Тема 04 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Разность квадратов и рациональный счёт

Формулы сокращённого умножения. 100 заданий.

Родителю: как помочь с темой «Разность квадратов и рациональный счёт»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Некоторые произведения встречаются так часто, что их результат выгодно знать наизусть — как таблицу умножения. Тогда $(x + 19)^{2} - (x - 19)^{2}$ упрощается в одну строку, а $20 6^{2} - 17 6^{2}$ считается в уме.

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

: квадрат, два одинаковых прямоугольника и ещё квадрат

Квадраты и разность квадратов

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a, b

— любые числа или выражения;

2 ab

— удвоенное произведение

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

разность квадратов

Следствия для задач «найдите, не вычисляя $a$ и $b$ »: $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = (a - b)^{2} + 2 ab$ ; $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ .

Упростите $(x + 19)^{2} - (x - 19)^{2}$ .

Способ 1: $x^{2} + 38 x + 361 - (x^{2} - 38 x + 361) = 76 x$ .
Способ 2 (разность квадратов): $((x + 19) - (x - 19)) ((x + 19) + (x - 19)) = 38 \cdot 2 x = 76 x$ .

$20 6^{2} - 17 6^{2} = (206 - 176) (206 + 176) = 30 \cdot 382 = 11460$ .
$(4 6^{2} - 3 8^{2}) : 8 = \frac{8 \cdot 84}{8} = 84$ .
$13 7^{2} - 3 7^{2} = 100 \cdot 174 = 17400$ ; $10, 3 \cdot 9, 7 = 1 0^{2} - 0, 3^{2} = 99, 91$ .

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ — забывают удвоенное произведение. Проверка: $(1 + 2)^{2} = 9$ , а $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Куб суммы и разности

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

коэффициенты всегда

1, 3, 3, 1

; в кубе разности знаки чередуются:

+, -, +, -

$(x - 8)^{3} = x^{3} - 3 \cdot x^{2} \cdot 8 + 3 \cdot x \cdot 64 - 512 = x^{3} - 24 x^{2} + 192 x - 512$ .
Обратно: $x^{3} - 15 x^{2} + 75 x - 125$ . Крайние — кубы $x$ и $5$ ; проверяем $3 \cdot x^{2} \cdot 5 = 15 x^{2}$ ✓, $3 \cdot x \cdot 25 = 75 x$ ✓, знаки чередуются → $(x - 5)^{3}$ .

Сумма и разность кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}), a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

второй множитель — неполный квадрат: средний член

ab

без двойки, его знак противоположен знаку в первой скобке

Вычислите, не возводя в куб: $(1 8^{3} + 9^{3}) : (18 + 9)$ .

По формуле частное равно неполному квадрату: $1 8^{2} - 18 \cdot 9 + 9^{2}$ .
$324 - 162 + 81 = 243$ . Так же $(4^{3} + 2^{3}) : (4 + 2) = 16 - 8 + 4 = 12$ .

Полезно: $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ .

Не путайте неполный квадрат $a^{2} - ab + b^{2}$ с квадратом разности $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ .

Выделение полного квадрата

x^{2} + b x + c = (x + \frac{b}{2})^{2} + (c - \frac{b ^{2}}{4})

b

— коэффициент при

x

c

— свободный член; добавляем и вычитаем

(\frac{b}{2})^{2}

$x^{2} + 10 x + 22$ : половина от $10$ — это $5$ , $5^{2} = 25$ . $x^{2} + 10 x + 25 - 3 = (x + 5)^{2} - 3$ .
Что прибавить к $x^{2} - 16 x + 30$ , чтобы получился полный квадрат? Нужно $x^{2} - 16 x + 64 = (x - 8)^{2}$ , значит, прибавить $64 - 30 = 34$ .

Квадрат неотрицателен, поэтому выражение принимает наименьшее значение $c - \frac{b ^{2}}{4}$ при $x = - \frac{b}{2}$ : $x^{2} + 6 x + 11 = (x + 3)^{2} + 2$ , минимум $2$ при $x = - 3$ .

Порядок: «половину коэффициента при $x$ — в скобку, её квадрат — вычесть».

Ещё приёмы с формулами

«Значение не зависит от $x$ » — раскройте скобки, всё с $x$ сократится: $(x + 27)^{2} - x^{2} - 54 x = x^{2} + 54 x + 729 - x^{2} - 54 x = 729$ ; $(x + 8)^{3} - x^{3} - 24 x^{2} - 192 x = 512$ .
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ через $x + \frac{1}{x}$ : $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}$ , значит $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 3^{2} - 2 = 7$ при $x + \frac{1}{x} = 3$ .
$ab$ по сумме и сумме квадратов: $2 ab = (a + b)^{2} - (a^{2} + b^{2}) = 900 - 744 = 156$ , $ab = 78$ . $a^{3} + b^{3}$ : $(a + b)^{3} - 3 ab (a + b) = 1 7^{3} - 3 \cdot 56 \cdot 17 = 4913 - 2856 = 2057$ .
Куб числа рядом с круглым: $8 9^{3} = (90 - 1)^{3} = 729000 - 3 \cdot 8100 \cdot 1 + 3 \cdot 90 \cdot 1 - 1 = 729000 - 24300 + 270 - 1 = 704969$ .
Разность кубов на неполный квадрат: $(1 1^{3} - 4^{3}) : (1 1^{2} + 11 \cdot 4 + 4^{2}) = 11 - 4 = 7$ .
Наибольшее значение при минусе перед $x^{2}$ : $- x^{2} - 24 x - 171 = - (x^{2} + 24 x + 144) - 27 = - (x + 12)^{2} - 27$ ; так как $- (x + 12)^{2} \leq 0$ , наибольшее значение $- 27$ (при $x = - 12$ ).

Посмотреть и посчитать

Модели

Квадрат суммы

Серия: 0