Тема 3 · Алгебра · подтема 5 из 6

Степень произведения

Степень с натуральным показателем. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Бактерия делится пополам каждый час: через час их 2, через два — $2 \cdot 2 = 4$ , через пять — $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$ . Писать длинное произведение одинаковых множителей неудобно, поэтому его записывают коротко: $2^{5}$ .

Степень числа $a$ с натуральным показателем $n$ — это произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$ :

a^{n} = n множителей www.reknow.ru www.reknow.ru www.reknow.ru a \cdot a \cdot \dots \cdot a

$a$ — основание (что умножаем), $n$ — показатель (сколько раз берём множитель). По определению $a^{1} = a$ .

Читается: $3^{4}$ — «три в четвёртой степени». $a^{2}$ — « $a$ в квадрате», $a^{3}$ — « $a$ в кубе». Название «квадрат» не случайно: квадрат со стороной $a$ клеток состоит из $a^{2}$ клеток.

Квадрат со стороной

n

клеток содержит

n^{2}

клеток

Как вычислять

Вычислите $3^{6}$ .

Умножаем по шагам: $3^{2} = 9$ , $3^{3} = 27$ , $3^{4} = 81$ , $3^{5} = 243$ .
$3^{6} = 243 \cdot 3 = 729$ .

Удобно: $4^{6} = (4^{3})^{2} = 6 4^{2} = 4096$ — большой показатель можно разбить.

$n$	1	2	3	4	5	6
$2^{n}$	2	4	8	16	32	64
$3^{n}$	3	9	27	81	243	729
$4^{n}$	4	16	64	256	1024	4096
$5^{n}$	5	25	125	625	3125	15625

$3^{4} \neq = 3 \cdot 4$ . Показатель — это число множителей, а не второй множитель: $3^{4} = 81$ , а $3 \cdot 4 = 12$ .

Знак: $(- 2)^{4} = 16$ , но $- 2^{4} = - 16$ — без скобок в степень возводится только $2$ . Отрицательное число в чётной степени положительно, в нечётной — отрицательно.

Свойства степеней

Все свойства следуют из определения — достаточно «посчитать множители».

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}

при умножении показатели складывают

$b^{2} \cdot b^{3} = (b \cdot b) \cdot (b \cdot b \cdot b) = b^{5}$ : всего $2 + 3 = 5$ множителей.

a^{m} : a^{n} = a^{m - n} (a \neq = 0, m > n)

при делении показатели вычитают

$y^{5} : y^{3} = \frac{y \cdot y \cdot y \cdot y \cdot y}{y \cdot y \cdot y} = y^{2}$ : три множителя сократились.

(a^{m})^{n} = a^{mn}

степень степени — показатели перемножают

$(c^{6})^{5} = c^{6} \cdot c^{6} \cdot c^{6} \cdot c^{6} \cdot c^{6} = c^{6 \cdot 5} = c^{30}$ .

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

степень произведения — в степень возводят каждый множитель

$(m t)^{3} = m t \cdot m t \cdot m t = m^{3} t^{3}$ ; $(2 x)^{3} = 2^{3} x^{3} = 8 x^{3}$ .

Ещё: $a^{1} = a$ и $a^{0} = 1$ при $a \neq = 0$ (так договорились, чтобы правило деления работало и при $m = n$ : $a^{n} : a^{n} = 1$ ).

Свойства работают только при одинаковых основаниях: $2^{3} \cdot 3^{2}$ не равно $6^{5}$ . И не путайте: $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$ (складываем), а $(a^{2})^{3} = a^{6}$ (умножаем).

Действие с показателями на ступень «проще» действия со степенями: умножение степеней → сложение показателей, деление → вычитание, возведение в степень → умножение.

Комбинированные задания

Сначала упрощаем по свойствам, потом считаем — так числа остаются маленькими.

Вычислите $8^{10} : 8^{8}$ .

Основания одинаковые — вычитаем показатели: $8^{10 - 8} = 8^{2}$ .
$8^{2} = 64$ .

Вычислите $(2^{2})^{3}$ .

Перемножаем показатели: $2^{2 \cdot 3} = 2^{6}$ .
$2^{6} = 64$ .

Вычислите $\frac{5 ^{4} \cdot 5 ^{3}}{5 ^{5}}$ .

Числитель: $5^{4 + 3} = 5^{7}$ .
Деление: $5^{7 - 5} = 5^{2} = 25$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Функции y = xⁿ

Калькуляторы

Степени и корни

Серия: 0

Степень произведения

Простыми словами

Как вычислять

Свойства степеней

Комбинированные задания

Примеры заданий