Тема 07 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Нули и дискриминант

Квадратичная функция. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Брошенный мяч летит по дуге: сначала поднимается, в верхней точке на миг «зависает», потом падает. Эта дуга — парабола, график квадратичной функции. Самая высокая (или низкая) точка — вершина, и почти все задачи начинаются с неё.

$y = a x^{2} + b x + c$ , где $a \neq = 0$ . $a$ — старший коэффициент, $b$ — второй коэффициент, $c$ — свободный член.

$a > 0$ Ветви вверх, в вершине — наименьшее значение.

$a < 0$ Ветви вниз, в вершине — наибольшее значение.

$c$ Ордината точки пересечения с осью

O y

c = y (0)

Вершина и ось симметрии

x_{0} = - \frac{b}{2 a}, y_{0} = y (x_{0})

(x_{0}; y_{0})

— вершина; прямая

x = x_{0}

— ось симметрии параболы

y = x^{2} - 4 x + 1

x_{0} = - \frac{- 4}{2} = 2

y_{0} = 4 - 8 + 1 = - 3

Найдите ординату вершины параболы $y = - 3 x^{2} + 27 x - 11$ .

$x_{0} = - \frac{27}{2 \cdot ( - 3 )} = 4, 5$ .
$y_{0} = - 3 \cdot 4, 5^{2} + 27 \cdot 4, 5 - 11 = - 60, 75 + 121, 5 - 11 = 49, 75$ .

В виде $y = a (x - m)^{2} + n$ вершина видна сразу: это точка $(m; n)$ .

Нули и дискриминант

Нули функции — абсциссы точек пересечения с осью $O x$ , корни уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ . Их число определяет $D = b^{2} - 4 a c$ .

$D > 0$ две точки пересечения с

O x

$D = 0$ одна: парабола касается оси вершиной

$D < 0$ пересечений нет

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

теорема Виета: сумма и произведение нулей (при

D \geq 0

)

$y = 3 x^{2} + 42 x + 144$ : $D = 4 2^{2} - 4 \cdot 3 \cdot 144 = 1764 - 1728 = 36 > 0$ , сумма нулей $- \frac{42}{3} = - 14$ .

$y = - x^{2} + 7 x + 2$ : $D = 49 + 8 = 57 > 0$ — две точки пересечения. (Если $a$ и $c$ разных знаков, $D > 0$ всегда.)

Наибольшее и наименьшее на отрезке

Кандидатов не больше трёх: два конца отрезка и вершина, если она попала внутрь. Вычисляем значения в них и выбираем.

$y = x^{2} - 4 x + 1$ на $[0; 3]$ : $y (0) = 1$ , $y (3) = - 2$ , $y (2) = - 3$ . Наибольшее $1$ , наименьшее $- 3$ .

Наибольшее значение $y = - 2 x^{2} + 4 x - 15$ на $[0; 2]$ .

$a < 0$ , $x_{0} = - \frac{4}{- 4} = 1 \in [0; 2]$ — вершина внутри и это максимум.
$y (1) = - 2 + 4 - 15 = - 13$ .

$y = - x^{2} - 4 x - 11$ на $[- 4; 2]$ : $x_{0} = - \frac{- 4}{- 2} = - 2$ лежит на отрезке, ветви вниз — наибольшее значение при $x = - 2$ .

Если вершина вне отрезка, функция на нём монотонна — ответ на концах. Не берите вершину, не проверив, что она внутри!

Коэффициенты по точкам и знак функции

Точка $(x; y)$ лежит на графике — значит, её координаты обращают формулу в верное равенство. Две точки дают систему для $b$ и $c$ .

$y = x^{2} + b x + c$ проходит через $A (- 4; - 8)$ и $B (1; 7)$ . Найдите $c$ .

$A$ : $16 - 4 b + c = - 8$ ; $B$ : $1 + b + c = 7$ .
Вычтем второе из первого: $15 - 5 b = - 15$ , $b = 6$ .
$c = 7 - 1 - 6 = 0$ .

Знак функции. Если $y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ и $x_{1} < x_{2}$ : при $a > 0$ функция отрицательна между корнями и положительна вне их; при $a < 0$ — наоборот.

Сколько целых $x$ из $[- 4; 6]$ дают $y = (x + 3) (x - 6) < 0$ ?

Корни $- 3$ и $6$ , $a = 1 > 0$ : $y < 0$ при $- 3 < x < 6$ .
Целые: $- 2, - 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ — их $8$ .

Нарисуйте схематично параболу и отметьте корни — знак видно сразу: ниже оси $O x$ — минус, выше — плюс.

Параметр в квадратичной функции

Условие	Что записать
вершина в точке $(m; n)$ , $a = 1$	$y = (x - m)^{2} + n$ , раскрыть скобки
парабола касается оси $O x$	$D = 0$
пересекает $O x$ в двух точках	$D > 0$
не пересекает $O x$	$D < 0$
точка пересечения с $O y$	$y (0)$

Вершина $y = x^{2} + b x + c$ — точка $(9; - 2)$ . Тогда $y = (x - 9)^{2} - 2 = x^{2} - 18 x + 81 - 2$ , то есть $c = 79$ .

При каком $c$ парабола $y = x^{2} + 6 x + c$ касается оси $O x$ ? $D = 36 - 4 c = 0$ , $c = 9$ .

Наибольшее целое $c$ , при котором $y = x^{2} - 7 x + c$ пересекает $O x$ в двух точках: $D = 49 - 4 c > 0$ , $c < 12, 25$ , ответ $12$ .

$y = a x^{2} + c$ проходит через $(5; - 66)$ и $(6; - 99)$ : $25 a + c = - 66$ , $36 a + c = - 99$ . Вычтем: $11 a = - 33$ , $a = - 3$ .

Ордината точки пересечения $y = - (x + 5)^{2} + 11$ с осью $O y$ : $y (0) = - 25 + 11 = - 14$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Квадратичная функция

Серия: 0

Нули и дискриминант

Простыми словами

Вершина и ось симметрии

Нули и дискриминант

Наибольшее и наименьшее на отрезке

Коэффициенты по точкам и знак функции

Параметр в квадратичной функции

Примеры заданий