Тема 01 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Сравнение и оценка выражений

Вычисления и числовые преобразования. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Хороший вычислитель не считает «в лоб», а сначала смотрит на выражение: что можно вынести за скобки, какие числа дают круглый результат, какую дробь удобнее перевести. Минута на план экономит десять минут счёта и защищает от ошибок.

Многоэтажные дроби

Черта дроби — это знак деления и одновременно скобки. Сначала до конца считают числитель, отдельно — знаменатель, и только потом делят.

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

a, b, c, d \neq = 0

; делить на дробь — умножать на обратную

Десятичные дроби полезно сразу перевести в обыкновенные: $0, 5 = \frac{1}{2}$ , $0, 25 = \frac{1}{4}$ , $0, 2 = \frac{1}{5}$ , $1, 2 = \frac{6}{5}$ , $0, 75 = \frac{3}{4}$ .

$(0, 5 + \frac{1}{2}) : (1, 2 - \frac{2}{3})$

Первая скобка: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ .
Вторая: $\frac{6}{5} - \frac{2}{3} = \frac{18}{15} - \frac{10}{15} = \frac{8}{15}$ .
$1 : \frac{8}{15} = \frac{15}{8} = 1, 875$ .

Так же: $(0, 1 + \frac{3}{4}) : (0, 25 - \frac{1}{9}) = 0, 85 : \frac{5}{36} = \frac{0 , 85 \cdot 36}{5} = 6, 12$ .

Действия с модулем

∣ a ∣ = {a, - a, a \geq 0 a < 0

модуль — расстояние от числа

a

до нуля, он всегда неотрицателен;

∣ a - b ∣

— расстояние между точками

a

b

$∣3 - 19∣ \cdot 9 - ∣ - 17 - (- 5) ∣ = ∣ - 16∣ \cdot 9 - ∣ - 12∣ = 144 - 12 = 132$ .
$∣16 - 21∣ + ∣21 - 22∣ - ∣16 - 22∣ = 5 + 1 - 6 = 0$ .

Модуль — тоже скобки: сначала вычисляют всё внутри, потом «снимают» знак. $∣3 - 19∣ \neq = 3 + 19$ .

Сумма $∣ x - a ∣ + ∣ x - b ∣$ при любом $x$ между $a$ и $b$ равна длине отрезка $b - a$ : путь от $a$ до $x$ плюс путь от $x$ до $b$ .

Рациональные приёмы счёта

Приём	Пример
$ab + a c = a (b + c)$	$37 \cdot 48 + 37 \cdot 52 = 37 \cdot 100 = 3700$ ; $23 \cdot 21 - 23 \cdot 11 = 23 \cdot 10 = 230$
удобные пары	$25 \cdot 4 = 100$ , $2 \cdot 50 = 100$ , $125 \cdot 8 = 1000$ , $2, 5 \cdot 4 = 10$
$99 = 100 - 1$	$99 \cdot 43 = 4300 - 43 = 4257$
сумма подряд	$1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$

Удвоенная сумма

= 139 \cdot 140

, значит,

1 + 2 + \dots + 139 = \frac{139 \cdot 140}{2} = 9730

Сравнение и оценка

Дроби сравнивают через общий знаменатель, через общий числитель или сравнивая каждую с эталоном $\frac{1}{2}$ либо $1$ .

Наибольшее из $\frac{1}{2}; \frac{3}{8}; \frac{1}{3}; \frac{4}{13}$ : все, кроме $\frac{1}{2}$ , меньше половины ( $3 < 4$ , $1 < 1, 5$ , $4 < 6, 5$ ). Ответ $\frac{1}{2}$ .
Наименьшее из $\frac{4}{7}; \frac{9}{13}; \frac{1}{3}; \frac{5}{16}$ : первые две больше $\frac{1}{2}$ . Сравним $\frac{1}{3} = \frac{5}{15}$ и $\frac{5}{16}$ — при равных числителях меньше дробь с бо́льшим знаменателем. Ответ $\frac{5}{16}$ .

Чем меньше дополнение дроби до единицы, тем сама дробь больше: $\frac{9}{10} > \frac{8}{9}$ , потому что $\frac{1}{10} < \frac{1}{9}$ .

Целая часть числа — наибольшее целое, не превосходящее его; для дроби её находят делением числителя на знаменатель с остатком: $\frac{47}{6} = 7 \frac{5}{6}$ , целая часть $7$ .

Буквенные выражения с числовым ответом

Если после раскрытия скобок и приведения подобных все слагаемые с буквой уничтожаются, значение выражения одно и то же при любом значении переменной.

$11 (x + 7) - 11 x - 11 = 11 x + 77 - 11 x - 11 = 66$ .
$(3 x + 11 y) - (3 x - 4 y) = 3 x + 11 y - 3 x + 4 y = 15 y$ ; при $y = - 3$ : $- 45$ .
$5 (x + 3) - 5 x = 15$ .

Минус перед скобкой меняет знак каждого слагаемого: $- (3 x - 4 y) = - 3 x + 4 y$ .

Если известна не сама буква, а комбинация ( $a + b$ , $x - y$ ), ищите эту комбинацию целиком: $7 a + 7 b = 7 (a + b)$ .

Ещё типы заданий

Раскрыть модуль при условии: при $x < 22$ выражение $x - 22$ отрицательно, поэтому $∣ x - 22∣ = 22 - x$ и $9∣ x - 22∣ = 9 (22 - x)$ ; при $x > 7$ : $∣ x - 7∣ = x - 7$ .
Сколько целых чисел между дробями $\frac{20}{9}$ и $\frac{29}{4}$ : $\frac{20}{9} = 2 \frac{2}{9}$ , $\frac{29}{4} = 7 \frac{1}{4}$ ; между ними целые $3, 4, 5, 6, 7$ — пять чисел.
Противоположные скобки: $y - x = - (x - y)$ , поэтому $12 (x - y) + 9 (y - x) = 12 (x - y) - 9 (x - y) = 3 (x - y) = 30$ при $x - y = 10$ .
Буква через букву: $\frac{9 a + 14 b}{b}$ при $a = 4 b$ : $\frac{36 b + 14 b}{b} = \frac{50 b}{b} = 50$ ( $b \neq = 0$ ).
$99 \cdot 62 = 6200 - 62 = 6138$ ; $2 \cdot 92 \cdot 50 = 100 \cdot 92 = 9200$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Прогрессии

Серия: 0