами разобрано в разделе 2.3).
$R_{2}$ подобран так, чтобы при 0,5 мА на нём падало напряжение база — эмиттер $T_{3}$ : тогда в покое токи плеч пары равны.

За отсутствие ступенчатых искажений платим нагревом: в покое каждый выходной транзистор рассеивает около $12 В \cdot 44 мА \approx 0, 5$ Вт.

1 мАток пары

T_{1} T_{2}

6 мАток покоя

T_{3}

44 мАток покоя выхода

0,5 Втна каждом выходном транзисторе в покое

Обратите внимание: коллектор $T_{1}$ в покое всего на диодное падение ниже $+ 12$ В. Иначе и быть не может — $T_{3}$ должен проводить, — и этот режим сам себя поддерживает:

Как петля держит режим

Выход «уплыл» вверх

T_{2}

берёт больше тока

Ток

T_{1}

уменьшается

Падение на

R_{2}

меньше —

T_{3}

призакрывается

Выход возвращается вниз

Ловушка. Входные токи транзисторов здесь не пренебрежимы: 2,5 мкА базового тока на 47 кОм — это уже 0,12 В. Поэтому сопротивления по постоянному току со стороны обеих баз делают одинаковыми (

R_{1} = R_{4}

), а для больших сопротивлений ставят на вход составные транзисторы или полевые.

Малосигнальный анализ

Посчитаем усиление, входной и выходной импедансы — с обратной связью и без неё (без обратной связи схема по постоянному току неработоспособна, поэтому считаем малый сигнал в той же рабочей точке). Нелинейность оценим по усилению при выходе $- 8$ , $0$ и $+ 8$ В.

Разорвём петлю: правый конец $R_{4}$ отключим от выхода и заземлим.

Входной импеданс. База $T_{1}$ видит $h_{21 э}$ , умноженное на сумму эмиттерных сопротивлений: собственное $r_{э}$ транзистора $T_{1}$ (50 Ом при 0,5 мА) и сопротивление со стороны эмиттера $T_{2}$ — его $r_{э}$ плюс сопротивление в базе $R_{4} ∥ R_{5} = 2, 1$ кОм, делённое на $h_{21 э}$ :

Z_{вх} \approx 200 [2 \cdot 50 + \frac{2 , 1 кОм}{200}] \approx 22 кОм .

Выходной импеданс. Коллектор $T_{3}$ высокоомный, так что повторитель питается от источника с сопротивлением $R_{6} = 2$ кОм. Через выходной транзистор с $h_{21 э} \approx 80$ это 25 Ом, плюс 6,8 Ом эмиттерного резистора — около 32 Ом.

Усиление. Пара нагружена на $R_{2}$ параллельно входу $T_{3}$ ; при 6 мА $r_{э 3} = 4, 2$ Ом, вход $T_{3}$ около 420 Ом ( $h_{21 э} \approx 100$ ). Усиление пары $(1200∥420) / (2 \cdot 50) \approx 3, 1$ , второго каскада $R_{6} / r_{э 3} = 2000/4, 2 \approx 480$ . Итого $A \approx 1480$ в рабочей точке. Ток $T_{3}$ , а с ним и его усиление, сильно меняется вместе с выходом — отсюда нелинейность (таблица ниже).

Порядок расчёта усилителя с обратной связью

Входной импеданс $h_{21 э}$ × (сумма эмиттерных сопротивлений пары) ∥ резистор смещения
Выходной импеданссопротивление источника ( $R_{6}$ ) / $h_{21 э}$ повторителя + эмиттерный резистор
Усиление Aпроизведение усилений каскадов: $\frac{R _{н}}{2 r _{э}}$ пары × $\frac{R _{6}}{r _{э 3}}$
Петлевое усиление $A B$ с $B$ делителя обратной связи
С обратной связью $Z_{вх} \times (1 + A B)$ , $Z_{вых} / (1 + A B)$ , $K = A / (1 + A B)$

Наш усилитель с обратной связью и без неё (расчёт по малосигнальной модели)
$U_{вых}$	без ОС: −8 В	0 В	+8 В	с ОС: −8 В	0 В	+8 В
Ток $T_{3}$ , мА	2	6	10	2	6	10
$Z_{вх}$ , кОм	22	22	22	46	46	46
$Z_{вых}$ , Ом	32	32	32	0,5	0,5	0,5
Усиление	980	1480	1660	21,86	22,03	22,07

Без обратной связи усиление на размахе ±8 В меняется в 1,7 раза — это сильные искажения. С обратной связью — меньше чем на 1 %.

980…1660A без ОС на ±8 В

21,86…22,07K с ОС на ±8 В

32 → 0,5 Омвыходной импеданс

22 → 46 кОмвходной импеданс

Упражнение 4.9.5

Тот же усилитель хотят сделать громче и заменяют $R_{5}$ на 1,0 кОм. Считая усиление без обратной связи прежним ( $A = 980$ , 1484 и 1655 при выходе −8, 0 и +8 В; без ОС $Z_{вых} = 31, 8$ Ом, $Z_{вх} \approx 21$ кОм с новым $R_{4} ∥ R_{5}$ ), найдите усиление в рабочей точке и на краях размаха, выходной импеданс и входной импеданс вместе с резистором смещения 47 кОм.

K(0) =K(−8) =K(+8) =Z_вых =ОмZ_вх =кОм

Решение

$B = 1/48 = 0, 02083$ . В рабочей точке $A B = 1484 \cdot 0, 02083 = 30, 9$ , $K = 1484/31, 9 = 46, 50$ . При $A = 980$ : $A B = 20, 4$ , $K = 980/21, 4 = 45, 76$ ; при $A = 1655$ : $A B = 34, 5$ , $K = 1655/35, 5 = 46, 65$ . Разброс около 2 % — вдвое хуже прежнего: больше усиление — меньше глубина обратной связи. $Z_{вых} = 31, 8/31, 9 \approx 1, 0$ Ом; $Z_{вх} = (31, 9 \cdot 21 кОм) ∥ 47 кОм = 670∥47 \approx 43, 9$ кОм. Громкость выросла вдвое, а искажения — тоже примерно вдвое.

Усилитель на двух транзисторах

Обратная связь бывает и в совсем маленьких схемах. В этой их всего два: $T_{1}$ — каскад с общим эмиттером, $T_{2}$ — p-n-p-каскад, нагруженный на $R_{5}$ . Тот же $R_{5}$ вместе с $R_{4}$ образует делитель обратной связи: выходное напряжение через него попадает в эмиттер $T_{1}$ .

12345678

Двухкаскадный усилитель на n-p-n и p-n-p: R₅ служит и нагрузкой T₂, и плечом обратной связи

Что здесь что (8)

R₁ 47 кОм. верх делителя смещения базы T₁ (2,1 В)
R₂ 10 кОм. низ делителя смещения
T₁. усиливает разность база — эмиттер; в эмиттер приходит обратная связь
R₃ 680 Ом. коллекторная нагрузка T₁; на ней ≈ 0,6 В — смещение T₂
R₄ 1,0 кОм. эмиттерный резистор T₁ — нижнее плечо делителя обратной связи
T₂. второй каскад на p-n-p
R₅ 8,2 кОм. нагрузка T₂ и верхнее плечо обратной связи одновременно
Выход. 6 В в покое — середина питания

Если смотреть на $T_{1}$ как на усилитель разности напряжений база — эмиттер (это следует из модели Эберса — Молла), то обратная связь подаёт на эмиттер часть выхода и вычитает её из входа — последовательная связь по напряжению. Хитрость в том, что резистор, который нагружает $T_{2}$ , сам и является цепью обратной связи.

Режим. База 2,1 В, эмиттер 1,5 В — через $R_{4}$ течёт 1,5 мА. Из них около 0,55 мА приходит с выхода через $R_{5}$ ( $(6 - 1, 5) /8, 2$ кОм), остальные 0,95 мА — ток $T_{1}$ . На $R_{3}$ он создаёт около 0,6 В — как раз столько нужно, чтобы открыть $T_{2}$ .

Оценка без обратной связи. Первый каскад: нагрузка $R_{3}$ параллельно входу $T_{2}$ (≈ 4,7 кОм), в эмиттере $R_{4} ∥ R_{5} \approx 0, 9$ кОм плюс $r_{э} = 27$ Ом — усиление около 0,65. Второй: нагрузка $R_{4} + R_{5} \approx 9, 2$ кОм на $r_{э} = 47$ Ом — около 195. Итого $A \approx 126$ ; выходное сопротивление около 9,2 кОм.

С обратной связью. $B \approx R_{4} / (R_{4} + R_{5}) \approx 0, 109$ , $A B \approx 14$ : $K = 126/15 \approx 8, 6$ (идеал $1 + R_{5} / R_{4} = 9, 2$ ), выходное сопротивление $9, 2 кОм /15 \approx 630$ Ом.

Двухкаскадный усилитель в цифрах

	Петля разомкнута	Петля замкнута
Усиление	$A \approx 126$	$K \approx 8, 6$
Выходной импеданс	≈ 9,2 кОм	≈ 630 Ом
Петлевое усиление	—	$A B \approx 14$

Цифры согласуются: $126/ (1 + 13, 7) \approx 8, 6$ , а $1/ B = 9, 2$ отличается от $K$ как раз на величину порядка $1/ (A B)$ . Неглубокая обратная связь — типичная история для дискретных каскадов.

Упражнение 4.9.6

В двухкаскадном усилителе петлевое усиление около 14. Летом в машине плата нагрелась, и усиление без обратной связи упало на 30 %. Как изменилось усиление с обратной связью?

Решение

Оценка: $d K / K = (d A / A) / (1 + A B) = 30 %/15 = 2 %$ . Точнее: $A^{'} = 0, 7 \cdot 126 = 88$ , $A B^{'} = 9, 6$ , $K^{'} = 88/10, 6 = 8, 33$ против 8,57, т. е. −2,8 % — для больших изменений формула для малых приращений даёт лишь оценку. Неглубокая обратная связь стабилизирует скромно; у ОУ с петлевым усилением $1 0^{4}$ то же изменение $A$ было бы незаметно.