Тема 02 · Алгебра · подтема 5 из 6

Возрастание/убывание

Функция y = k/x. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Путь 120 км. Едем быстрее — тратим меньше времени: $t = \frac{120}{v}$ . Скорость выросла в 2 раза — время уменьшилось в 2 раза. Это и есть обратная пропорциональность: произведение величин постоянно ( $v \cdot t = 120$ ).

y = \frac{k}{x}, k \neq = 0, x \neq = 0

обратная пропорциональность

Здесь $x$ — аргумент, $y$ — значение функции, $k$ — коэффициент обратной пропорциональности (постоянное число). На ноль делить нельзя, поэтому $x \neq = 0$ : область определения — все числа, кроме нуля. Главное свойство: $x \cdot y = k$ для любой точки графика.

Значение функции и аргумента

$y = \frac{- 6}{x}$ при $x = - 6$ : $y = \frac{- 6}{- 6} = 1$ .
$y = \frac{15}{x}$ при $x = - 3$ : $y = \frac{15}{- 3} = - 5$ .

$y = \frac{- 6}{x}$ , $y = 2$ . Из $x \cdot y = k$ получаем $x = \frac{k}{y}$ .

$x = \frac{- 6}{2} = - 3$ .
Проверка: $\frac{- 6}{- 3} = 2$ ✓

Точка $A (x_{0}; y_{0})$ лежит на графике, если $x_{0} \cdot y_{0} = k$ (или, что то же, $y_{0} = \frac{k}{x _{0}}$ ).

$y = \frac{20}{x}$ , $A (- 10; - 3)$ : $(- 10) \cdot (- 3) = 30 \neq = 20$ — нет.
$y = \frac{- 30}{x}$ , $A (10; - 2)$ : $10 \cdot (- 2) = - 20 \neq = - 30$ — нет.

Следите за знаками: $\frac{- 6}{- 6} = + 1$ , а не $- 1$ . Минус на минус при делении даёт плюс.

График — гипербола

График функции $y = \frac{k}{x}$ называется гиперболой. Он состоит из двух ветвей, которые неограниченно приближаются к осям координат, но никогда их не пересекают (ведь $x \neq = 0$ и $y \neq = 0$ ). Гипербола симметрична относительно начала координат.

Слева

y = \frac{4}{x}

(ветви в I и III четвертях), справа

y = - \frac{4}{x}

(во II и IV)

Четверти и монотонность

$k > 0$ Ветви в I и III четвертях (

x

y

одного знака). На каждой ветви функция убывает:

x

растёт —

y

уменьшается.

$k < 0$ Ветви во II и IV четвертях (

x

y

разных знаков). На каждой ветви функция возрастает.

$y = \frac{- 22}{x}$ : $k = - 22 < 0$ — четверти II и IV, на каждой ветви возрастает. $y = \frac{48}{x}$ : $k > 0$ — I и III, убывает.

Говорят «убывает на каждой ветви», а не «на всей области определения»: для $y = \frac{4}{x}$ имеем $- 1 < 1$ , но $y (- 1) = - 4 < y (1) = 4$ — при переходе через ноль значение «прыгает» вверх.

Знак $k$ = знак произведения $x \cdot y$ . «Плюс» — $x$ и $y$ одинаковых знаков: I ( $+, +$ ) и III ( $-, -$ ). «Минус» — разных: II и IV.

Как найти k

k = x_{0} \cdot y_{0}

(x_{0}; y_{0})

— любая точка гиперболы

Гипербола проходит через $(1; 24)$ : $k = 1 \cdot 24 = 24$ , функция $y = \frac{24}{x}$ .
Через $(- 2; - 7)$ : $k = (- 2) \cdot (- 7) = 14$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Обратная пропорциональность

Серия: 0