Тема 04 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 4 из 5

Логарифмические неравенства

Показательные и логарифмические уравнения и неравенства. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Функции $y = b^{x}$ и $y = lo g_{b} x$ — «зеркальные» друг другу: одна возводит основание в степень, другая находит эту степень. Обе монотонны, поэтому равенство значений означает равенство аргументов, а неравенство сохраняется или переворачивается — смотря какое основание.

y = 2^{x}

проходит через

(0; 1)

y = lo g_{2} x

— через

(1; 0)

; при основании

b > 1

обе возрастают

Показательные уравнения

Вид	Приём
$b^{f (x)} = b^{g (x)}$	$f (x) = g (x)$ ( $b > 0$ , $b \neq = 1$ )
$b^{2 x} + p \cdot b^{x} + q = 0$	замена $t = b^{x} > 0$ : $t^{2} + pt + q = 0$
$b^{x + k} \pm b^{x - j}$	вынести за скобку $b^{x - j}$ (меньшую степень)
однородное $α p^{2 x} + β (pq)^{x} + γ q^{2 x} = 0$	разделить на $q^{2 x}$ , замена $t = (\frac{p}{q})^{x}$

$3^{x + 3} - 2 \cdot 3^{x - 2} = 241$ : $3^{x - 2} (3^{5} - 2) = 241 \cdot 3^{x - 2} = 241$ , отсюда $3^{x - 2} = 1$ , $x = 2$ .
$8 \cdot 4^{x} - 42 \cdot 1 0^{x} - 50 \cdot 2 5^{x} = 0$ : делим на $2 5^{x}$ , $t = (\frac{2}{5})^{x}$ : $8 t^{2} - 42 t - 50 = 0$ , $t = 6, 25$ (корень $- 1$ не подходит, $t > 0$ ). $(\frac{2}{5})^{x} = (\frac{2}{5})^{- 2}$ , $x = - 2$ .

Логарифмические уравнения

lo g_{b} A = k ⟺ A = b^{k} (b > 0, b \neq = 1)

lo g_{b} A + lo g_{b} B = lo g_{b} (A B), lo g_{b^{n}} x = \frac{1}{n} lo g_{b} x, lo g_{b} A^{n} = n lo g_{b} A

ОДЗ: под логарифмом — положительное число, основание положительно и не равно $1$ . Корни обязательно проверяют по ОДЗ.

$lo g_{3} x + lo g_{9} x = 7, 5$ : $lo g_{9} x = \frac{1}{2} lo g_{3} x$ , тогда $1, 5 lo g_{3} x = 7, 5$ , $lo g_{3} x = 5$ , $x = 243$ .
$lo g_{3} (x + 27) + lo g_{3} (x + 3) = 4$ : $(x + 27) (x + 3) = 81$ , $x^{2} + 30 x = 0$ , $x = 0$ или $x = - 30$ . При $x = - 30$ аргументы отрицательны — посторонний. Ответ: $0$ .
$lo g_{x} A = 2$ : $x^{2} = A$ при $x > 0$ , $x \neq = 1$ .

Формулу $lo g_{b} A + lo g_{b} B = lo g_{b} (A B)$ применяют, когда $A > 0$ и $B > 0$ по отдельности. Переход к $lo g_{b} (A B)$ расширяет ОДЗ — отсюда посторонние корни.

Неравенства

Основание	Что со знаком неравенства
$b > 1$	сохраняется: $b^{f} > b^{g} ⟺ f > g$
$0 < b < 1$	меняется на противоположный
$lo g_{b} A \leq k$ , $b > 1$	$0 < A \leq b^{k}$ (не забыть $A > 0$ !)
рационализация	$b^{x} - b^{m}$ имеет тот же знак, что $x - m$ (при $b > 1$ )

$(\frac{1}{5})^{x^{2}} \geq 0, 2 = (\frac{1}{5})^{1}$ : основание меньше $1$ , знак меняется: $x^{2} \leq 1$ . Целые: $- 1, 0, 1$ — три решения.
$(5^{x} - 5) (x + 4) \geq 0$ : заменяем $5^{x} - 5$ на $x - 1$ : $(x - 1) (x + 4) \geq 0$ , $x \leq - 4$ или $x \geq 1$ . На $[- 10; 10]$ — $7 + 10 = 17$ целых.
$lo g_{2} (x + 6) \leq 5$ : $0 < x + 6 \leq 32$ , $- 6 < x \leq 26$ ; наибольшее целое $26$ .
$lo g_{1/3} (x^{2} - 3 x - 7) \geq - 2$ : основание меньше $1$ : $0 < x^{2} - 3 x - 7 \leq 9$ . Целые решения $- 2$ и $5$ , сумма $3$ .

Модуль

$∣ A ∣ = c (c > 0) ⟺ A = \pm c$ ; $∣ A ∣ \leq c ⟺ - c \leq A \leq c$ .

$∣ 2^{x} - 18∣ = 14$ : $2^{x} = 32$ или $2^{x} = 4$ ; $x = 5$ или $x = 2$ , сумма $7$ .
$∣ lo g_{4} x ∣ = 1$ : $x = 4$ или $x = \frac{1}{4}$ , сумма $4, 25$ .

Уравнение вида $x^{l o g_{b} x} = \dots$ логарифмируют по основанию $b$ : получается $lo g_{b}^{2} x = \dots$ — квадратное относительно $lo g_{b} x$ .

Серия: 0