Тема 01 · Геометрия · Глава VI «Четырёхугольники» · подтема 3 из 3

Четырёхугольник

Многоугольники. 111 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Любой выпуклый многоугольник можно разрезать на треугольники диагоналями из одной вершины. А у каждого треугольника углы дают $18 0^{\circ}$ — отсюда и все формулы темы.

Многоугольник $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ — фигура из $n$ отрезков (сторон): соседние имеют общий конец и не лежат на одной прямой, несоседние не имеют общих точек. У $n$ -угольника $n$ вершин и $n$ сторон. Диагональ — отрезок, соединяющий две несоседние вершины. Периметр — сумма длин всех сторон.

Многоугольник выпуклый, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Все углы выпуклого многоугольника меньше $18 0^{\circ}$ .

Диагонали

Шестиугольник: из

A_{1}

выходят

6 - 3 = 3

диагонали, треугольников

6 - 2 = 4

d_{1} = n - 3, D = \frac{n ( n - 3 )}{2}

d_{1}

— диагонали из одной вершины,

D

— все диагонали

n

-угольника

Из вершины нельзя провести диагональ в саму себя и в две соседние — отсюда $n - 3$ . В формуле для $D$ делим на $2$ : каждая диагональ посчитана с обоих концов.

У выпуклого многоугольника $230$ диагоналей. Сколько выходит из одной вершины?

$\frac{n ( n - 3 )}{2} = 230$ ⇒ $n (n - 3) = 460 = 23 \cdot 20$ .
$n = 23$ , из одной вершины $n - 3 = 20$ диагоналей.

$24$ -угольник: из одной вершины $24 - 3 = 21$ диагональ.

Сумма углов

S_{n} = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

сумма углов выпуклого

n

-угольника:

n - 2

треугольника по

18 0^{\circ}

$12$ -угольник: $(12 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 180 0^{\circ}$ .

Внешние углыВнешний угол смежен с внутренним. Сумма внешних углов (по одному при каждой вершине) — всегда

36 0^{\circ}

Правильный $n$ -угольникВсе стороны и углы равны. Угол

\frac{( n - 2 ) \cdot 18 0 ^{\circ}}{n}

, внешний угол

\frac{36 0 ^{\circ}}{n}

Правильный шестиугольник: угол $\frac{4 \cdot 18 0 ^{\circ}}{6} = 12 0^{\circ}$ , внешний $\frac{36 0 ^{\circ}}{6} = 6 0^{\circ}$ .

Не путайте: $n - 3$ — диагонали из вершины, $n - 2$ — треугольники и множитель в сумме углов.

Четырёхугольник

Сумма углов выпуклого четырёхугольника: $(4 - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ . У четырёхугольника две диагонали ( $\frac{4 \cdot 1}{2} = 2$ ); каждая диагональ выпуклого четырёхугольника делит его на два треугольника.

Три угла четырёхугольника $8 0^{\circ}$ , $9 5^{\circ}$ , $11 0^{\circ}$ . Четвёртый: $36 0^{\circ} - 28 5^{\circ} = 7 5^{\circ}$ .

Треугольник — $18 0^{\circ}$ , каждая новая вершина добавляет ещё $18 0^{\circ}$ : $180, 360, 540, 720, \dots$

Обратные задачи о правильных многоугольниках

Удобнее всего идти через внешний угол: он равен $18 0^{\circ} - α$ (где $α$ — угол многоугольника) и $\frac{36 0 ^{\circ}}{n}$ .

Угол правильного многоугольника $15 6^{\circ}$ . Сколько сторон?

Внешний угол $18 0^{\circ} - 15 6^{\circ} = 2 4^{\circ}$ .
$n = \frac{36 0 ^{\circ}}{2 4 ^{\circ}} = 15$ .

«Угол в $k$ раз больше внешнего»: $α + β = 18 0^{\circ}$ , $α = k β$ ⇒ $β = \frac{18 0 ^{\circ}}{k + 1}$ . При $k = 2$ : $β = 6 0^{\circ}$ , $n = 6$ . «Угол на $16 4^{\circ}$ больше внешнего»: $2 β = 1 6^{\circ}$ , $β = 8^{\circ}$ , $n = 45$ .
Угол $α$ возможен у правильного многоугольника, только если $\frac{36 0 ^{\circ}}{18 0 ^{\circ} - α}$ — целое число не меньше 3: $12 0^{\circ}$ можно ( $n = 6$ ), $11 8^{\circ}$ нельзя ( $360 : 62$ не целое).
По сумме углов: $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ} = 324 0^{\circ}$ ⇒ $n - 2 = 18$ , $n = 20$ . Все внешние углы по $6^{\circ}$ ⇒ $n = 60$ , сумма внутренних $58 \cdot 18 0^{\circ} = 1044 0^{\circ}$ .

Многоугольники, уложенные вокруг точки без щелей, дают в сумме $36 0^{\circ}$ . Квадрат ( $9 0^{\circ}$ ) и правильный пятиугольник ( $10 8^{\circ}$ ): остаётся $16 2^{\circ}$ — это угол правильного 20-угольника. Два восьмиугольника ( $13 5^{\circ} + 13 5^{\circ}$ ): остаётся $9 0^{\circ}$ — квадрат.

Стороны, углы и уравнения

Части: стороны $6 : 6 : 4 : 7 : 3$ , периметр $52$ ⇒ частей $26$ , одна часть $2$ , наибольшая сторона $7 \cdot 2 = 14$ . Так же с углами: углы пятиугольника $4 : 9 : 8 : 3 : 6$ — всего 30 частей на $54 0^{\circ}$ , часть $1 8^{\circ}$ , наименьший угол $5 4^{\circ}$ .
«Каждая следующая на $d$ больше»: стороны $x$ , $x + d$ , $x + 2 d$ , … Для шестиугольника с $d = 3$ и $P = 87$ : $6 x + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5) \cdot 3 = 6 x + 45 = 87$ , $x = 7$ .
Равные углы и «на столько-то меньше»: обозначьте один угол $x$ , выразите остальные и приравняйте сумму к $(n - 2) \cdot 18 0^{\circ}$ .
Диагоналей столько же, сколько сторон: $\frac{n ( n - 3 )}{2} = n$ ⇒ $n - 3 = 2$ , $n = 5$ . «В $k$ раз больше сторон»: $n - 3 = 2 k$ .
Правильный многоугольник: сторона $= P : n$ , число сторон $= P : a$ .

Биссектрисы углов $A$ и $B$ пересекаются в точке $O$ . Тогда $∠ A OB = 18 0^{\circ} - \frac{∠ A + ∠ B}{2} = \frac{∠ C + ∠ D}{2}$ , так как $∠ A + ∠ B = 36 0^{\circ} - (∠ C + ∠ D)$ . При $∠ C = 13 1^{\circ}$ , $∠ D = 5 5^{\circ}$ : $∠ A OB = 9 3^{\circ}$ .

«Воздушный змей» (дельтоид): $A B = A D$ , $CB = C D$ , углы $B$ и $D$ равны, поэтому $∠ B = \frac{36 0 ^{\circ} - ∠ A - ∠ C}{2}$ . Если три угла выпуклого четырёхугольника острые, четвёртый обязательно тупой (больше $36 0^{\circ} - 3 \cdot 9 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ ).

Серия: 0

Четырёхугольник

Простыми словами

Диагонали

Сумма углов

Четырёхугольник

Обратные задачи о правильных многоугольниках

Стороны, углы и уравнения

Примеры заданий