Тема 08 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Остатки и степени

Линейная функция и элементы теории чисел. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Прямую $y = k x + b$ задают два числа: $k$ — насколько она крута, $b$ — где она пересекает ось $O y$ . Две точки однозначно определяют эти числа. А в теории чисел работает похожая идея: чтобы узнать остаток огромного числа, достаточно следить за остатками маленьких.

Прямая через две точки

Через две точки с разными абсциссами проходит ровно одна прямая $y = k x + b$ .

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}, b = y_{1} - k x_{1}

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

— данные точки;

k

— угловой коэффициент,

b

— ордината точки пересечения с осью

O y

Прямая проходит через $A (- 4; 8)$ и $B (5; - 10)$ . Найдите $y$ при $x = 1$ .

$k = \frac{- 10 - 8}{5 - ( - 4 )} = \frac{- 18}{9} = - 2$ .
$b = 8 - (- 2) \cdot (- 4) = 8 - 8 = 0$ , прямая $y = - 2 x$ .
$y (1) = - 2$ .

Через $A (- 3; 0)$ и $B (5; - 8)$ : $k = \frac{- 8}{8} = - 1$ , $b = 0 - (- 1) (- 3) = - 3$ , $y = - x - 3$ .

С осью $O x$ : $y = 0$ → $- x - 3 = 0$ → $x = - 3$ (точка $A$ уже на оси!).
С осью $O y$ : $x = 0$ → $y = b = - 3$ .

Если одна из данных точек имеет $y = 0$ , она и есть точка пересечения с осью $O x$ — считать ничего не нужно.

Взаимное расположение прямых

Равные

k

— прямые параллельны; разные

k

— пересекаются

Условие	Прямые	Пример
$k_{1} \neq = k_{2}$	пересекаются в одной точке	$y = 2 x - 1$ и $y = - x + 2$
$k_{1} = k_{2}, b_{1} \neq = b_{2}$	параллельны	$y = 2 x - 1$ и $y = 2 x - 8$
$k_{1} = k_{2}, b_{1} = b_{2}$	совпадают	$y = - 2 x + 9$ и $y = - 2 x + 9$

Абсциссу точки пересечения находят из уравнения $k_{1} x + b_{1} = k_{2} x + b_{2}$ : $2 x - 1 = - x + 2$ → $x = 1$ , $y = 1$ .

Делимость

На что	Признак
2	последняя цифра чётная
4	две последние цифры образуют число, кратное 4
5	последняя цифра 0 или 5
3 и 9	сумма цифр кратна 3 (9)
11	знакочередующаяся сумма цифр кратна 11: $8294$ : $8 - 2 + 9 - 4 = 11$ ✓

На составное число проверяют взаимно простые множители: на 6 $= 2 \cdot 3$ , на 12 $= 3 \cdot 4$ , на 15 $= 3 \cdot 5$ .

Сколько трёхзначных чисел делится на 46?

Чисел от 1 до $N$ , кратных $m$ , ровно $[\frac{N}{m}]$ (целая часть частного).
От 1 до 999: $[999 : 46] = 21$ ; от 1 до 99: $[99 : 46] = 2$ .
Трёхзначных: $21 - 2 = 19$ . Для 20: $49 - 4 = 45$ .

12 не проверяют «на 2 и на 6»: 2 и 6 не взаимно простые (18 делится на 2 и на 6, но не на 12).

Остатки и степени

a = b \cdot q + r, 0 \leq r < b

a

— делимое,

b

— делитель,

q

— неполное частное,

r

— остаток

Остаток суммы (произведения) равен остатку от суммы (произведения) остатков. Поэтому в степени можно заменить основание его остатком.

$a$ даёт остаток 2 при делении на 14, $b$ — остаток 10. Остаток $a + b$ : $2 + 10 = 12$ ( $12 < 14$ ) → $12$ .
Остаток $1 3^{5}$ при делении на 11: $13$ даёт остаток $2$ , значит, ищем остаток $2^{5} = 32$ ; $32 = 2 \cdot 11 + 10$ → $10$ .

Последняя цифра степени повторяется циклом длины не больше 4: $2^{1} \to 2, 2^{2} \to 4, 2^{3} \to 8, 2^{4} \to 6, 2^{5} \to 2, \dots$ Делим показатель на длину цикла с остатком: последняя цифра $2^{30}$ такая же, как у $2^{2}$ ( $30 = 4 \cdot 7 + 2$ ), т. е. $4$ .

Если сумма остатков больше делителя, её ещё раз делят: остатки 9 и 8 при делении на 14 дают $17$ → остаток $3$ .

НОД и НОК в задачах

НОД (a, b) \cdot НОК (a, b) = a \cdot b

a, b

— натуральные числа

НОД«разложить поровну без остатка», «наибольшее число одинаковых наборов»

НОК«снова совпадут», «встретятся», «отойдут одновременно»

Автобусы отходят каждые 44 мин и каждые 37 мин, в 8:00 — одновременно. Через сколько минут снова отойдут вместе?

Ищем наименьшее число, кратное и 44, и 37: это НОК.
37 — простое, 44 на него не делится → числа взаимно простые.
$НОК = 44 \cdot 37 = 1628$ мин. Так же $НОК (43, 45) = 1935$ .

Соседние числа ( $n$ и $n + 1$ ) всегда взаимно простые; два соседних нечётных — тоже.

Ещё задачи о прямых

При каком $a$ прямые $y = (a - 6) x + 1$ и $y = - 6 x + 3$ параллельны?

Параллельны — угловые коэффициенты равны, а свободные члены разные ( $1 \neq = 3$ ).
$a - 6 = - 6$ , $a = 0$ .

При каком $b$ прямая $y = - 4 x + b$ проходит через точку пересечения прямых $y = 4 x + 5$ и $y = 5 x + 10$ ?

Точка пересечения: $4 x + 5 = 5 x + 10$ , $x = - 5$ , $y = 4 \cdot (- 5) + 5 = - 15$ .
Подставим $(- 5; - 15)$ в третью прямую: $- 15 = - 4 \cdot (- 5) + b = 20 + b$ .
$b = - 35$ .

Ордината точки пересечения: найдите $x$ из $k_{1} x + b_{1} = k_{2} x + b_{2}$ и подставьте в любое из уравнений: $x + 10 = 3 x - 8$ → $x = 9$ , $y = 19$ .

Ещё задачи на делимость и остатки

Признак делимости на 8: три последние цифры образуют число, кратное 8. $183 *$ кратно 8: $83 *$ должно делиться на 8 → $832 = 8 \cdot 104$ , цифра $2$ . На 9: $46 * 9$ — сумма $4 + 6 + * + 9 = 19 + *$ кратна 9 → $* = 8$ .
Наибольшее трёхзначное, кратное 30: $999 : 30 = 33$ (ост. 9), $33 \cdot 30 = 990$ . Наименьшее четырёхзначное, кратное 60: $1000 : 60 = 16$ (ост. 40), берём $17 \cdot 60 = 1020$ .
Наименьшее $n$ , при котором $6 n + 24$ делится на 13: перебираем $n = 1, 2, \dots$ : $6 n + 24 = 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78$ → при $n = 9$ получаем $78 = 6 \cdot 13$ .
Последняя цифра суммы — последняя цифра суммы последних цифр слагаемых (степени — по циклу). Число с двумя остатками: наименьшее, дающее остаток 5 при делении на 7 и 1 при делении на 8, — перебираем числа вида $7 q + 5$ : $5, 12, 19, 26, 33$ ; $33 = 8 \cdot 4 + 1$ → $33$ .
НОД находят разложением на простые множители (общие множители в наименьших степенях) или вычитанием/делением: $НОД (162, 148) = НОД (148, 14) = НОД (14, 8) = НОД (8, 6) = 2$ . НОК — произведение, делённое на НОД: $НОК (48, 22) = \frac{48 \cdot 22}{2} = 528$ . Если НОД 5, НОК 300 и одно число 60, второе $= \frac{5 \cdot 300}{60} = 25$ .
Подарки из 28 конфет и 52 печений без остатка: наибольшее число подарков — $НОД (28, 52) = 4$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Линейная функция

Серия: 0

Остатки и степени

Простыми словами

Прямая через две точки

Взаимное расположение прямых

Делимость

Остатки и степени

НОД и НОК в задачах

Ещё задачи о прямых

Ещё задачи на делимость и остатки

Примеры заданий