Тема 06 · Математика, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Площадь круга, сектора и кольца

Окружность и круг: составные фигуры. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

У любой окружности длина примерно в 3,14 раза больше диаметра — у монеты и у колеса обозрения одинаково. Это число называют $π$ («пи»). Окружность — это линия (обод колеса), круг — часть плоскости внутри неё (блин). У окружности есть длина, у круга — площадь.

C = 2 π R = π d S = π R^{2} π \approx 3, 14

C

— длина окружности,

S

— площадь круга,

R

— радиус,

d = 2 R

— диаметр

Длина окружности и колёса

Радиус по площади: $R^{2} = S : π$ . Если $S = 3215, 36$ см², то $R^{2} = 1024$ , $R = 32$ см, $C = 2 \cdot 3, 14 \cdot 32 = 200, 96$ см.
Дуга с углом $α$ : $l = C \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$ ; полуокружность диаметра $d$ — $\frac{π d}{2}$ .
За один оборот колесо проходит длину своей окружности: путь $= C \cdot n$ ( $n$ — число оборотов).
Колёса, связанные ремнём или зубцами, за одно время проходят одинаковую длину обода: $d_{1} n_{1} = d_{2} n_{2}$ .

Отрезок 208 см разделили на 8 частей и на каждой построили полуокружность. Длина волнистой линии?

Каждая полуокружность: $\frac{π d}{2}$ ; вместе $\frac{π ( d _{1} + \dots + d _{8} )}{2} = \frac{π \cdot 208}{2}$ .
$3, 14 \cdot 104 = 326, 56$ см. Число частей не важно!

Площадь круга, сектора и кольца

Фигура	Площадь
Сектор с углом $α$	$S = π R^{2} \cdot \frac{α}{36 0 ^{\circ}}$
Полукруг диаметра $d$	$S = \frac{π d ^{2}}{8}$
Кольцо (радиусы $R > r$ )	$S = π (R^{2} - r^{2})$

Кольцо площадью $125, 6$ см², внешний радиус 7 см. Внутренний?

$R^{2} - r^{2} = 125, 6 : 3, 14 = 40$ .
$r^{2} = 49 - 40 = 9$ , $r = 3$ см.

Площадь кольца — не $π (R - r)^{2}$ : для радиусов 12 и 6 верно $3, 14 \cdot (144 - 36) = 339, 12$ см², а не $3, 14 \cdot 36$ .

Составные фигуры

Слева:

a^{2} - \frac{π a ^{2}}{4}

. Справа (круг вписан,

R = \frac{a}{2}

a^{2} - π (\frac{a}{2})^{2}

Квадрат $7$ см без четверти круга радиуса 7: $49 - \frac{3 , 14 \cdot 49}{4} = 49 - 38, 465 = 10, 535$ см².
Квадрат $20$ см без вписанного круга ( $R = 10$ ): $400 - 314 = 86$ см².
Квадрат, вписанный в круг радиуса $R$ : его площадь $2 R^{2}$ (диагональ равна $2 R$ ).
«Стадион» (прямоугольник $w \times h$ с полукругами на сторонах $h$ ): периметр $2 w + πh$ .

Периметр — только внешняя граница: прямые стороны плюс дуги. Внутренние линии разреза не считаются.

Фигуры из полуокружностей

На отрезке длиной $d$ построена большая полуокружность, а на его частях $d_{1}$ и $d_{2}$ ( $d_{1} + d_{2} = d$ ) — две маленькие с той же стороны.

Длина полуокружности $\frac{π d}{2}$ . Две маленькие вместе $\frac{π ( d _{1} + d _{2} )}{2} = \frac{π d}{2}$ — столько же, сколько большая. Периметр фигуры: $\frac{π d}{2} \cdot 2 = π d$ . Для $d = 96$ : $3, 14 \cdot 96 = 301, 44$ см.

$d = 28$ см, части $22$ и $6$ см. Площадь фигуры между полуокружностями?

Площадь полукруга $\frac{π R ^{2}}{2}$ : большой ( $R = 14$ ) — $\frac{3 , 14 \cdot 196}{2} = 307, 72$ см².
Маленькие ( $R = 11$ и $R = 3$ ): $189, 97$ и $14, 13$ см².
$307, 72 - 189, 97 - 14, 13 = 103, 62$ см².

Для длины маленькие дуги «съедают» ровно столько, сколько большая, а для площади — нет: площадь зависит от квадрата радиуса.

Изменение радиуса

Радиус × $k$ Длина окружности ×

k

, площадь ×

k^{2}

. Длину увеличили в 5 раз — площадь в 25 раз.

Радиус + 10 %Площадь ×

1, 1^{2} = 1, 21

— на 21 %.

Радиус + $Δ R$ Длина +

2 π \cdot Δ R

— не зависит от самого радиуса!

Длину окружности увеличили на $144, 44$ см: $Δ R = 144, 44 : 6, 28 = 23$ см.

Если верёвку вокруг Земли по экватору удлинить всего на 6,28 м, она поднимется над землёй на 1 м — как и вокруг мяча: $Δ R = 6, 28 : (2 \cdot 3, 14) = 1$ м.

Посмотреть и посчитать

Калькуляторы

Площадь круга

Серия: 0

Площадь круга, сектора и кольца

Простыми словами

Длина окружности и колёса

Площадь круга, сектора и кольца

Составные фигуры

Фигуры из полуокружностей

Изменение радиуса

Примеры заданий