Тема 05 · Алгебра · подтема 4 из 5

Свойства неравенств

Неравенства. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

В лифт можно взять не больше 400 кг. Это условие — не «ровно столько», а «не больше»: подходит целый набор вариантов. Такие условия записывают неравенствами, а ответ — промежутком чисел.

Знак	Читается	Точка на прямой
$<$ , $>$	меньше, больше (строгое)	«выколотая» ○, скобка $()$
$\leq$ , $\geq$	не больше, не меньше (нестрогое)	закрашенная ●, скобка $[]$

Свойства числовых неравенств

Пусть $a < b$ . Тогда:

Действие	Результат	Знак
прибавить любое $c$	$a + c < b + c$	сохраняется всегда
умножить на $c > 0$	$a c < b c$	сохраняется
умножить на $c < 0$	$a c > b c$	меняется

То же для деления: на положительное число — знак тот же, на отрицательное — противоположный. Ещё два свойства: если $a < b$ и $b < c$ , то $a < c$ ; неравенства одного знака можно складывать: $a < b, c < d \Rightarrow a + c < b + d$ .

$2 < 5$ . Умножим на $- 1$ : $- 2$ и $- 5$ . На прямой $- 2$ правее, значит $- 2 > - 5$ . Умножение на отрицательное число «отражает» числа относительно нуля — порядок переворачивается.

Линейные неравенства

Линейное неравенство — вида $a x + b > 0$ (или с $<, \leq, \geq$ ). Решают как уравнение: переносят слагаемые с $x$ влево, числа вправо (меняя знак слагаемого), делят на коэффициент при $x$ .

$8 x - 6 \geq 42$

Переносим $- 6$ : $8 x \geq 48$ .
Делим на $8 > 0$ — знак тот же: $x \geq 6$ .
Ответ: $x \geq 6$ , то есть $[6; + \infty)$ .

$- 9 x - 6 < - 51$

Переносим $- 6$ : $- 9 x < - 45$ .
Делим на $- 9 < 0$ — знак меняется: $x > 5$ .
Ответ: $(5; + \infty)$ .

Строгое неравенство: точка

5

выколота, ответ

(5; + \infty)

Самая частая ошибка — поделить на отрицательное число и забыть перевернуть знак. Проверка: подставьте число из ответа, например $x = 6$ : $- 54 - 6 = - 60 < - 51$ ✓

Системы и двойные неравенства

Решение системы неравенств — значения $x$ , которые подходят во все неравенства сразу, то есть пересечение (общая часть) их решений. Двойное неравенство $a \leq x \leq b$ — это система $x \geq a$ и $x \leq b$ .

Система

x > 4, x < 10

: общая часть — интервал

(4; 10)

Сколько целых решений? Перечисляем или считаем по формуле: на отрезке $[a; b]$ (концы — целые и входят) целых чисел $b - a + 1$ ; если оба конца выколоты — $b - a - 1$ ; если входит один конец — $b - a$ .

$0 \leq x \leq 5$ : числа $0, 1, 2, 3, 4, 5$ — их $5 - 0 + 1 = 6$ .
$- 14 \leq x \leq - 6$ : $- 6 - (- 14) + 1 = 9$ .
$x > 4$ и $x < 10$ : числа $5, 6, 7, 8, 9$ — их $10 - 4 - 1 = 5$ .
$x > - 5$ и $x < 10$ : $10 - (- 5) - 1 = 14$ .

«Минус на минус даёт плюс» в вычитании концов: $b - (- a) = b + a$ . Если сомневаетесь в формуле — выпишите крайние целые числа и посчитайте вручную на маленьком примере.

Оценка значения выражения

Если известны границы для $x$ (и $y$ ), границы выражения получают, применяя свойства неравенств ко всем частям двойного неравенства.

$- 1 < x < 2$ . Оцените $- 6 x - 5$ .

Умножаем все части на $- 6$ и меняем знаки: $6 > - 6 x > - 12$ , то есть $- 12 < - 6 x < 6$ .
Вычитаем 5 из всех частей: $- 17 < - 6 x - 5 < 1$ .

Выражение	Как оценить ( $a < x < b$ , $c < y < d$ )
$x + y$	сложить: $a + c < x + y < b + d$
$x - y$	$x + (- y)$ , где $- d < - y < - c$ : $a - d < x - y < b - c$
$x y$	при $a, c > 0$ перемножить: $a c < x y < b d$

$1 < x < 4$ , $6 < y < 8$ : $- 8 < - y < - 6$ , значит $- 7 < x - y < - 2$ . А $2 < x < 5$ , $6 < y < 12$ дают $12 < x y < 60$ .

$a > b$ . Сравните $- 2 a + 3$ и $- 2 b + 3$ : умножение на $- 2$ меняет знак, $- 2 a < - 2 b$ , значит $- 2 a + 3 < - 2 b + 3$ .

Вычитать неравенства «почленно» нельзя: $x - y$ оценивают только через $- y$ . Перемножать можно лишь неравенства с положительными частями.

Серия: 0