Тема 01 · Алгебра · подтема 5 из 5

Деление дробей

Рациональные дроби. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Дроби с буквами живут по тем же правилам, что и обычные: $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ , $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . Новое только одно: буква в знаменателе может сделать его нулём, а делить на ноль нельзя.

Рациональная (алгебраическая) дробь — дробь $\frac{A}{B}$ , где $A$ и $B$ — многочлены, например $\frac{7}{x + 7}$ , $\frac{3 x ^{2}}{2 x}$ . Значения переменной, при которых $B \neq = 0$ , называют допустимыми; их множество — ОДЗ.

Когда дробь не имеет смысла

Дробь не имеет смысла, когда её знаменатель равен нулю. Числитель при этом роли не играет.

При каком $x$ дробь $\frac{7}{x + 7}$ не имеет смысла?

Знаменатель $= 0$ : $x + 7 = 0$ .
$x = - 7$ .

$\frac{2 x}{x - 0} = \frac{2 x}{x}$ : знаменатель равен нулю при $x = 0$ — это и есть ответ.

Ноль в числителе не запрещён: $\frac{0}{5} = 0$ . Запрещён только ноль в знаменателе. При $x = 0$ дробь $\frac{x}{x + 7}$ равна нулю, но смысл имеет.

Сокращение

\frac{A}{B} = \frac{A \cdot C}{B \cdot C}, C \neq = 0

основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое выражение

Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на их общий множитель.

Сокращаются только одинаковые множители числителя и знаменателя

Сократите $\frac{7 x ^{3}}{8 x}$ .

$x^{3} = x \cdot x^{2}$ — общий множитель $x$ .
$\frac{7 x \cdot x ^{2}}{8 x} = \frac{7 x ^{2}}{8}$ .

$\frac{3 x ^{2}}{2 x} = \frac{3 x}{2}$ — сократили на $x$ .

Нельзя сокращать слагаемые: $\frac{x + 3}{3} \neq = x$ . Сначала разложите числитель и знаменатель на множители (вынесение за скобки, формулы сокращённого умножения).

Сложение и вычитание

\frac{a}{n} \pm \frac{b}{n} = \frac{a \pm b}{n}

при одинаковых знаменателях складывают (вычитают) числители, знаменатель оставляют

$\frac{9}{x - 6} - \frac{2}{x - 6}$

Знаменатели одинаковые: $\frac{9 - 2}{x - 6} = \frac{7}{x - 6}$ .

$\frac{3}{x + 7} - \frac{3}{x + 7} = \frac{0}{x + 7} = 0$ (при $x \neq = - 7$ ).

Если знаменатели разные, дроби сначала приводят к общему знаменателю: $\frac{1}{x} + \frac{1}{2} = \frac{2}{2 x} + \frac{x}{2 x} = \frac{2 + x}{2 x}$ .

Знаменатели не складывают: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$ , а не $\frac{2}{2 x}$ .

Умножение и деление

\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}, \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

делить на дробь — значит умножать на перевёрнутую дробь

$\frac{8}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8}{4} = 2$ ; $\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} : \frac{2}{9}$

Переворачиваем вторую дробь: $\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{2}$ .
$\frac{9}{8}$ .

$\frac{8}{9} : \frac{7}{3} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{7} = \frac{8 \cdot 3}{9 \cdot 7} = \frac{8}{21}$ — сократили 3 и 9 до умножения.

Сокращайте до перемножения: числа останутся маленькими. С буквами так же: $\frac{x ^{2}}{3} \cdot \frac{6}{x} = \frac{x \cdot 2}{1} = 2 x$ .

Серия: 0