Тема 11 · Геометрия · Глава IX «Окружность» · подтема 2 из 5

Отрезки касательных

Окружности и прямые. 119 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Колесо на дороге касается её ровно в одной точке, и спица, идущая в эту точку, стоит строго вертикально — перпендикулярно дороге. Дорога — касательная, спица — радиус.

Касательная — прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку (точку касания).

СвойствоКасательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

ПризнакПрямая, проходящая через конец радиуса на окружности и перпендикулярная этому радиусу, — касательная.

Касательные из одной точки

P A = PB

O A ⊥ P A

OB ⊥ PB

PO

— биссектриса

∠ A PB

Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны: $P A = PB$ ; центр $O$ лежит на биссектрисе $∠ A PB$ . В четырёхугольнике $O A PB$ углы $A$ и $B$ прямые, поэтому $∠ A OB + ∠ A PB = 18 0^{\circ}$ .

P A = P O^{2} - r^{2} www.reknow.ru

длина касательной:

△ O A P

прямоугольный,

r

— радиус,

PO

— расстояние до центра

$r = 7$ , $PO = 25$ : $P A = 625 - 49 www.reknow.ru = 576 www.reknow.ru = 24$ .

$∠ A PB = 14 6^{\circ}$ ⇒ $∠ A OB = 18 0^{\circ} - 14 6^{\circ} = 3 4^{\circ}$ .
$∠ OPT = 4 0^{\circ}$ , $PT$ — касательная ⇒ $∠ POT = 9 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$ .

Прямая и окружность

$d$ — расстояние от центра до прямой, $r$ — радиус.

Условие	Общих точек	Прямая
$d < r$	две	секущая
$d = r$	одна	касательная
$d > r$	нет	не пересекает

Перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам: $(\frac{A B}{2})^{2} = r^{2} - d^{2}$ .

$r = 13$ , хорда на расстоянии $d = 5$ от центра: $\frac{A B}{2} = 169 - 25 www.reknow.ru = 12$ , $A B = 24$ .

Две окружности

$R \geq r$ — радиусы, $d$ — расстояние между центрами.

Условие	Расположение	Общих касательных
$d > R + r$	общих точек нет, лежат вне друг друга	4
$d = R + r$	внешнее касание	3
$R - r < d < R + r$	пересекаются в двух точках	2
$d = R - r$	внутреннее касание	1
$d < R - r$	одна внутри другой	0

Внешнее касание, радиусы $33$ и $2, 5$ : $d = 35, 5$ .
Внутреннее касание, $d = 9$ , радиусы $1 : 4$ : $4 x - x = 9$ , $x = 3$ , больший радиус $12$ .

При внутреннем касании расстояние между центрами — разность радиусов, а не сумма.

Угол между касательной и хордой

∠ M A B = \frac{⌣ A B}{2}

M A

— касательная,

A B

— хорда,

⌣ A B

— дуга внутри угла

Дуга $A B$ внутри угла $20 6^{\circ}$ : $∠ M A B = 10 3^{\circ}$ .

Видите касательную — сразу проведите радиус в точку касания: появится прямой угол, а с ним теорема Пифагора и сумма острых углов $9 0^{\circ}$ .

Термины и быстрые факты

Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности; диаметр — хорда через центр, $d = 2 R$ ; секущая — прямая, пересекающая окружность в двух точках. Длина окружности $C = 2 π R$ .
Касательные в концах диаметра перпендикулярны ему, значит параллельны, а расстояние между ними равно диаметру. Окружность, касающаяся двух параллельных прямых, имеет диаметр, равный расстоянию между ними.
Если $∠ OPT = 3 0^{\circ}$ , то радиус $OT$ — катет против угла $3 0^{\circ}$ , и $OP = 2 R$ . Если $∠ TOP = 6 0^{\circ}$ — тоже $OP = 2 R$ .
Отрезок $OP$ пересекает окружность в точке $K$ : $P K = OP - R$ . Задачи вида « $PT = 36$ , $P K = \dots$ » решают уравнением $(R + P K)^{2} = R^{2} + P T^{2}$ .
$PT$ на 2 меньше $OP$ , $R = 10$ : $(x + 2)^{2} = x^{2} + 100$ ⇒ $4 x = 96$ , $PT = 24$ .
Касательная в конце диаметра $A B$ и точка $C$ на ней: $△ A BC$ прямоугольный с прямым углом $B$ , $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2}$ .

Окружность в углу, ремни, монеты, трубы

Круг в прямом углу (стол или бочка у стены): центр, две точки касания и вершина угла образуют квадрат, поэтому расстояние от угла до точки касания равно радиусу.
Третья касательная отсекает от угла треугольник с периметром $P A + PB = 2 P A$ : каждый отрезок касательной из вершины треугольника заменяется равным.
Окружность, вписанная в угол: $PO$ — биссектриса, $∠ A PB = 2∠ OP A$ ; меньшая дуга $A B$ равна $18 0^{\circ} - ∠ A PB$ .
Монеты в ряд: между центрами соседних $2 r$ ; у $n$ монет расстояние между крайними центрами $(n - 1) \cdot 2 r$ . При $n = 7$ и $156$ мм: $r = 13$ мм.
Три попарно касающиеся окружности: $r_{1} + r_{2} = O_{1} O_{2}$ и т. д. Сложив три равенства, получим $r_{1} + r_{2} + r_{3} = \frac{32 + 38 + 34}{2} = 52$ , откуда $r_{3} = 52 - 32 = 20$ .

Радиусы $60$ и $21$ , расстояние между осями $89$ . Прямой участок ремня $A B$ — общая касательная.

Радиусы в точки касания перпендикулярны $A B$ , получаем прямоугольную трапецию.
Опустим перпендикуляр: катеты $A B$ и $60 - 21 = 39$ , гипотенуза $89$ .
$A B = 8 9^{2} - 3 9^{2} www.reknow.ru = 6400 www.reknow.ru = 80$ см.

Радиус $5$ , ширина воды $6$ , уровень ниже центра. Расстояние от центра до поверхности $25 - 9 www.reknow.ru = 4$ , глубина $5 - 4 = 1$ .

Параллельные хорды по разные стороны от центра: расстояние между ними — сумма расстояний от центра (для $R = 5$ , хорд $6$ и $8$ : $4 + 3 = 7$ ); по одну сторону — разность.

Целые расстояния: прямая пересекает окружность при $d < R$ (при $R = 35$ наибольшее целое $d = 34$ ), имеет общую точку при $d \leq R$ . Окружности пересекаются в двух точках при $R - r < d < R + r$ ; хотя бы одна общая точка — при $R - r \leq d \leq R + r$ .

Серия: 0