Какое множество точек комплексной плоскости задаёт условие? |z − 4 − 6i| = 5 Варианты: окружность с центром (4; 6) и радиусом 5; окружность с центром (4; 6) и радиусом 25; окружность с центром (4; −6) и радиусом 5; окружность с центром (−4; −6) и радиусом 5.

окружность с центром (4; 6) и радиусом 5

Тема 06 · Алгебра и начала анализа, углублённый уровень · подтема 5 из 5

Комплексная плоскость

Комплексные числа. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Среди действительных чисел нет такого, квадрат которого равен $- 1$ . Математики «добавили» его и назвали мнимой единицей $i$ . Тогда любое комплексное число — это пара «действительная часть + мнимая часть», то есть точка на плоскости.

z = a + bi, i^{2} = - 1, Re z = a, Im z = b

$a$ — действительная часть, $b$ — мнимая (это число, без $i$ ). Два комплексных числа равны, только если равны их действительные и мнимые части.

∣ z ∣ = 3^{2} + 2^{2} www.reknow.ru = 13 www.reknow.ru

; сопряжённое — отражение относительно оси

Re

Действия в алгебраической форме

Действие	Как
сложение	$(a + bi) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i$
умножение	$(a + bi) (c + d i) = (a c - b d) + (a d + b c) i$ — раскрыть скобки, $i^{2} = - 1$
деление	умножить числитель и знаменатель на число, сопряжённое знаменателю
степени $i$	$i, i^{2} = - 1, i^{3} = - i, i^{4} = 1$ — период $4$
полезно	$(1 + i)^{2} = 2 i$ , $(1 - i)^{2} = - 2 i$

Найдите мнимую часть $z = \frac{10 + 10 i}{- 4 + 2 i}$ .

Домножаем на $- 4 - 2 i$ : знаменатель $(- 4)^{2} + 2^{2} = 20$ .
Числитель: $(10 + 10 i) (- 4 - 2 i) = - 40 - 20 i - 40 i - 20 i^{2} = - 20 - 60 i$ .
$z = \frac{- 20 - 60 i}{20} = - 1 - 3 i$ , $Im z = - 3$ .

$(- 2 - 3 i) x + (1 + 3 i) y = - 1 - 3 i$ , $x, y$ — действительные. Найдите $x y$ .

Действительные части: $- 2 x + y = - 1$ ; мнимые: $- 3 x + 3 y = - 3$ , то есть $- x + y = - 1$ .
Вычитаем: $- x = 0$ , $x = 0$ , $y = - 1$ . Ответ: $x y = 0$ .

Модуль и сопряжённое

∣ a + bi ∣ = a^{2} + b^{2} www.reknow.ru, \overset{z}{ˉ} = a - bi, z \cdot \overset{z}{ˉ} = ∣ z ∣^{2}, ∣ z_{1} z_{2} ∣ = ∣ z_{1} ∣ ∣ z_{2} ∣

$∣ z ∣$ — расстояние от точки $z$ до начала координат; $\overset{z}{ˉ}$ — сопряжённое число.

$z = - 4 + 2 i$ , $w = \frac{z}{z ˉ}$ . Найдите $Im w$ .

$\frac{z}{z ˉ} = \frac{z ^{2}}{z z ˉ} = \frac{z ^{2}}{∣ z ∣ ^{2}}$ .
$z^{2} = 16 - 16 i + 4 i^{2} = 12 - 16 i$ , $∣ z ∣^{2} = 20$ .
$w = 0, 6 - 0, 8 i$ , $Im w = - 0, 8$ .

Уравнения

При $D < 0$ у $x^{2} + p x + q = 0$ два сопряжённых корня $\frac{- p \pm i - D www.reknow.ru}{2}$ ; теорема Виета работает: $x_{1} + x_{2} = - p$ , $x_{1} x_{2} = q$ . Обратно: если $z = a + bi$ — корень уравнения с действительными $p$ и $q$ , то второй корень $\overset{z}{ˉ} = a - bi$ , поэтому $p = - 2 a$ , $q = a^{2} + b^{2}$ . Пример: корень $3 + 5 i$ даёт $q = 9 + 25 = 34$ .

Решите $z^{2} = 16 - 30 i$ ; найдите действительную часть корня с $Re z > 0$ .

$z = x + y i$ : $x^{2} - y^{2} = 16$ , $2 x y = - 30$ , а по модулю $x^{2} + y^{2} = ∣16 - 30 i ∣ = 34$ .
Складываем: $2 x^{2} = 50$ , $x = \pm 5$ . Берём $x = 5$ , тогда $y = - 3$ .
Ответ: $5$ (корни $\pm (5 - 3 i)$ ).

Тригонометрическая форма и формула Муавра

z = r (cos φ + i sin φ), z^{n} = r^{n} (cos n φ + i sin n φ)

r = ∣ z ∣

— модуль,

φ = ar g z

— аргумент (угол с осью

Re

)

При умножении модули перемножаются, аргументы складываются. Уравнение $z^{n} = w$ имеет $n$ корней — вершины правильного $n$ -угольника на окружности радиуса $n ∣ w ∣ www.reknow.ru$ , аргументы $\frac{ar g w + 2 πk}{n}$ , $k = 0, 1, \dots, n - 1$ .

Сколько корней $z^{11} = - 27 i$ имеют положительную мнимую часть?

$ar g (- 27 i) = - \frac{π}{2}$ , аргументы корней $φ_{k} = \frac{- π /2 + 2 πk}{11}$ .
Нужно $0 < φ_{k} < π$ : $\frac{1}{4} < k < \frac{23}{4}$ , то есть $k = 1, \dots, 5$ . Ответ: $5$ .

Множества на плоскости

Условие	Фигура
$∣ z_{1} - z_{2} ∣$	расстояние между точками
$∣ z - z_{0} ∣ = r$	окружность с центром $z_{0}$ радиуса $r$
$∣ z - z_{1} ∣ = ∣ z - z_{2} ∣$	серединный перпендикуляр к отрезку $z_{1} z_{2}$
$∣ z - z_{0} ∣ \leq r$ ; $r_{1} \leq ∣ z - z_{0} ∣ \leq r_{2}$	круг площади $π r^{2}$ ; кольцо площади $π (r_{2}^{2} - r_{1}^{2})$ . Добавочное условие вроде $Re z \geq a$ через центр отрезает половину
$∣ Re z - a ∣ + ∣ Im z - b ∣ \leq c$	квадрат-«ромб» с центром $(a; b)$ , диагонали $2 c$ , площадь $2 c^{2}$

$∣ Re z - 5∣ + ∣ Im z + 1∣ \leq 12$ : площадь $2 \cdot 1 2^{2} = 288$ .
$∣ z + 5 - 12 i ∣ = 4$ — окружность с центром $(- 5; 12)$ , до начала координат $13$ ; наибольшее $∣ z ∣ = 13 + 4 = 17$ .

$∣ z + 5 - 12 i ∣$ — это $∣ z - (- 5 + 12 i) ∣$ : центр в точке $(- 5; 12)$ , знаки меняются.

Серия: 0