Тема 14 · Геометрия · Итоговое повторение · подтема 2 из 4

Смешанные задачи: треугольники и четырёхугольники

Итоговое повторение курса 8 класса. 120 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Смешанные задачи: треугольники и четырёхугольники»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Весь курс 8 класса — это четыре «полки»: четырёхугольники, площади, подобие с тригонометрией и окружность. Задача почти всегда решается одной-двумя формулами с этих полок; важно узнать, с какой полки она.

Читайте утверждение целиком и сверяйте со формулировкой учебника. Слово «любой» значит «всегда» — опровергает его один контрпример (ромб с углом $6 0^{\circ}$ , прямоугольник $2 \times 5$ , равнобедренная трапеция).

Типичные ловушки: свойство выдано за признак («если диагонали равны, то это прямоугольник» — неверно, контрпример — равнобедренная трапеция), «сумма» вместо «произведения», «половина» вместо «квадрата». Пример верного: «Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей», «Площадь трапеции равна произведению её средней линии на высоту».

Многоугольники и четырёхугольники

S_{n} = (n - 2) \cdot 18 0^{\circ}

сумма углов выпуклого

n

-угольника

Фигура	Главные свойства
Параллелограмм	противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам
Прямоугольник	все углы $9 0^{\circ}$ , диагонали равны
Ромб	все стороны равны, диагонали перпендикулярны и делят углы пополам
Трапеция	средняя линия $m = \frac{a + b}{2}$ ( $a$ , $b$ — основания)

$A C = BC$ , $∠ C = 14 2^{\circ}$ . Найти внешний угол при $A$ .

$∠ A = ∠ B = \frac{18 0 ^{\circ} - 14 2 ^{\circ}}{2} = 1 9^{\circ}$ .
Внешний: $18 0^{\circ} - 1 9^{\circ} = 16 1^{\circ}$ .

Площади и теорема Пифагора

Фигура	Площадь	Обозначения
Параллелограмм	$S = ah$	$a$ — сторона, $h$ — высота к ней
Треугольник	$S = \frac{1}{2} ah$	$a$ — сторона, $h$ — высота к ней
Ромб	$S = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$	$d_{1}, d_{2}$ — диагонали
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$	$a, b$ — основания, $h$ — высота

Если угол между сторонами $a$ и $b$ параллелограмма равен $3 0^{\circ}$ , то $h = \frac{b}{2}$ и $S = \frac{ab}{2}$ .

c^{2} = a^{2} + b^{2}

теорема Пифагора:

c

— гипотенуза,

a, b

— катеты

Высота

C H

к гипотенузе:

h = \frac{ab}{c}

Катеты $27$ и $36$ . Найти высоту к гипотенузе.

$c = 2 7^{2} + 3 6^{2} www.reknow.ru = 2025 www.reknow.ru = 45$ .
Площадь двумя способами: $\frac{1}{2} \cdot 27 \cdot 36 = \frac{1}{2} \cdot 45 \cdot h$ , $h = \frac{27 \cdot 36}{45} = 21, 6$ .

Плитка-ромб с диагоналями $40$ см и $25$ см. Сколько плиток на $2, 8 м^{2}$ ?

$S_{плитки} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 25 = 500 см^{2}$ .
$2, 8 м^{2} = 28000 см^{2}$ ; $28000 : 500 = 56$ .

$1 м^{2} = 10000 см^{2}$ , а не $100$ : переводим квадратные единицы с множителем $10 0^{2}$ .

Подобие и тригонометрия

Признаки подобия: по двум углам; по двум пропорциональным сторонам и углу между ними; по трём пропорциональным сторонам. Периметры подобных треугольников относятся как $k$ , площади — как $k^{2}$ .

sin A = \frac{a}{c}, cos A = \frac{b}{c}, tg A = \frac{a}{b}

a

— катет против

∠ A

b

— прилежащий катет,

c

— гипотенуза

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 4$ , $tg A = \frac{3}{4}$ . Найти $A B$ .

$tg A = \frac{BC}{A C}$ ⇒ $BC = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$ .
$A B = 4^{2} + 3^{2} www.reknow.ru = 5$ .

Окружность

• Касательная перпендикулярна радиусу в точке касания; отрезки касательных из одной точки равны.
• Центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги; угол между касательной и хордой — половине дуги внутри него.
• Хорды: $A P \cdot PB = CP \cdot P D$ .
• Вписанный четырёхугольник: $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$ ; описанный: $A B + C D = BC + A D$ .

$O$ — центр, $∠ O A B = 4 2^{\circ}$ , $C$ на большей дуге $A B$ . Найти $∠ A CB$ .

$O A = OB$ : $∠ A OB = 18 0^{\circ} - 2 \cdot 4 2^{\circ} = 9 6^{\circ}$ .
$∠ A CB = \frac{9 6 ^{\circ}}{2} = 4 8^{\circ}$ . (Если дан $∠ A OB = 13 6^{\circ}$ , то сразу $∠ A CB = 6 8^{\circ}$ .)

Перед решением спросите себя: «Есть ли прямой угол? Есть ли окружность? Есть ли параллельные прямые?» — ответ подскажет полку с формулами.

Ещё приёмы для четырёхугольников и треугольников

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника (по одному при вершине) равна $36 0^{\circ}$ .
Соседние углы параллелограмма в сумме $18 0^{\circ}$ : углы в отношении $1 : 4$ — это $3 6^{\circ}$ и $14 4^{\circ}$ .
Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: $B K = A B = 5$ , тогда $K C = A D - A B = 11 - 5 = 6$ .
Диагонали прямоугольника равны и делятся пополам, поэтому $△ A O D$ равнобедренный: $∠ A O D = 8 6^{\circ}$ ⇒ $∠ O A D = 4 7^{\circ}$ . Диагонали ромба — биссектрисы его углов и перпендикулярны: $∠ A = 4 2^{\circ}$ ⇒ $∠ A B D = \frac{18 0 ^{\circ} - 4 2 ^{\circ}}{2} = 6 9^{\circ}$ ; стороны ромба по диагоналям $18$ и $24$ : $9^{2} + 1 2^{2} www.reknow.ru = 15$ .
Средняя линия треугольника параллельна стороне и равна её половине; треугольник из средних линий имеет периметр вдвое меньше исходного.
Равнобедренная трапеция с углом $4 5^{\circ}$ : высота равна полуразности оснований, $h = \frac{33 - 15}{2} = 9$ . С углом $6 0^{\circ}$ : проекция боковой стороны равна её половине, $b = 6 + 2 \cdot 5 = 16$ .

	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$
$sin$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$
$cos$	$\frac{3 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{2 www.reknow.ru}{2}$	$\frac{1}{2}$
$tg$	$\frac{3 www.reknow.ru}{3}$	$1$	$3 www.reknow.ru$

Поэтому « $tg 6 0^{\circ} = 1$ » — неверно. Треугольник со сторонами $4, 5, 6$ не прямоугольный: $4^{2} + 5^{2} = 41 \neq = 36$ .

Ещё формулы площадей и пропорции

S = \frac{1}{2} ab sin C

a

b

— две стороны,

C

— угол между ними;

sin 15 0^{\circ} = sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}

Стороны $8$ и $27$ , угол $3 0^{\circ}$ : $S = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 27 \cdot \frac{1}{2} = 54$ . Параллелограмм: $S = ab sin α$ , при $7$ , $14$ и $15 0^{\circ}$ получаем $49$ .
Медиана делит треугольник на два равновеликих: $S_{A BM} = \frac{132}{2} = 66$ . Треугольник с основанием $A D$ и вершиной на $BC$ параллелограмма — половина его площади ( $52$ из $104$ ); $△ A BM$ с $M$ — серединой $BC$ — четверть ( $36$ из $144$ ).
Средняя линия отсекает треугольник с $k = \frac{1}{2}$ , его площадь — четверть: $40 : 4 = 10$ . При $D E ∥ BC$ и $A D : D B = 3 : 4$ : $k = \frac{3}{7}$ , $S_{A D E} = 245 \cdot \frac{9}{49} = 45$ .
Площадь по клеткам: длины оснований и высоты считают по клеткам и подставляют в формулу (или достраивают фигуру до прямоугольника и вычитают лишние треугольники).
Высота параллелограмма к другой стороне: $S = 21 \cdot 6 = 126$ , $h_{2} = 126 : 9 = 14$ .

Если $C H$ — высота к гипотенузе: $C H^{2} = A H \cdot H B$ , $A C^{2} = A H \cdot A B$ , $B C^{2} = B H \cdot A B$ . Пример: $A H = 9$ , $H B = 4$ ⇒ $C H = 36 www.reknow.ru = 6$ ; $A H = 8$ , $A B = 18$ ⇒ $A C = 144 www.reknow.ru = 12$ .

Окружность: расстояния и касательные

Расстояние от центра до хорды: перпендикуляр из центра делит хорду пополам, $R^{2} = d^{2} + (\frac{A B}{2})^{2}$ . $R = 17$ , $A B = 16$ ⇒ $d = 15$ ; $A B = 56$ , $d = 21$ ⇒ $R = 35$ .
Отрезок касательной: $OT ⊥ PT$ , поэтому $O P^{2} = R^{2} + P T^{2}$ . $R = 9$ , $PT = 40$ ⇒ $OP = 41$ .
Две касательные $P A$ , $PB$ : $∠ A PB + ∠ A OB = 18 0^{\circ}$ ; $P A = PB$ , и при $∠ A PB = 6 0^{\circ}$ треугольник $P A B$ равносторонний — $∠ P A B = 6 0^{\circ}$ .
Касательная $MN$ и хорда $A B$ образуют смежные углы: $∠ N A B = 18 0^{\circ} - ∠ M A B$ .
Дуги в отношении $5 : 6 : 9$ : наименьшая дуга $\frac{5}{20} \cdot 36 0^{\circ} = 9 0^{\circ}$ , наименьший угол треугольника — половина, $4 5^{\circ}$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Теорема Пифагора

Серия: 0