Тема 07 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Смеси и сплавы

Текстовые задачи. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Почти любая текстовая задача — это одна формула «результат = скорость × время» в разных костюмах: путь $= v \cdot t$ , работа $=$ производительность $\cdot t$ , масса вещества $=$ масса смеси $\cdot$ доля. Нужно понять, что здесь «скорость», и составить уравнение.

Обозначить неизвестное буквой (с единицами).
Выразить через него остальные величины — удобно таблицей.
Составить уравнение по условию, решить, проверить смысл ответа.

Навстречу и вдогонку

s = v \cdot t, v_{навстречу} = v_{1} + v_{2}, v_{вдогонку} = v_{1} - v_{2}

s

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч);

v_{1} > v_{2}

при движении вдогонку

Сначала фора, потом скорость сближения

Турист (6 км/ч) за час форы прошёл 6 км, осталось $42 - 6 = 36$ км.
Навстречу: скорость сближения $6 + 12 = 18$ км/ч, время $36 : 18 = 2$ ч.
Вдогонку: велосипедист (25 км/ч) за 2 ч форы уехал на 50 км, мотоциклист (50 км/ч) догоняет со скоростью $50 - 25 = 25$ км/ч: $50 : 25 = 2$ ч.

Средняя скорость — это весь путь : всё время, а не полусумма скоростей. Полусумма годится, только если время на участках одинаково.

Движение по реке

Движение	Скорость
по течению	$v + u$
против течения	$v - u$
плот, бревно	$u$ — скорость течения

Здесь $v$ — собственная скорость (в стоячей воде), $u$ — скорость течения. Обратно: $v = \frac{v _{по} + v _{пр}}{2}$ , $u = \frac{v _{по} - v _{пр}}{2}$ .

Течение 2 км/ч. Лодка прошла 36 км по течению и 28 км против, всего за 4 ч. Собственная скорость?

Пусть $v$ км/ч. Время: $\frac{36}{v + 2} + \frac{28}{v - 2} = 4$ .
Проверим удобные значения или решим уравнение: при $v = 16$ — $\frac{36}{18} + \frac{28}{14} = 2 + 2 = 4$ ✓.
Ответ: 16 км/ч.

Прямая задача: катер 16 км/ч, течение 5 км/ч, 42 км по течению и 33 км против: $\frac{42}{21} + \frac{33}{11} = 2 + 3 = 5$ ч.

Совместная работа

Всю работу принимают за 1. Если работник делает её за $a$ часов (дней), его производительность $\frac{1}{a}$ работы в час. При совместной работе производительности складываются.

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{T}

a, b

— время каждого по отдельности,

T

— время совместной работы

35 и 14 дней: $\frac{1}{35} + \frac{1}{14} = \frac{2}{70} + \frac{5}{70} = \frac{1}{10}$ → $T = 10$ дней.
Три насоса 18, 20, 30 ч: $\frac{10 + 9 + 6}{180} = \frac{25}{180}$ → $T = \frac{180}{25} = 7, 2$ ч.

Время не складывают и не усредняют: вместе работа идёт быстрее каждого, поэтому $T$ меньше самого маленького из времён.