9.3. Аналог в цифру и обратно: ЦАП и АЦП

9.3.1Число вместо напряжения: коды и погрешности

≈ 7 мин2 упр.

Главное

АЦП ставит в соответствие напряжению число, ЦАП делает обратное; самый мелкий шаг — 1 МЗР $= U_{шк} / 2^{n}$ .
Знак кодируют смещённым двоичным или дополнительным кодом; они различаются лишь старшим разрядом.
Ошибки бывают четырёх видов: сдвиг нуля, неверная шкала, нелинейность, немонотонность. Первые две убираются подстройкой, вторые две — только выбором микросхемы.

Возьмите обычный электронный термометр для духовки. Термопара даёт милливольты, а на индикаторе — цифры: где-то внутри напряжение превратилось в число. Обратная задача возникает в том же приборе, если он сам регулирует нагрев: число «сколько греть» должно снова стать током или напряжением. Первое делает аналого-цифровой преобразователь (АЦП), второе — цифро-аналоговый (ЦАП). Без этой пары не обходится ни одна система, где компьютер наблюдает за опытом или ведёт технологический процесс.

Список применений длинный, и он только растёт:

звук: цифровая запись и импульсно-кодовая модуляция — сигнал на время передачи превращают в последовательность чисел, и шум линии связи ему больше не страшен;
измерения: цифровые мультиметры и осциллографы, накопители (усреднители) повторяющихся переходных процессов;
генерация: синтезаторы сигналов произвольной формы, аппаратура шифрования;
изображение: цифровая система выводит стрелочные показания, графики и двухкоординатные картинки на экран — через ЦАП.

Путь сигнала через преобразователи

Датчик

АЦП

Процессор

ЦАП

Исполнительное устройство

Совет. Наша цель — не научить строить преобразователь с нуля: на практике его почти всегда покупают готовым, в виде микросхемы или модуля. Зато чтобы из сотен типов выбрать подходящий, надо знать, как устроен каждый метод, в чём он хорош и где его слабые места.

Вес младшего разряда

1 МЗР = \frac{U _{шк}}{2 ^{n}}

Обозначения:

U_{шк}

n

2^{n}

Шкала 10 В: 12 разрядов — 2,44 мВ на шаг, 16 разрядов — 153 мкВ.

Как записать знак

Пока сигнал однополярный, всё просто: ноль вольт — код 000…0, полная шкала — 111…1. Но сигналы со знаком (звук, ошибка регулятора, ток в обе стороны) встречаются не реже. Чаще всего для них применяют два кода. В смещённом двоичном к числу заранее прибавлена половина шкалы, так что ноль — это 1000…0, а самое отрицательное значение — 000…0. Дополнительный код получается из смещённого инверсией одного только старшего разряда; ноль в нём — 000…0, и именно его понимает арифметика процессора. Реже попадаются знак плюс модуль и код Грея (все двоичные коды подробно разобраны в разделе 8.1). Сравним оба основных кода на 8 разрядах:

Двуполярные коды на 8 разрядах (МЗР — младший значащий разряд)
Значение	Смещённый двоичный	Дополнительный
+ полная шкала	1111 1111	0111 1111
+ полная шкала − 1 МЗР	1111 1110	0111 1110
0 + 1 МЗР	1000 0001	0000 0001
0	1000 0000	0000 0000
0 − 1 МЗР	0111 1111	1111 1111
− полная шкала + 1 МЗР	0000 0001	1000 0001
− полная шкала	0000 0000	1000 0000

Присмотритесь к краям таблицы: код «−полная шкала» существует, а настоящего «+полная шкала» нет — самое большое положительное число на 1 МЗР не дотягивает. Это общая черта любого n-разрядного двуполярного кода. А раз один код превращается в другой инверсией единственного разряда, многие преобразователи выдают оба, по выбору.

Чем реальный преобразователь отличается от идеального

Тот, кто долго работал с прецизионными системами, знает: паспорт описывает поведение преобразователя лишь до тех пор, пока вы не начали проверять его всерьёз. Видов погрешностей много, но почти все сводятся к четырём основным (на графиках ниже — трёхразрядный преобразователь, пунктир — идеальная прямая):

Сдвиг нуля. Вся характеристика уехала вбок. Заметьте, что у идеального АЦП первый переход 000→001 происходит не на 1 МЗР, а на ½ МЗР: тогда ошибка квантования распределена симметрично, ±½ МЗР.
Ошибка шкалы (усиления). Ноль на месте, но наклон не тот, и к концу шкалы набегает ошибка в несколько МЗР.
Нелинейность двух сортов. Интегральная — наибольшее расхождение характеристики с прямой, проведённой через её конечные точки. Дифференциальная — отклонение высоты каждой отдельной ступеньки от 1 МЗР. Когда дифференциальная нелинейность хуже −1 МЗР, ступенька исчезает совсем, и у АЦП появляются пропущенные коды — числа, которые он не выдаст никогда.
Немонотонность. Код растёт, а выход ЦАП в каком-то месте уменьшается. Такое возможно, только если нелинейность превышает ±½ МЗР. Хуже всего это для систем с обратной связью — АЦП последовательного приближения, цифровых регуляторов: петля может застрять или начать метаться между двумя соседними кодами.

а) АЦП: переходы сдвинуты на ½ МЗР

б) погрешность шкалы (наклона) 1 МЗР

в) нелинейность ±½ МЗР, монотонность сохранена

г) немонотонность: при 011→100 выход падает

Четыре типичных вида погрешностей на примере трёхразрядного преобразователя; пунктир — идеальная характеристика

Четыре погрешности в одной таблице

	Как выглядит	Можно подстроить?
Сдвиг нуля	лесенка целиком смещена вбок	да — подстройкой нуля
Шкала (усиление)	не тот наклон, ошибка растёт к концу шкалы	да — подстройкой шкалы
Нелинейность	ступеньки разной высоты, характеристика изогнута	нет — только выбор по паспорту
Немонотонность	при росте кода выход где-то падает	нет — только выбор по паспорту

Ловушка. Не доверяйте паспортной точности прецизионной системы, пока сами не проверили её во всём диапазоне, при разных температурах и с вашей разводкой: многие неприятности видны только «вблизи».

Упражнение 9.3.1

Регистратор вибраций использует 10-разрядный АЦП с входом ±5 В и смещённым двоичным выходным кодом. Каков вес младшего разряда и какое десятичное число выдаст АЦП при входе −1,25 В? Считайте, что переходы кода стоят точно на целых МЗР, отсчитанных от −5 В, т. е. код = ⌊(U + 5 В)/МЗР⌋.

МЗР =мВкод =

Решение

Шкала 10 В делится на $2^{10} = 1024$ шага: МЗР $= 10/1024 = 9, 766$ мВ. Смещённый код считается от нижнего края: $N = (- 1, 25 + 5) /0, 009766 = 3, 75/0, 009766 = 384$ . В двоичной записи это $0110000000$ (шестнадцатеричное 180). Тот же вход в дополнительном коде — $1110000000$ : старший разряд инвертирован, и единица в нём говорит, что число отрицательное.

Упражнение 9.3.2

В паспорте 10-разрядного ЦАП для управления лазерным модулем указано: в одной точке шкалы дифференциальная нелинейность достигает −1,6 МЗР. Что из этого следует?

Решение

Дифференциальная нелинейность — это отличие высоты ступеньки от 1 МЗР. Ступенька высотой $1 + (- 1, 6) = - 0, 6$ МЗР отрицательна: код увеличился, а выход упал. ЦАП немонотонен, и никакая подстройка нуля или усиления этого не исправит. Если на таком ЦАП построить АЦП последовательного приближения, в этом месте у него окажутся пропущенные коды.

9.3.2ЦАП: складываем токи разрядов

≈ 15 мин4 упр.

Главное

Любой ЦАП так или иначе суммирует токи разрядов с весами 1, ½, ¼… — обычно в суммирующей точке ОУ.
Взвешенные резисторы — самый простой способ, но нужен разброс номиналов $2^{n - 1} : 1$ и точность резистора СЗР лучше $1/ 2^{n}$ ; годится лишь для быстрых грубых ЦАП.
Лестнице R-2R хватает двух номиналов; ЦАП на переключаемых токах самые быстрые — источники работают непрерывно.
До ½ МЗР выход устанавливается за $ln 2^{n + 1} = 0, 69 (n + 1)$ постоянных времени.

ЦАП получает число — двоичное или двоично-десятичное, в несколько тетрад — и должен выдать пропорциональное ему напряжение или ток. Удобно думать так: каждый разряд «знает» свой ток, вдвое меньший, чем у соседа слева, а схема лишь складывает токи тех разрядов, где стоит единица. Различаются способы тем, как эти токи получены и чем переключены.

К суммирующей точке ОУ подходят резисторы R, 2R, 4R…; ключ разряда соединяет свой резистор с эталоном или с землёй. Разброс номиналов — $2^{n - 1} : 1$ .

Взвешенные резисторы в суммирующей точке

Вспомним инвертирующий сумматор (раздел 4.2): выход ОУ пропорционален взвешенной сумме напряжений, поданных через резисторы на его инвертирующий вход. Сделаем веса двоичными — резисторы R, 2R, 4R, 8R… — и будем подключать каждый либо к эталону (в разряде 1), либо к земле (в разряде 0). Это уже ЦАП:

ЦАП на взвешенных резисторах

U_{вых} = - U_{оп} \frac{R _{ос}}{R} (b_{n - 1} + \frac{b _{n - 2}}{2} + \dots + \frac{b _{0}}{2 ^{n - 1}}) = - U_{оп} \frac{2 R _{ос}}{R} \cdot \frac{N}{2 ^{n}}

Обозначения:

U_{оп}

R_{ос}

R

b_{k}

N

n

Масштаб обычно выбирают так, чтобы полной шкале соответствовало число $2^{n}$ , хотя на самом деле наибольший код — $2^{n} - 1$ , все единицы. Значит, «полная шкала» никогда не достигается: 6-разрядный ЦАП со шкалой 10 В выдаёт в лучшем случае $- 10 \cdot 63/64 = - 9, 84$ В.

Дальше — простор для подгонки. Другим $R_{ос}$ можно сделать выход «круглым», например −0,1 В на единицу кода. Инвертор на выходе или ток смещения в суммирующую точку дадут положительный или двуполярный выход. А подобрав веса иначе, получим ЦАП для двоично-десятичного или любого другого взвешенного кода.

1234567

Пятиразрядный ЦАП: резисторы с двоичными весами сходятся в суммирующей точке ОУ

Что здесь что (7)

Эталон +2,5 В. от его точности прямо зависит точность всей шкалы
Ключ СЗР. соединяет резистор 5 кОм с эталоном (1) или с землёй (0); сопротивление ключа складывается с резистором
Резистор СЗР, 5 кОм. самый ответственный: его ошибка весит полшкалы, допуск — лучше $1/ 2^{n}$
Резистор МЗР, 80 кОм. вклад в 16 раз меньше, и допуск может быть в 16 раз хуже
Суммирующая точка. держится под потенциалом земли; здесь складываются токи разрядов
R_ос. превращает суммарный ток в напряжение и задаёт масштаб
ОУ. удерживает суммирующую точку на нуле; выход $= - I_{Σ} R_{ос}$

Схема выглядит безобидно, но требования к деталям у неё жёсткие:

эталон должен быть точным — ошибка эталона целиком переходит в ошибку шкалы;
точнее всего должен быть самый маленький резистор: ошибка в цепи старшего разряда весит половину шкалы, поэтому его допуск должен быть лучше $1/ 2^{n}$ ; каждый следующий разряд вдвое «легче», и допуск можно вдвое ослабить — скажем, 0,5 %, 1 %, 2 %, 4 % от старшего разряда к младшему у грубого ЦАП;
ключи — транзисторы или МОП-ключи — стоят последовательно с резисторами, поэтому их сопротивление должно быть меньше $1/ 2^{n}$ от наименьшего резистора.

Правило. Отсюда вывод: взвешенные резисторы хороши лишь для быстрых ЦАП невысокой точности.

Упражнение 9.3.3 задача

Для стенда, на котором проверяют регулятор температуры, нужен двухдекадный двоично-десятичный ЦАП на одном ОУ: он превращает уставку 00…99 в напряжение от 0 до −4,95 В — −0,5 В на единицу десятков и −0,05 В на единицу единиц. Логические входы — 0 и +2,5 В, их формирует буфер точного эталона. Обратная связь ОУ $R_{ос} = 20$ кОм. Рассчитайте резисторы и оцените допустимое сопротивление ключей.

Решение

Это инвертирующий сумматор: разряд с напряжением 2,5 В и резистором $R_{i}$ даёт вклад $- 2, 5 \cdot R_{ос} / R_{i}$ . Разряд «8 десятков» должен дать −4 В: $R = 2, 5 \cdot 20/4 = 12, 5$ кОм. Каждый следующий вес вдвое меньше — резистор вдвое больше:

десятки: 8 → 12,5 кОм; 4 → 25 кОм; 2 → 50 кОм; 1 → 100 кОм;
единицы (вес в 10 раз меньше): 8 → 125 кОм; 4 → 250 кОм; 2 → 500 кОм; 1 → 1 МОм.

Проверка: уставка 99 (1001 1001) даёт $- (4 + 0, 5) - (0, 4 + 0, 05) = - 4, 95$ В. Номиналы 12,5 и 125 кОм нестандартны — их набирают из прецизионных резисторов ряда E96 (12,4 кОм + 100 Ом) или подстраивают.

Самый маленький резистор должен быть точнее, чем полшага относительно полной шкалы: ½·0,05 В / 4 В ≈ 0,6 %. Сопротивление ключа складывается с ним, значит, оно должно быть мало по сравнению с $0, 006 \cdot 12, 5$ кОм ≈ 78 Ом — на практике единицы ом. Если ключи хуже, весь набор резисторов поднимают в 10 раз (вместе с $R_{ос}$ ). И помните: если входы — это выходы КМОП-логики, питать её нужно от того же точного эталона 2,5 В, а не от общей шины питания, иначе её шум и дрейф окажутся в выходном напряжении.

Лестница R-2R

Сосчитаем, во что обходятся взвешенные резисторы на 12 разрядах: номиналы различаются в 2000 раз, а самый маленький должен быть точен лучше 0,01 %. Это и дорого, и неудобно. Лестница R-2R решает задачу всего двумя номиналами, которые надо точно согласовать между собой, а их абсолютное значение роли не играет.

Секрет в одном свойстве: если из любого узла лестницы посмотреть вправо, увидишь сопротивление ровно R. Убедиться легко, начав с правого конца: концевой 2R параллельно 2R последнего разряда — это R, плюс последовательный R — 2R, параллельно следующему 2R — снова R, и так до самого входа. Поэтому в каждом узле ток делится пополам: половина уходит вниз, в резистор 2R, половина идёт дальше по лестнице.

Нижние концы резисторов 2R ключи переключают между землёй и суммирующей точкой ОУ. Обе точки находятся под нулевым потенциалом, и токи ветвей от положения ключей не зависят — меняется лишь то, куда каждый ток уходит. Для двоично-десятичных кодов существуют видоизменённые лестницы.

Токи ветвей лестницы R-2R

I_{СЗР} = \frac{I}{2}, \frac{I}{4}, \frac{I}{8} \dots, I = \frac{U _{оп}}{R}

Обозначения:

I

U_{оп}

R

123456

Лестница R-2R на четыре разряда; ключи стоят в положении кода 0110

Что здесь что (6)

Вход эталона. лестница нагружает эталон ровно сопротивлением R
Продольный R. вместе со всем, что правее (тоже R), даёт 2R
2R старшего разряда. через него идёт $I /2$ — половина тока эталона
Концевой 2R. замыкает лестницу: правее последнего узла тоже R
Ключ разряда. отправляет ток ветви в суммирующую точку (1) или в землю (0); обе под нулём, токи не меняются
ОУ с R_ос. превращает сумму токов в напряжение $- I_{Σ} R_{ос}$

Модель: лестница R-2R и неточный резистор старшего разряда

Упражнение 9.3.4

Четырёхразрядный ЦАП R-2R собран из резисторов $R = 5$ кОм и $2 R = 10$ кОм для генератора тестовых ступенек; $U_{оп} = + 2, 5$ В, $R_{ос} = 10$ кОм. Покажите, что ток старшего разряда равен $U_{оп} /2 R$ , а каждого следующего — вдвое меньше, и найдите $U_{вых}$ для кода 0110 (положение ключей — на схеме выше).

U_вых =В

Решение

Сопротивление лестницы. Идём справа налево: концевой 2R параллельно 2R младшего разряда (оба к нулевому потенциалу) — это R; с последовательным R — 2R; параллельно 2R следующего разряда — опять R. И так до входа: из любого узла вправо видно R, вся лестница нагружает эталон сопротивлением R.

Токи. От эталона течёт $I = 2, 5/5 кОм = 0, 5$ мА. В узле СЗР он делится поровну между 2R вниз и «2R вправо»: по 0,25 мА, т. е. $U_{оп} /2 R$ . Следующий узел снова делит пополам: токи разрядов 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125 мА.

Выход. Код 0110 включает разряды с весами 4 и 2: $I_{Σ} = 0, 125 + 0, 0625 = 0, 1875$ мА, $U_{вых} = - I_{Σ} R_{ос} = - 1, 875$ В. Общая формула даёт то же: $U_{вых} = - U_{оп} \frac{R _{ос}}{2 R} \cdot \frac{N}{2 ^{n - 1}} = - 2, 5 \cdot 1 \cdot \frac{6}{8}$ В.

Переключаемые источники тока

В лестнице R-2R операционный усилитель нужен лишь затем, чтобы превратить сумму двоичных токов в напряжение. Напряжение удобно, но ОУ, как правило, — самое медленное звено всей схемы. Если отказаться от него и выдать наружу сам ток, ЦАП получается быстрее и дешевле. Так устроены ЦАП с токовым выходом:

двоичные токи создают транзисторные источники с эмиттерными резисторами (в микросхемах эмиттеры обычно снова сидят на лестнице R-2R), а опорный ОУ с транзистором $T_{оп}$ задаёт масштаб всех токов сразу;
источники не выключаются никогда — переключается только путь тока: на выход или в землю. Нет переходных процессов включения самих источников, и потому ЦАП быстр.

Ловушка. Токовый выход терпит лишь небольшое напряжение: обычно несколько вольт, а у некоторых ЦАП — всего 0,5 В. Превысите его — источники выйдут из режима, и линейность пропадёт.

1234567

ЦАП на переключаемых источниках тока. Ток U_оп/R_оп задаёт масштаб, опорный ОУ держит коллектор T_оп на нуле; эмиттерные резисторы 2R…16R дают токи 1/2, 1/4, 1/8, 1/16 опорного; ключ разряда отправляет ток на выход, а в нуле — в землю (не показано)

Что здесь что (7)

R_оп. ток $U_{оп} / R_{оп}$ задаёт масштаб всех источников
Опорный ОУ. держит коллектор $T_{оп}$ на нуле, подстраивая общее напряжение баз
T_оп. опорный транзистор: по нему равняются все источники
Источник СЗР. эмиттерный резистор 2R — ток вдвое меньше опорного
Источник СЗР−3. резистор 16R — ток в 16 раз меньше
Ключ разряда. переключает лишь путь тока: на выход или в землю
Токовый выход. сумма токов разрядов, где стоит 1

Как получить напряжение из тока

Три типичных варианта показаны на рисунке ниже. Самый простой — резистор на землю. Он хорош, когда нагрузка почти не имеет ёмкости и большой размах не нужен: ток полной шкалы 1 мА на 250 Ом даёт 250 мВ, а выходное сопротивление — те же 250 Ом. Быстродействие задаёт постоянная времени: при ёмкости выхода и монтажа 40 пФ $τ = 10$ нс. Однако одной τ мало — до точности ½ МЗР экспонента должна затухнуть во много раз:

Установление до ½ МЗР

t_{уст} = τ ln 2^{n + 1} = 0, 69 (n + 1) τ

Обозначения:

τ

n

2^{n + 1}

Для 12 разрядов это 9τ, т. е. 90 нс при τ = 10 нс (если сам ЦАП быстрее).

6,2 τ8 разрядов

9,0 τ12 разрядов

11,8 τ16 разрядов

Если нужен размах в вольты, низкоомная или ёмкостная нагрузка, ставят преобразователь ток → напряжение: ОУ с резистором в обратной связи (вариант «б»). Здесь параллельно резистору обязателен небольшой конденсатор. Выходная ёмкость ЦАП вместе с резистором обратной связи вносит запаздывание по фазе, и без коррекции усилитель может возбудиться; к сожалению, тот же конденсатор замедляет схему. Получается парадокс: дешёвому быстрому ЦАП нередко нужен дорогой ОУ с малым временем установления.

Часто удобнее третий вариант: тот же резистор на землю, а за ним — неинвертирующий усилитель. Ёмкость ЦАП нагружена только резистором, и компенсирующий конденсатор не нужен.

а) нагрузочный резистор

б) преобразователь ток → напряжение

в) неинвертирующий усилитель ×40

Три способа превратить выходной ток ЦАП в напряжение

Три способа получить напряжение

	а) резистор на землю	б) ток → напряжение на ОУ	в) резистор + неинв. усилитель
Размах	≈ 250 мВ	до ±10 В	до 10 В
Скорость	очень высокая ( $τ = RC$ )	ограничена ОУ и конденсатором коррекции	ограничена ОУ
Подводные камни	малый размах, выход 250 Ом	нужна коррекция и быстрый (дорогой) ОУ	сдвиг ОУ усиливается в 40 раз

Ловушка. В варианте «в» напряжение сдвига ОУ усиливается вместе с сигналом — здесь в 40 раз.

Упражнение 9.3.5

14-разрядный ЦАП с токовым выходом формирует развёртку для лабораторного характериографа; выход нагружен резистором 150 Ом, ёмкость выхода и кабеля — 40 пФ. Через какое время после скачка кода на всю шкалу выход войдёт в полосу ½ МЗР? Сам ЦАП считайте мгновенным.

t =нс

Решение

$τ = RC = 150 \cdot 40 \cdot 1 0^{- 12} = 6$ нс. Остаток экспоненты должен стать меньше $1/ 2^{15}$ полной шкалы: $e^{- t / τ} = 2^{- 15}$ , откуда $t = 15 ln 2 \cdot τ = 10, 4 τ \approx 62$ нс. Для сравнения, 8-разрядному ЦАП хватило бы $9 ln 2 = 6, 2 τ$ , т. е. 37 нс.

Упражнение 9.3.6

Источник опорного напряжения для поверки собран по варианту «в»: ЦАП 12-разрядный, шкала выхода 0…+10 В, усиление каскада 40, у ОУ напряжение сдвига 0,8 мВ. Сколько МЗР составит ошибка нуля на выходе?

ошибка =МЗР

Решение

Сдвиг на выходе $0, 8 \cdot 40 = 32$ мВ. МЗР $= 10 В /4096 = 2, 44$ мВ, ошибка $32/2, 44 \approx 13, 1$ МЗР. Нужна подстройка нуля или прецизионный ОУ: чтобы уложиться в ½ МЗР, сдвиг должен быть не больше $1, 22 мВ /40 \approx 30$ мкВ.

Ассортимент готовых ЦАП покрывает разрядности 6…18 бит, а установление выхода у них длится где 20 нс, где 100 мкс; закономерность простая — чем точнее, тем медленнее. Цены различаются от единиц до сотен долларов. Удобный «середняк» — 12-разрядный ЦАП со входным регистром-защёлкой, встроенным эталоном и выходом по напряжению, устанавливающийся за несколько микросекунд (например, AD7248).

6–18 битразрядность готовых ЦАП

≈ 20 нс … 100 мксвремя установления

12 бит, 5 мкстипичный универсальный ЦАП

9.3.3ЦАП с усреднением во времени

≈ 7 мин2 упр.

Главное

Частоту импульсов или их ширину можно превратить в напряжение, просто усреднив — RC-фильтром или самой инерционной нагрузкой.
Расплата — пульсации: для ½ МЗР нужна $τ \geq 2^{n - 1} T_{0}$ , и время установления с разрядностью растёт очень быстро.
ШИМ и пакеты периодов сети идеальны для нагревателей, двигателей и электромагнитов.
Резисторные и токовые ЦАП мгновенны; ЦАП с усреднением выдают среднее за интервал.

Бывает, что «цифра» приходит не параллельным кодом, а последовательностью импульсов — скажем, частотой с датчика расхода или тахометра. Считать её в двоичное число, чтобы потом снова превратить в напряжение, незачем: частоту можно усреднить сразу.

Как частота становится напряжением

Каждый период входа

Импульс стандартной площади

RC-фильтр или интегратор

Напряжение ∝ частоте

У всех таких ЦАП одна и та же беда — пульсации. Чтобы они уложились в ½ МЗР, фильтр должен быть медленным, и выход после смены кода тоже устанавливается медленно. Посчитаем для простой RC-цепочки. Пусть на неё приходят импульсы с периодом $T_{0}$ и заполнением $D$ . Если $τ ≫ T_{0}$ , размах пульсаций составляет $D (1 - D) T_{0} / τ$ от амплитуды импульсов; хуже всего при $D = ½$ :

Пульсации и установление ЦАП с усреднением

\frac{Δ U}{U _{макс}} \approx \frac{T _{0}}{4 τ} \leq \frac{1}{2 ^{n + 1}} \Rightarrow τ \geq 2^{n - 1} T_{0}, t_{уст} \approx 0, 69 (n + 1) τ

Обозначения:

Δ U

T_{0}

τ

D

n

Модель: ШИМ-ЦАП с RC-фильтром — чистота против скорости

Перемножив, видим: время установления растёт примерно как $2^{n}$ , т. е. с каждым разрядом вдвое. Для 10 разрядов и импульсов 100 кГц простая RC-цепочка при честном расчёте пульсаций даёт $τ \geq 5, 1$ мс и установление около 39 мс. Фильтр высокого порядка с крутым срезом справляется в разы быстрее — именно его и ставят, если нужно чистое постоянное напряжение.

Совет. Не спешите строить хитрый фильтр: очень часто напряжение само по себе никому не нужно. Нагреватель, двигатель или электромагнит инерционны и прекрасно усредняют импульсы сами.

Широтно-импульсная модуляция

Здесь код задаёт не частоту, а длительность импульсов неизменной частоты. Реализация напрашивается сама: счётчик быстрых тактов и цифровой компаратор; выход держится в «1», пока содержимое счётчика меньше входного числа (подробности — в задаче ниже). После фильтра получается напряжение, пропорциональное доле времени в «1», а значит, коду.

Восьмиразрядная ШИМ: частота одна и та же, а среднее за период равно N/256 полной шкалы

Лучше всего ШИМ работает там, где нагрузка сама инерционна и усредняет порции энергии без всякого фильтра:

ёмкостная — дроссель с конденсатором импульсного стабилизатора (раздел 6.6);
тепловая — паяльник, термостат, подогрев стола 3D-принтера;
механическая — двигатель вентилятора или привода, регулятор скорости;
электромагнитная — мощное реле, клапан, электромагнит.

Упражнение 9.3.7 задача

Драйверу двигателя робота нужен ШИМ-сигнал частотой 4 кГц, скважность которого задаёт 12-разрядный двоичный код. Соберите формирователь из синхронных счётчиков и каскадируемых цифровых компараторов. Какая потребуется тактовая частота и на что обратить внимание?

Решение

Такт. Период 250 мкс надо разбить на $2^{12} = 4096$ дискретов: $f_{т} = 4 \cdot 1 0^{3} \cdot 4096 = 16, 384$ МГц — стандартный кварц этой частоты существует.

Счётчик. Три 4-разрядных синхронных счётчика 74HC163 в каскаде дают ровно 12 разрядов и считают по модулю 4096; сигнал переноса последнего отмечает начало каждого периода 4 кГц.

Сравнение. Три 4-разрядных компаратора 74HC85 соединяют каскадно: выходы «A>B», «A=B», «A<B» младшей ступени — на входы наращивания следующей. Они сравнивают состояние счётчика $A$ с кодом $B$ . Выход «A<B» старшей ступени равен 1, пока $A < B$ , — это и есть ШИМ с длительностью $B /4096$ периода.

Тонкости. Выход компаратора комбинационный: в моменты, когда переключаются сразу несколько разрядов счётчика, на нём бывают иголки. Пропустите его через D-триггер, тактируемый тем же генератором, — импульс сдвинется на один такт, что безразлично. Код переписывайте во входной регистр-защёлку по переносу счётчика, в начале периода, иначе смена кода посреди периода даст один импульс неверной длины (двигатель дёрнется). Код 0 даёт постоянный ноль, а наибольший код 4095 — «1» в течение 4095 тактов из 4096: 100 % недостижимы, как и полная шкала любого ЦАП.

Двоичный умножитель частоты и усреднение

Ещё один путь — двоичный умножитель частоты (раздел 8.6). Он превращает параллельный двоичный или двоично-десятичный код в последовательность импульсов, средняя частота которой пропорциональна коду. Усредним её — получим ЦАП. Подвох в том, что импульсы умножителя распределены неравномерно, и постоянная времени усреднения должна превышать самый длинный период его выходной последовательности; она может оказаться неприемлемо большой. Зато если усредняет сама нагрузка, метод раскрывается полностью.

Классический пример — цифровое управление температурой. Каждый импульс умножителя включает нагреватель на целый период (или полупериод) сетевого напряжения. Умножитель настраивают так, чтобы его наименьшая частота укладывалась целое число раз в удвоенную частоту сети, а ток коммутирует твердотельное реле или симистор в момент перехода сетевого напряжения через ноль.

Цифровой терморегулятор без фильтра

Код N

Двоичный умножитель частоты

Симистор, включение в нуле

Нагреватель

Главное различие преобразователей

	Мгновенные	Усредняющие во времени
ЦАП	взвешенные резисторы, R-2R, переключаемые токи	частота → напряжение, ШИМ, умножитель частоты
АЦП (о них дальше)	параллельный, последовательного приближения	интегрирующие, дельта-сигма, напряжение → частота
Что важно	момент взятия отсчёта, апертура	длительность усреднения, подавление помех

Обратите внимание на водораздел. Резисторные и токовые ЦАП по сути мгновенны: какой код — такой и выход прямо сейчас. Три последних способа усредняют во времени. Ровно так же делятся и АЦП: одни берут мгновенный отсчёт, другие выдают среднее за интервал. Какой из двух вариантов нужен — вопрос принципиальный, и мы ещё не раз к нему вернёмся.

Упражнение 9.3.8

Подогрев стола 3D-принтера (600 Вт от сети 50 Гц) включают через симистор целыми периодами сети, начиная с перехода через ноль. Мощность задаёт 6-разрядный код: в цикле из 64 периодов стол включён на N из них. Найдите длительность цикла и среднюю мощность при N = 45.

цикл =сP =Вт

Решение

Период сети 20 мс, цикл $64 \cdot 20 = 1, 28$ с — для алюминиевой плиты с тепловой постоянной в минуты это мгновенно. Средняя мощность $P = 600 \cdot 45/64 = 421, 9$ Вт, шаг регулирования $600/64 = 9, 4$ Вт. Включение в нуле убирает помехи и броски тока, а коммутация целыми периодами (а не полупериодами) не создаёт в сети постоянной составляющей.

9.3.4Умножающие ЦАП и логометрия

≈ 4 мин2 упр.

Главное

Умножающий ЦАП выдаёт произведение аналогового опорного входа на код: $U_{вых} = U_{оп} N / 2^{n}$ .
Если датчик и преобразователь питаются от одного напряжения, оно сокращается — измеряется отношение (логометрия).
Логометрия даёт точность выше стабильности эталона и питания: так работают мост, таймер 555, термистор в делителе.

Посмотрим на формулы ЦАП ещё раз: опорное напряжение входит в них множителем. Значит, если подать на вход эталона не постоянное напряжение, а сигнал, ЦАП станет перемножителем аналоговой величины на число. Почти все рассмотренные схемы это умеют: у ЦАП на источниках тока, например, масштаб всех токов можно задавать внешним программирующим током, а у ЦАП без встроенного эталона достаточно подать сигнал на вывод опорного напряжения. Такой прибор называют умножающим ЦАП.

Умножающий ЦАП

U_{вых} = U_{оп} \cdot \frac{N}{2 ^{n}}

Обозначения:

U_{оп}

N

n

Цифровой аттенюатор, регулятор громкости, усилитель с программируемым усилением — всё это умножающий ЦАП.

Ловушка. Годится для этого не всякий ЦАП. Нужны широкий диапазон и полоса аналогового входа; изготовители таких ЦАП прямо пишут в паспорте «умножающий» (multiplying) — например, 12-разрядные AD7541, AD7548, AD7845, DAC1230.

Самое интересное следствие — логометрические измерения. Пусть термистор стоит в делителе, который питается от той же шины, что служит опорной для АЦП. Шина «просела» — уменьшились и напряжение на датчике, и шкала АЦП, в одной пропорции; код не изменился. Измеряется, по сути, отношение двух сопротивлений. Так можно мерить и регулировать точнее, чем стабилен эталон или источник питания, — или, наоборот, обойтись дешёвым эталоном.

12345

Логометрия: делитель с термистором и опорный вход АЦП сидят на одной шине, и её колебания сокращаются

Что здесь что (5)

Общая шина U_п. питает и датчик, и вход опорного напряжения АЦП
Точный резистор 10 кОм. верхнее плечо делителя
Термистор R_t. нижнее плечо: его сопротивление и измеряем
АЦП. код $N = 2^{n} U_{вх} / U_{оп} = 2^{n} R_{t} / (R_{t} + R)$ — от $U_{п}$ не зависит
Вход опорного напряжения. та же шина: при её падении шкала АЦП сжимается в той же пропорции

Идея старая. Классический мост — логометрический прибор: добиваясь нуля между выходами двух делителей, мы приравниваем два отношения сопротивлений, и напряжение питания моста в результат не входит. Таймер 555 (раздел 5.3) держит частоту при изменении питания по той же причине: конденсатор заряжается от питания, а пороги — ⅓ и ⅔ того же питания, и частота зависит только от RC. Вернёмся к этой идее, когда дойдём до АЦП.

Упражнение 9.3.9

В сетевом аудиоплеере громкость регулирует 10-разрядный умножающий ЦАП: $U_{вых} = U_{вх} \cdot N /1024$ . Какой код даёт ослабление 12 дБ и какова фактическая ошибка ослабления (в дБ) из-за округления кода?

N =ошибка =дБ

Решение

−12 дБ — это множитель $1 0^{- 0, 6} = 0, 2512$ : $N = 257, 2$ , округляем до 257. Фактически $20 l g (257/1024) = - 12, 0073$ дБ, ошибка ≈ 0,007 дБ — на слух незаметно. А вот внизу шкалы точность падает: при −48 дБ $N = 4, 08 \to 4$ , ошибка $20 l g (4/4, 08) \approx - 0, 17$ дБ, и шаги регулировки становятся грубыми. Поэтому для регуляторов громкости делают ЦАП с логарифмической шкалой или ставят перед ЦАП ступенчатый аттенюатор.

Упражнение 9.3.10

Датчик температуры воды в электрическом бойлере — NTC-термистор $R_{t}$ в нижнем плече делителя с точным резистором 4,70 кОм; делитель питается от шины 3,3 В микроконтроллера, и от неё же берётся опорное напряжение его 12-разрядного АЦП. АЦП показывает код 2900. Найдите $R_{t}$ . Изменится ли код, если шина просядет до 3,0 В?

R_t =кОм

Решение

Код $N = 4096 \cdot \frac{R _{t}}{R _{t} + 4 , 7 кОм}$ от $U_{п}$ не зависит — это логометрия. Из $N (R_{t} + 4, 7) = 4096 R_{t}$ находим $R_{t} = 4, 7 \cdot 2900/ (4096 - 2900) = 4, 7 \cdot 2900/1196 = 11, 40$ кОм. При просадке шины до 3,0 В напряжение на термисторе и шкала АЦП уменьшатся в одной пропорции — код останется 2900.

9.3.5Как выбрать ЦАП

≈ 2 мин1 упр.

Главное

Конкретные типы ЦАП меняются, а вопросы при выборе остаются: точность, скорость, подстройка, входная часть, эталон, выход, питание, корпус, цена.
Разрядность берите с запасом: точность 0,1 % — это 10–11 разрядов, т. е. на деле 12-разрядный ЦАП.
Для многих медленных уставок удобны многоканальные ЦАП с защёлками и выходом по напряжению.

Ассортимент огромен, и он постоянно обновляется, поэтому полезнее помнить классы ЦАП, а не номера. Дешёвые 8-разрядные ЦАП бывают с двойной буферизацией входа и по четыре в корпусе (AD7524, DAC0830, DAC8408, AD7225). Видео-ЦАП работают с выходом на нагрузку 75 Ом и частотами в десятки и сотни мегагерц (HDG0807, Bt-110, а самые быстрые — на арсениде галлия). 12-разрядные универсальные ЦАП часто рассчитаны на 8-разрядную шину (AD7248, DAC1230, AD7548). На вершине — 16–18-разрядные звуковые (PCM54, AD1860) и промышленные (DAC71/72, DAC729).

Каким бы ни был ассортимент на сегодня, проверять у кандидата приходится одно и то же:

Порядок выбора ЦАП

Точностьразрядность, линейность, монотонность
Скоростьвремя установления, выбросы при смене кода
Сопряжениезащёлки, логические уровни, ток или напряжение на выходе
Обвязкаэталон, подстройки, питание, корпус — и цена

Что проверить	Вопросы
а) точность	разрядность, интегральная и дифференциальная нелинейность, монотонность
б) быстродействие	время установления до ½ МЗР, выбросы при смене кода (glitch)
в) установка	нужна ли внешняя подстройка нуля и шкалы
г) входная часть	есть ли регистр-защёлка (двойная буферизация), совместимость с КМОП/ТТЛ/ЭСЛ
д) опорный источник	внутренний или внешний; можно ли умножать
е) выход	ток или напряжение, допустимый размах на токовом выходе, диапазон, полярность
ж) питание	какие напряжения нужны, потребляемая мощность
з) корпус	лучше меньше выводов: узкий корпус, а для поверхностного монтажа — маленький SOIC
и) цена	с учётом всей обвязки, а не только самой микросхемы

Упражнение 9.3.11

На стенде для испытания лазерных диодов микроконтроллер должен задавать четыре независимых напряжения смещения 0…5 В с точностью 0,05 % и обновлять их десять раз в секунду по SPI. Какое решение разумнее?

Решение

0,05 % — это 1/2000, т. е. не меньше 11 разрядов; 12 разрядов дают шаг 0,024 %, а 14 — с запасом. Скорость не нужна, зато важно, чтобы каждый канал держал своё значение (защёлки) и выдавал напряжение без внешних усилителей. Счетверённый ЦАП с SPI — ровно то, что требуется. 8-разрядный ШИМ не даёт точности (шаг 0,4 %), видео-ЦАП — дорогое излишество, а мультиплексор без выборки-хранения не удержит четыре выхода между обновлениями.

9.3.6АЦП: от мгновенных к интегрирующим

≈ 11 мин3 упр.

Главное

Параллельный АЦП — $2^{n} - 1$ компараторов и наибольшая скорость; полупараллельный экономит компараторы ценой второго шага.
Последовательное приближение — двоичный поиск за n тактов ЦАП: быстро и точно, но выброс на входе губит результат.
Преобразование в частоту и одностадийное интегрирование усредняют вход; одностадийный прост, но точен лишь настолько, насколько стабильны C, ток и такт.

Принципиально разных способов превратить напряжение в число — около шести, и у каждого своя ниша. Разберём их по порядку, от самого быстрого к самому точному, — ровно настолько подробно, чтобы уверенно выбирать. Те же методы работают и в АЦП, подключаемых прямо к шине микропроцессора; устроены они так же.

От самого быстрого к самому точному

Параллельный

Полупараллельный

Последовательного приближения

Интегрирующие

Параллельный («мгновенный») АЦП

Представьте линейку из $2^{n} - 1$ компараторов. На один вход каждого подано измеряемое напряжение, на другой — свой порог от резисторной цепочки, пороги идут через равные интервалы. Все компараторы ниже входного уровня срабатывают, все выше — нет, и остаётся только шифратору приоритета назвать номер самого верхнего сработавшего. Крайние резисторы цепочки берут половинного номинала, R/2, — тогда пороги стоят на ½, 1½, 2½… МЗР, и ошибка квантования симметрична.

123456

Трёхразрядный параллельный АЦП: семь компараторов одновременно сравнивают вход с семью равноотстоящими порогами, шифратор приоритета называет номер верхнего сработавшего

Что здесь что (6)

Верхний R/2. сдвигает все пороги на полшага — квантование симметрично, ±½ МЗР
Резисторная цепочка. делит $U_{оп}$ на равные ступени — пороги компараторов
Верхний компаратор. срабатывает, когда вход выше самого высокого порога
Вход. подан сразу на все компараторы — отсчёт берётся мгновенно
Шифратор приоритета. выдаёт номер самого верхнего сработавшего компаратора
Выход D_2…D_0. трёхразрядный код

Быстрее не бывает: время преобразования — задержка компаратора плюс задержка шифратора. Промышленные параллельные АЦП различают от 16 до 1024 уровней (4–10 разрядов) и делают от 15 до 300 млн отсчётов в секунду. Но каждый лишний разряд удваивает число компараторов, так что с ростом разрядности такие АЦП быстро становятся громоздкими, горячими и дорогими. Типичный представитель — 8-разрядный АЦП на 20 млн отсчётов/с (биполярный TDC1048 или КМОП-вариант IDT75C48).

7компараторов на 3 разряда

255на 8 разрядов

1023на 10 разрядов

2×15у полупараллельного 8-разрядного

Если столько компараторов не по карману, делают полупараллельный (двухступенчатый) АЦП. Сначала параллельный преобразователь половинной разрядности грубо оцифровывает вход. Внутренний ЦАП восстанавливает это грубое значение, его вычитают из входа, а остаток оцифровывает второй параллельный преобразователь — получаются младшие разряды. На 8 разрядах это 2×15 компараторов вместо 255. Полупараллельные АЦП (ADC0820, AD7820/4/8) недороги и уступают в скорости только полностью параллельным.

12345

Двухступенчатый АЦП: старшие разряды — грубым параллельным шагом, затем остаток (вход минус восстановленное ЦАП значение) — вторым шагом, младшие разряды

Что здесь что (5)

Грубый АЦП. 4 старших разряда — первый параллельный шаг
ЦАП. восстанавливает грубое значение; точен он должен быть на уровне полной разрядности
Вычитатель. остаток = вход − восстановленное значение
Точный АЦП. оцифровывает остаток — 4 младших разряда
Регистр. собирает все 8 разрядов

У параллельного АЦП есть достоинство, полезное даже при невысокой частоте отсчётов, — очень малое апертурное время: выходы компараторов фиксируются за наносекунды, и вход просто не успевает измениться. Поэтому для оцифровки быстрых колебаний он хорош и тогда, когда отсчёты нужны редко.

Правило. Более медленным АЦП обычно нужно устройство выборки-хранения на входе: оно «замораживает» напряжение на всё время преобразования.

Последовательное приближение

Вспомните игру «угадай число от 1 до 100»: спрашиваешь «больше 50?», потом «больше 75?» — и за семь вопросов число найдено. Самый распространённый АЦП играет ровно в эту игру. Он подаёт пробные коды на внутренний ЦАП, а компаратор отвечает, выше или ниже входа оказалось пробное напряжение. Для n разрядов нужно n вопросов — двоичный поиск, начинающийся с середины шкалы.

Алгоритм последовательного приближения

Все разряды в «0»регистр очищен по сигналу «пуск»
Старший разряд → «1»ЦАП выдаёт половину шкалы
Сравнениеесли выход ЦАП не превышает входа — разряд остаётся «1», иначе возвращается в «0»
Следующий разрядто же для каждого разряда, от старшего к младшему
«Готово»через n тактов в регистре — код входа

Снаружи такой АЦП выглядит просто: вход «пуск», выход «готово», код — параллельно, n линиями, а иногда ещё и последовательно, по одной линии старшим разрядом вперёд. Внутри — ЦАП, компаратор и регистр последовательного приближения с логикой; всё это вполне по силам собрать и на отдельных микросхемах в учебной лаборатории.

12345

АЦП последовательного приближения: регистр РПП по тактам ставит пробные разряды, начиная со старшего, а компаратор решает, оставить каждый из них или сбросить

Что здесь что (5)

Компаратор. решает судьбу пробного разряда: выход ЦАП ≤ входа?
ЦАП. превращает пробный код в напряжение для сравнения
РПП. регистр последовательного приближения: ставит разряды по очереди
Логика управления. «пуск» начинает цикл, «готово» сообщает о конце
Тактовый генератор. один такт — один разряд

Как сходится двоичный поиск: пробные напряжения восьмиразрядного АЦП при входе 7,2 В и шкале 10 В; над ступеньками — решения по разрядам

Модель: двоичный поиск в АЦП последовательного приближения

Если медленно провести вход через весь диапазон и смотреть на выход внутреннего ЦАП осциллографом, на экране вырастет полное «дерево» двоичного поиска: каждая ветвь — решение по очередному разряду. АЦП последовательного приближения одновременно точны и быстры: им нужно всего n установлений ЦАП, и при 8–12 разрядах преобразование занимает 1–50 мкс.

Отсчёт здесь короткий, но не мгновенный. Если вход за время преобразования меняется плавно, ошибка не превысит величины этого изменения. С резкими скачками хуже.

Ловушка. Выброс на входе во время преобразования губителен: ошибочно решённый старший разряд потом уже ничем не исправить.

И ещё одна особенность: при хорошей общей точности у таких АЦП встречаются странные локальные нелинейности и пропущенные коды. Причина — внутренний ЦАП R-2R: переход вроде 0111…1 → 1000…0 требует идеального согласования старшего разряда со всеми остальными.

Остроумный выход нашли в серии ADC0800 фирмы National Semiconductor: вместо лестницы R-2R — цепочка из $2^{n}$ одинаковых резисторов и дерево аналоговых ключей, которое выбирает нужный отвод. Каждый отвод по определению выше предыдущего, поэтому такой ЦАП монотонен по построению, и пропущенных кодов нет.

123

Внутренний ЦАП из 2ⁿ равных резисторов с деревом ключей: каждый следующий отвод выше предыдущего, поэтому монотонность и отсутствие пропущенных кодов гарантированы

Что здесь что (3)

Цепочка одинаковых R. $2^{n}$ равных резисторов: каждый отвод выше предыдущего — монотонность гарантирована
Дерево ключей. код регистра выбирает ровно один отвод
К компаратору. напряжение выбранного отвода — пробный уровень

Родственник — следящий АЦП: пробный код в нём хранит реверсивный счётчик, который по решению компаратора делает шаг на 1 МЗР вверх или вниз. После скачка входа он мучительно медленен — до $2^{n}$ шагов, — зато плавно меняющийся сигнал отслеживает быстрее, чем АЦП последовательного приближения: каждый новый отсчёт стоит ему одного шага.

Упражнение 9.3.12

В зарядном устройстве напряжение аккумулятора (после делителя) измеряет 8-разрядный АЦП последовательного приближения со шкалой 0…5 В: код $N$ соответствует пробному напряжению $N \cdot 5/256$ В. Вход — 3,1 В. Какой будет код (в десятичной записи) и какое пробное напряжение выдаст внутренний ЦАП на третьем такте?

код =U на 3-м такте =В

Решение

МЗР = 19,53 мВ. Такт 1: пробуем 1000 0000 = 2,5 В ≤ 3,1 — разряд остаётся. Такт 2: 1100 0000 = 3,75 В > 3,1 — сбрасываем. Такт 3: 1010 0000 = 3,125 В > 3,1 — тоже сбрасываем (промах всего на 25 мВ!). Такт 4: 1001 0000 = 2,8125 — оставляем. Такт 5: 1001 1000 = 2,969 — оставляем. Такт 6: 1001 1100 = 3,047 — оставляем. Такт 7: 1001 1110 = 3,086 — оставляем. Такт 8: 1001 1111 = 3,105 > 3,1 — сбрасываем. Итог $1001111 0_{2} = 158 = ⌊ 3, 1 \cdot 256/5 ⌋$ .

Упражнение 9.3.13

Для цифрового осциллографа рассматривают 12-разрядный параллельный АЦП. Сколько ему нужно компараторов и во сколько раз меньше обойдётся двухступенчатый полупараллельный АЦП той же разрядности (по 6 разрядов на ступень)?

компараторов =отношение =

Решение

Параллельный: $2^{12} - 1 = 4095$ компараторов. Полупараллельный: две ступени по $2^{6} - 1 = 63$ , всего 126. Отношение $4095/126 = 32, 5$ . Платить приходится временем двух преобразований и точностью: ЦАП и вычитатель между ступенями должны ошибаться меньше чем на ½ МЗР полной 12-разрядной шкалы.

Напряжение → частота

Можно пойти обходным путём: превратить вход в импульсы с частотой, пропорциональной напряжению, а частоту уже сосчитать. В простейшем варианте конденсатор заряжают током, пропорциональным входу, и сбрасывают при достижении порога. Точнее работают схемы с обратной связью: скажем, выход преобразователя частота → напряжение сравнивают с входом и подбирают частоту импульсов так, чтобы входы компаратора сравнялись. Но чаще всего применяют уравновешивание заряда — о нём чуть ниже.

10 кГц…1 МГцчастота при полной шкале

до 12 разрядовразрешение (0,01 %)

0,002 %нелинейность AD650

Метод удобен, когда результат проще передать по длинному кабелю частотой или когда нужна именно частота. Если скорость не важна, импульсы считают за фиксированное время и получают число, пропорциональное среднему входу, — на этом построены многие приборы средней точности, на три знака.

Одностадийное интегрирование

По команде «пуск» одновременно запускаются генератор линейно нарастающего напряжения (пилы) и счётчик тактов от стабильного генератора. Как только пила догоняет вход, компаратор останавливает счёт: число в счётчике пропорционально входному напряжению. Потом конденсатор разряжается, счётчик сбрасывается, и всё начинается заново.

Одностадийное интегрирование

N = \frac{U _{вх} C}{I T _{т}}

Обозначения:

N

U_{вх}

C

I

T_{т}

Каждый множитель входит в результат целиком: 1 % ошибки ёмкости — 1 % ошибки показаний.

Ловушка. Для точных измерений способ не годится: результат напрямую зависит от стабильности конденсатора, тока заряда, тактовой частоты и компаратора. От всех этих бед избавляет двухстадийное интегрирование.

Одностадийный АЦП: от пуска до момента, когда пила догонит вход, счётчик набирает число тактов, пропорциональное U_вх

И всё же одностадийный метод жив — там, где нужна не абсолютная точность, а высокое разрешение и одинаковая ширина всех ступенек, т. е. малая дифференциальная нелинейность. Пример — амплитудный анализатор импульсов в ядерной спектрометрии: пиковый детектор запоминает амплитуду каждого импульса, АЦП превращает её в номер канала, и важно, чтобы все каналы были одной ширины. АЦП последовательного приближения с его неравными ступеньками тут проигрывает. Тот же приём служит для превращения интервалов времени в амплитуду и обратно.

Упражнение 9.3.14

Самодельный одностадийный АЦП для измерителя ёмкости: пила нарастает со скоростью 5 В/мс, тактовая частота 10 МГц, вход 0…2 В. Найдите вес МЗР, наибольший счёт и время преобразования на полной шкале. На сколько процентов и в какую сторону изменится показание, если тактовая частота уйдёт вниз на 2 % (остальное неизменно)?

МЗР =мВN_макс =t =мсизменение =%

Решение

За один такт (0,1 мкс) пила поднимается на $5 В / мс \cdot 0, 1 мкс = 0, 5$ мВ — это и есть МЗР. На полной шкале 2 В: $2/0, 5 \cdot 1 0^{- 3} = 4000$ отсчётов за 0,4 мс.

Время до сравнения $t = U_{вх} C / I$ от такта не зависит, а число тактов $N = t f_{т}$ пропорционально частоте. Частота ниже на 2 % — показание на 2 % меньше, изменение −2 %. Точно так же целиком переходят в результат ошибки ёмкости, тока заряда и сдвиг компаратора — в этом и слабость одностадийного метода.

9.3.7Интегрирующие АЦП: уравновешивание заряда

≈ 12 мин3 упр.

Главное

Интегрирующий АЦП сравнивает вход с эталоном с помощью одного и того же конденсатора — поэтому точность самого конденсатора не нужна.
Результат — среднее за время $T$ ; помехи с частотами $k / T$ (сеть 50 Гц при $T = 20$ мс) подавляются полностью.
Двухстадийный: $N_{2} = N_{1} U_{вх} / U_{оп}$ — R, C и такт сокращаются; дельта-сигма уравновешивает ток порциями заряда.
Расплата за точность — скорость: миллисекунды и десятки миллисекунд на отсчёт.

Следующая группа методов похожа на взвешивание на рычажных весах: неизвестную величину сравнивают с эталоном на одном и том же «коромысле» — конденсаторе, и важно лишь отношение сигнала к эталону. Все эти АЦП интегрируют, т. е. усредняют вход на фиксированном интервале. Отсюда два важных преимущества:

Детали можно взять попроще. Конденсатор работает и для сигнала, и для эталона, поэтому к его точности и стабильности почти нет требований; к компаратору — умеренные. С теми же деталями получаем выше точность, или ту же точность — дешевле.
Помехи подавляются сами. Результат пропорционален среднему входу за время интегрирования. Если это время кратно периоду сети, помеха частоты сети и всех её гармоник исчезает полностью. В общем случае помеха частоты $f$ при интегрировании за время $T$ ослабляется так:

Подавление помех интегрирующим АЦП

∣ H (f) ∣ = \frac{sin π f T}{π f T}

Обозначения:

f

T

∣ H ∣

Нули — на частотах

k / T

; в среднем спадает как

1/ (π f T)

.

Характеристика обращается в ноль на всех частотах $k / T$ и в среднем спадает как $1/ (π f T)$ (график ниже). Для сети 50 Гц выбирают $T = 20$ мс или кратное ему, например 100 мс; в странах с сетью 60 Гц — 1/60 с и кратные.

Правило. Глубокое подавление требует точно выдержанного времени интегрирования: уход тактовой частоты даже на доли процента уже заметно его портит. Выход — кварцевый генератор или ещё изящнее: синхронизировать такты с самой сетью петлёй ФАПЧ (раздел 9.5).

Общий недостаток всех интегрирующих методов по сравнению с последовательным приближением — скорость: отсчёт занимает миллисекунды, а то и десятые доли секунды.

Насколько интегрирующий АЦП ослабляет помеху: |sin(πfT)/(πfT)|. Нули — на частотах, кратных 1/T; при T = 20 мс туда попадают 50 Гц и все гармоники сети

Модель: как интегрирующий АЦП подавляет помеху

Упражнение 9.3.15

Щитовой вольтметр интегрирует вход ровно 100 мс. Рядом работает дизель-генератор с частотой 62 Гц, и его наводка попадает на вход. Во сколько децибел она ослабляется? А помеха сети 50 Гц, если тактовый генератор прибора ушёл на 0,2 % (время интегрирования стало 100,2 мс)?

62 Гц =дБ50 Гц, уход 0,2 % =дБ

Решение

$π f T = π \cdot 62 \cdot 0, 1 = 19, 478$ ; $∣ sin 19, 478∣ = 0, 588$ ; $∣ H ∣ = 0, 588/19, 478 = 0, 0302$ , т. е. ослабление 30,4 дБ.

Для 50 Гц при $T = 100, 2$ мс: $π f T = 5, 01 π = 15, 739$ , $∣ sin ∣ = sin (0, 01 π) = 0, 0314$ , $∣ H ∣ = 0, 0314/15, 739 = 0, 0020$ — ослабление 54 дБ вместо бесконечного. Вот почему тактовую частоту делают кварцевой или подстраивают по сети.

Двухстадийное интегрирование

Этот метод устраняет почти все слабости одностадийного и поэтому встречается повсюду — от карманного мультиметра до лабораторного вольтметра. Цикл состоит из двух половин (график ниже):

Цикл двухстадийного интегрирования

Заряд: фиксированное время $T_{1}$ $N_{1}$ тактов; конденсатор интегратора заряжается током, точно пропорциональным входу
Разряд постоянным эталонным токомдо нуля; время разряда $T_{2}$ пропорционально входу
Счётна время $T_{2}$ открывается счётчик тактов; его конечное состояние — результат

Заряд, накопленный за первую стадию, равен заряду, снятому за вторую. Запишем это:

Двухстадийное интегрирование

\frac{U _{вх} T _{1}}{RC} = \frac{U _{оп} T _{2}}{RC} \Rightarrow N_{2} = N_{1} \frac{U _{вх}}{U _{оп}}

Обозначения:

N_{1}

N_{2}

U_{вх}

U_{оп}

RC

В ответе нет ни $R$ , ни $C$ , ни частоты тактов. Ёмкость может «гулять» как угодно: и заряд, и разряд идут со скоростью, обратно пропорциональной $C$ . Сдвиг и дрейф компаратора тоже компенсируются — каждый цикл начинается и кончается на одном и том же напряжении (а в хороших схемах — и с одинаковым наклоном).

Лучшие приборы перед каждым измерением делают автокоррекцию нуля: подают на вход ноль, тем же интегратором и компаратором измеряют собственную «ошибку нуля» и вычитают её из следующего результата. Ошибку шкалы это не устраняет — строгие требования остаются только к эталонному току разряда. Но сделать точный эталон напряжения или тока сравнительно просто, а масштаб устанавливают подстройкой этого тока.

Напряжение на интеграторе за цикл двухстадийного АЦП: наклон заряда (время T₁ фиксировано) зависит от входа, наклон разряда — всегда один

Модель: двухстадийному АЦП безразличны такт и ёмкость

Советы по постройке

Совет. Конденсатор интегратора берите с минимальной диэлектрической абсорбцией («памятью»): полипропиленовый, полистирольный или тефлоновый (о памяти конденсаторов — раздел 4.6). Он неполярный, но внешнюю обкладку всё равно подключайте к низкоомной точке — выходу ОУ интегратора.

Правило. Выбирайте

R

и

C

так, чтобы интегратор использовал почти весь свой размах: тогда относительный вклад ошибок меньше. Высокая тактовая частота улучшает разрешение, но период такта не должен стать короче времени отклика компаратора.

Правило. Как и в любом прецизионном АЦП, не пускайте цифровые помехи в аналоговую часть: раздельные выводы аналоговой и цифровой земли, буферы с тремя состояниями на цифровых выходах (открытые только на время чтения), при очень «шумной» шине — даже оптроны, и хорошая развязка питания.

Ловушка. Самый чувствительный момент — когда разрядная пила подходит к порогу компаратора. Некоторые АЦП позволяют узнать о конце преобразования, непрерывно опрашивая выходной регистр; не поддавайтесь соблазну — используйте отдельную, хорошо развязанную линию «занято».

Двухстадийное интегрирование — сердце цифровых мультиметров и измерительных модулей с разрешением от 10 до 18 разрядов. Если скорость не нужна, оно даёт лучшую точность за свои деньги, отличное подавление сетевой помехи и строго монотонную характеристику.

Упражнение 9.3.16

Проектируем двухстадийный АЦП для лабораторного блока питания: $N_{1} = 1000$ тактов, тактовая частота 10 кГц (время интегрирования — 5 периодов сети), $U_{оп} = 2, 000$ В, наибольший вход 3,000 В. Выход интегратора не должен превышать 10 В, входной резистор $R = 300$ кОм. Найдите $T_{1}$ , наибольший счёт и ёмкость интегратора.

T₁ =мсN₂ макс =C =мкФ

Решение

$T_{1} = 1000/10 000 = 0, 1$ с — ровно пять периодов сети 50 Гц. $N_{2} = N_{1} U_{вх} / U_{оп} = 1000 \cdot 3/2 = 1500$ . Пик интегратора $U_{вх} T_{1} / RC \leq 10$ В, откуда $RC \geq 3 \cdot 0, 1/10 = 0, 03$ с и $C = 0, 03/300 000 = 0, 1$ мкФ (полипропилен). Цикл длится до $T_{1} + T_{2} = 0, 1 + 0, 15 = 0, 25$ с плюс автокоррекция нуля — около двух-трёх измерений в секунду.

Дельта-сигма-преобразователи

Ещё одна идея уравновешивания: средний входной ток нейтрализуют переключаемым внутренним источником тока (или заряда). Вход подают на интегратор, выход интегратора сравнивают с постоянным уровнем, например с нулём (схема ниже).

На каждом такте, смотря по состоянию компаратора, импульс тока фиксированной длительности — то есть фиксированная порция заряда — отправляется либо в суммирующую точку, либо в землю. Порции идут так, чтобы средний ток в суммирующей точке был нулевым. Счётчик подсчитывает, сколько раз порция попала в суммирующую точку за заданное число тактов, скажем за 4096. Результат пропорционален среднему входу за эти 4096 тактов. Похоже на то, как наполняют бак вёдрами: считая вёдра, вылитые за час, узнаёшь средний расход утечки, которую они восполняют.

Баланс зарядов дельта-сигма-АЦП

I_{вх} \cdot K T = I_{0} \cdot N T \Rightarrow N = K \frac{I _{вх}}{I _{0}}

Обозначения:

I_{вх}

I_{0}

T

K

N

1234567

Дельта-сигма-АЦП: на каждом такте триггер решает, добавить ли в суммирующую точку порцию заряда I₀·T; доля «добавлений» за цикл и есть результат

Что здесь что (7)

Входной резистор R. превращает входное напряжение в ток суммирующей точки
Источник I₀. эталонный ток — порции заряда $I_{0} T$
Ключ. по решению триггера отправляет порцию в суммирующую точку или нет
Интегратор (C). копит разность входного и эталонного токов
Компаратор. следит, выше или ниже нуля выход интегратора
D-триггер. запоминает решение компаратора на такт — порции кратны такту
Счётчик. считает «включения» за цикл — результат

Порции можно получать и резистором от стабильного эталона — ведь суммирующая точка находится под потенциалом земли. Тогда сопротивление замкнутого ключа должно быть мало по сравнению с этим резистором, а его изменения не должны вызывать дрейфа.

Модель: поток бит дельта-сигма-модулятора

АЦП с коммутируемым конденсатором

Близкий родственник — метод «перекачки заряда». Небольшой конденсатор раз за разом заряжают от стабильного эталона до известного заряда и сбрасывают этот заряд в суммирующую точку; компаратор на выходе интегратора управляет частотой таких переключений.

Особенно удобен метод при однополярном питании: чтобы порция имела нужный знак, обе обкладки конденсатора переключают КМОП-ключами. Пример — преобразователь напряжение → частота LM331, которому хватает одного источника +5 В (его можно использовать и как ГУН, раздел 5.3).

Что объединяет интегрирующие АЦП

Все методы уравновешивания заряда усредняют вход на фиксированном интервале и поэтому, как и двухстадийные, умеют не замечать сетевую помеху с её гармониками. Они точны, дёшевы (хороший компаратор не нужен) и строго монотонны, но медленнее последовательного приближения. Масштаб разницы: интегрирующий AD1170 выдаёт 18 разрядов за 66 мс, а 16-разрядный AD76 последовательного приближения — за 15 мкс, в четыре тысячи раз быстрее.

Интегрирующие АЦП: в чём разница

	Двухстадийные	Дельта-сигма, коммутируемые конденсаторы
Компаратор	нужен воспроизводимый	допустим и неточный
Ключи	нетребовательны (скорость, инжекция заряда)	нужна точная коммутация зарядов
Подавление сети	да, при $T$ кратном периоду	да, при $T$ кратном периоду
Пример	AD1175K — 22 разряда, 50 мс (многостадийный)	AD1170 — 18 разрядов, 66 мс

Различие в требованиях к деталям зеркальное. Дельта-сигма и коммутируемые конденсаторы мирятся с неточным компаратором, но требуют точной коммутации зарядов. Двухстадийным нужен воспроизводимый компаратор, зато ключи могут быть медленными и с заметной инжекцией заряда. Рекордсмен по разрядности — многостадийный 22-разрядный AD1175K, ему нужно 50 мс на преобразование (о нём ещё ниже).

Вход любого интегрирующего АЦП может быть по напряжению (через резистор) или по току — прямо в суммирующую точку. На токовом входе сдвиг ОУ интегратора роли не играет, а на входе по напряжению даёт ошибку, равную самому сдвигу. Поэтому токовый вход хорош для широкого динамического диапазона, особенно с датчиками, которые сами являются источниками тока, — фотодиодами, фотоумножителями.

Ловушка. Паспортная точность может относиться к токовому входу — не рассчитывайте на неё при малых сигналах на входе по напряжению.

И наконец, внутри каждого АЦП с уравновешиванием заряда спрятан точный преобразователь напряжения в частоту, и его можно использовать именно так: интегратор, компаратор и одновибратор, который отмеряет стандартную порцию заряда, — частота порций уравновешивает входной ток.

Упражнение 9.3.17

Люксметр на фотодиоде использует дельта-сигма-АЦП с токовым входом: эталонный ток $I_{0} = 50$ мкА подаётся в суммирующую точку на целый такт, тактовая частота 2 МГц, цикл — 65 536 тактов. Ток фотодиода 12,3 мкА. Какой будет отсчёт, сколько длится преобразование и чему равен МЗР по току?

отсчёт =t =мсМЗР =нА

Решение

Баланс зарядов: $I_{вх} \cdot 65536 T = I_{0} \cdot N T$ , откуда $N = 65536 \cdot 12, 3/50 = 16121, 9$ ; счётчик покажет 16 121 или 16 122 — недосчитанный остаток сохранится в интеграторе и перейдёт в следующий цикл, так что в среднем ошибки нет. Время преобразования $65 536/2 \cdot 1 0^{6} = 32, 8$ мс, МЗР по току $50 мкА /65 536 = 0, 763$ нА.

9.3.8Что умеют готовые преобразователи

≈ 3 мин1 упр.

Главное

Готовые изделия умеют многое: АЦП и ЦАП на одном кристалле, 22 разряда в модуле, видео-ЦАП и видео-АЦП со своей синхронизацией.
При 20–22 разрядах главные враги — дрейф входного каскада и термо-ЭДС контактов: МЗР измеряется единицами микровольт.

Прежде чем браться за собственный преобразователь, полезно посмотреть, что уже продаётся готовым. Четыре изделия одного из лидеров отрасли, Analog Devices, хорошо очерчивают возможности.

AD7569АЦП + ЦАП, 8 разрядов

AD117522 разряда, 20 отсч./с

HDG0807видео-ЦАП, до 50 МГц

AD9502видео-АЦП, 13 МГц

Изделие	Что внутри	Чем интересно
AD7569 — АЦП и ЦАП на одном кристалле	8-разрядный АЦП последовательного приближения (2 мкс) с выборкой-хранением и ЦАП (установление 1 мкс); встроенные генератор и эталон; общий 8-разрядный порт	одно питание +5 В, ни подстроек, ни внешних деталей; быстрые времена шины — процессору не нужны такты ожидания, без которых не обходятся многие медленные АЦП; узкий 24-выводной корпус, малое потребление, цена — единицы долларов
AD1175 — 22-разрядный интегрирующий модуль	многостадийное интегрирование с автокоррекцией нуля, встроенный микропроцессор	22 разряда (6½ десятичных знака) при 20 преобразованиях в секунду; нуль и усиление грубо устанавливаются командами по той же шине, что и результаты. Настольный прибор того же класса стоил около 4000 долларов и мерил дважды в секунду, а модуль — 800 долларов, 10 кубических дюймов, 3 Вт
HDG0807 — видео-ЦАП	8 разрядов, стандартные уровни видеосигнала, выход на 75 Ом	сам формирует композитные синхроимпульсы и гашение; до 50 МГц (его кристалл AD9700 — до 100 МГц)
AD9502 — видео-АЦП	выделитель синхроимпульсов, петля ФАПЧ, 8-разрядный АЦП	ФАПЧ вырабатывает такты элементов изображения, синхронные с развёрткой; оцифровка до 13 МГц (кадр 512 × 512 точек)

Самое поучительное в этом списке — 22-разрядный модуль. На шкале ±10 В его младший разряд меньше пяти микровольт, и врагами становятся вещи, которые в обычной схеме никто не замечает: температурный дрейф входного усилителя, термо-ЭДС на контактах разных металлов, утечки по плате. Встроенная автокоррекция нуля здесь — не роскошь, а необходимость.

Упражнение 9.3.18

Прецизионный 20-разрядный АЦП для весов имеет диапазон ±5 В. Найдите вес МЗР в микровольтах и допустимый температурный дрейф нуля входного каскада (мкВ/°C), при котором изменение температуры в цехе на 15 °C даст ошибку не больше 1 МЗР.

МЗР =мкВдрейф =мкВ/°C

Решение

$10 В / 2^{20} = 10/1 048576 = 9, 54$ мкВ. Дрейф $\leq 9, 54/15 = 0, 64$ мкВ/°C — это уровень хороших прецизионных ОУ (раздел 7.1), и поэтому такие АЦП снабжают автокоррекцией нуля. Термо-ЭДС контактов разнородных металлов (единицы мкВ/°C) здесь сопоставимы с МЗР — входные цепи разводят симметрично и держат при одной температуре.

9.3.9Как выбрать АЦП

≈ 4 мин2 упр.

Главное

Метод выбирают по скорости и точности: параллельный — для наносекунд, последовательного приближения — для микросекунд, интегрирующие — когда нужны разряды и подавление сети.
Требуемый динамический диапазон в децибелах делите на 6: 120 дБ — это 20 разрядов.
Если нужны высокая точность, мультиплексор и выборка-хранение, разумно взять готовую подсистему сбора данных.

Ориентироваться в методах помогает простая карта: по горизонтали время преобразования, по вертикали разрядность. Каждый метод занимает на ней свою область, и с ростом разрядности все они смещаются в сторону медленных. Абсолютные цифры с годами улучшаются, но взаимное расположение областей остаётся тем же:

Карта методов А/Ц-преобразования: разрядность против времени преобразования (порядки величин)

Метод	Разрядность	Скорость	Особенности
параллельный	4–10	десятки–сотни млн отсчётов/с	мгновенный, малое апертурное время, дорог и прожорлив
полупараллельный	8–12	единицы млн/с	дешевле параллельного, почти так же быстр
последовательного приближения	8–16	1–50 мкс	нужна выборка-хранение; выбросы на входе опасны; возможны пропущенные коды
напряжение → частота	до 12–13	мс	усредняет; результат легко передать как частоту
двухстадийный	10–22	1–20 преобр./с	точен, дёшев, подавляет сеть, строго монотонен
дельта-сигма / уравновешивание заряда	12–22	мс–десятки мс	грубый компаратор, точная коммутация зарядов

Выбрав метод, пройдитесь по списку вопросов к конкретной микросхеме:

точность — разрядность, нелинейность, гарантировано ли отсутствие пропущенных кодов;
скорость;
нужна ли подстройка нуля и шкалы;
питание (иным достаточно одного +5 В) и потребляемая мощность;
корпус;
эталон и тактовый генератор — встроенные или внешние; годится ли питание +5 В в качестве внешнего эталона; выведен ли внутренний эталон наружу (для логометрии) и можно ли его нагружать;
входное сопротивление и диапазон: однополярный, двуполярный, переключаемый;
входная часть: дифференциальный вход, встроенный мультиплексор, выборка-хранение, смена полярности;
выход: параллельный, последовательный или оба; можно ли подключить прямо к шине микропроцессора (три состояния, чтение по байтам);
цена.

Готовые подсистемы сбора данных

Когда нужна высокая точность, да ещё с мультиплексором и выборкой-хранением, имеет смысл купить подсистему целиком — модуль в металлическом корпусе размером примерно 5×10×1 см под панельку или пайку. Такие модули недёшевы, но очень просты в применении: самые трудные задачи высокого разрешения — наводки, развязку цифровой и аналоговой частей, стабильный эталон, сдвиги усилителей — изготовитель уже решил и откалибровал.

Типичный состав — схема ниже: 16 несимметричных или 8 дифференциальных входов, мультиплексор, выборка-хранение, усилитель с программируемым усилением и 16-разрядный АЦП на 20 тысяч преобразований в секунду с выдачей результата двумя байтами для 8-разрядной шины (так устроен, например, DT5716). Выпускались модули на 12–16 разрядов, с мультиплексором и без, одноканальные (DAS1157-9) — на 14–16 разрядов и 18 кГц.

1234

Подсистема сбора данных в одном модуле: тракт от мультиплексора до АЦП согласован и откалиброван изготовителем

Что здесь что (4)

Мультиплексор. выбирает один из 16 входов (или из 8 дифференциальных)
Выборка-хранение. замораживает выбранный сигнал на время преобразования
Программируемый усилитель. подгоняет сигнал под шкалу АЦП
16-разрядный АЦП. 20 тыс. преобразований в секунду, результат двумя байтами

Упражнение 9.3.19

Делаем торговые весы: тензомост даёт сигнал в единицы милливольт, нужное разрешение — 1/100 000 от наибольшего веса, показания обновляются 5–10 раз в секунду, а в магазине рядом холодильники и сеть 50 Гц с наводками. Какой АЦП естественнее всего?

Решение

1/100 000 — это почти 17 разрядов, а с запасом на шум и тару — 20 и больше. Скорость не нужна, зато нужны высокое разрешение, монотонность и подавление сетевой помехи; всё это дают интегрирующие дельта-сигма-АЦП (их делают специально для тензомостов, с усилителем на входе и логометрическим питанием моста). 12 разрядов — лишь 1/4096; параллельный избыточно быстр и груб; одностадийный не даст стабильности.

Упражнение 9.3.20

Нужно записывать форму одиночных лазерных импульсов длительностью 20 нс с разрешением 8 разрядов, без отдельного устройства выборки-хранения. Что выбрать?

Решение

Только параллельный АЦП берёт отсчёт за единицы наносекунд (малое апертурное время) и успевает сделать несколько отсчётов за время импульса: при 100 МГц — два, лучше 250–500 МГц. Остальные варианты либо слишком медленны, либо усредняют вход.