9.5. Фазовая автоподстройка частоты

9.5.1Как устроена петля ФАПЧ

≈ 9 мин2 упр.

Главное

ФАПЧ — это фазовый детектор, фильтр (усилитель) и ГУН, замкнутые в петлю: ГУН подстраивается, пока его частота не совпадёт с входной.
Управляющее напряжение ГУН — мера входной частоты (так работает ЧМ-детектор), а выход ГУН — очищенная от шума копия входа.
С делителем на n в обратной связи $f_{ГУН} = n f_{вх}$ — получаем умножитель и синтезатор частоты.
Детектор типа 1 (XOR) любит меандр и может зацепиться за гармонику; детектор типа 2 (по фронтам) не зависит от скважности и в синхронизме молчит.

Вспомните, как два человека, идущие рядом, невольно попадают в ногу: один замечает, что его шаг «опаздывает», и чуть ускоряется, пока шаги не совпадут. Фазовая автоподстройка частоты (ФАПЧ) делает то же с электрическими колебаниями. Это небольшая петля из трёх узлов — фазового детектора, фильтра-усилителя и генератора, управляемого напряжением (ГУН), — в которой аналоговая и цифровая техника встречаются в одном корпусе. Её выпускают многие изготовители в виде отдельной недорогой микросхемы.

Где без ФАПЧ не обойтись:

приём: демодуляция ЧМ и АМ, распознавание тональных посылок;
генерация: умножение частоты, синтезаторы с цифровой настройкой;
синхронизация: восстановление чистого тактового сигнала из зашумлённого потока данных с линии связи, ленты или диска.

К ФАПЧ долго относились настороженно: на дискретных деталях она получалась сложной, и её считали капризной. Дешёвые микросхемы сняли первую проблему, а вторая — следствие небрежного расчёта: спроектированная по правилам ФАПЧ надёжна, как ОУ или триггер.

12345

Петля ФАПЧ: детектор сравнивает фазы входа и ГУН, отфильтрованная ошибка подтягивает частоту ГУН к входной

Что здесь что (5)

Фазовый детектор. сравнивает фазы входа и ГУН; при разных частотах выдаёт биения
ФНЧ (усилитель). сглаживает выход детектора — получается управляющее напряжение
U_упр. постоянное напряжение — мера входной частоты
ГУН. его частота пропорциональна $U_{упр}$
Обратная связь. выход ГУН возвращается на второй вход детектора

Как работает петля (схема выше). Детектор сравнивает два колебания и выдаёт сигнал, пропорциональный разности их фаз; если частоты разные, это периодический сигнал разностной частоты. Фильтр сглаживает и усиливает ошибку, и она сдвигает частоту ГУН в сторону входной. Обычно ГУН быстро «захватывает» вход и дальше держит с ним постоянный сдвиг фаз.

Из этой картины сразу видны два полезных выхода. Первый — управляющее напряжение ГУН: после фильтра это постоянное напряжение, которое тем больше, чем выше входная частота. Значит, ФАПЧ — готовый ЧМ-детектор и дешифратор тональных сигналов (например, кнопочного набора номера по телефону). Второй — сам выход ГУН: это местное колебание той же частоты, что и вход, но чистое, даже если вход тонет в шуме. Форма его любая — треугольник, синус, — поэтому, например, можно получить синусоиду, синхронную с последовательностью коротких импульсов.

А если между ГУН и детектором поставить делитель на n, петля успокоится лишь тогда, когда $f_{ГУН} = n f_{вх}$ . Так получают такты для интегрирующих АЦП (двухстадийных и с уравновешиванием заряда), кратные частоте сети, — и сетевая помеха вместе со всеми гармониками подавляется полностью. На этой же идее построены синтезаторы частоты.

ФАПЧ с делителем на n

f_{ГУН} = n f_{вх}

Обозначения:

f_{ГУН}

n

f_{вх}

Два типа фазовых детекторов

Детектор типа 1 работает с аналоговыми сигналами или с цифровыми меандрами; детектор типа 2 замечает только логические перепады — фронты. К первому типу относится линейный детектор микросхемы 565; в КМОП-микросхеме 4046 есть детекторы обоих типов.

Самый простой цифровой детектор типа 1 — вентиль ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Его выход равен 1, пока входы различаются. Подадим два меандра (заполнение 50 %): при совпадении фаз выход всё время 0, при сдвиге на полпериода (π) — всё время 1, а в промежутке среднее напряжение растёт линейно, затем так же спадает к 2π. Петля устанавливается посередине склона — при сдвиге 90°.

Аналоговый вариант типа 1 — четырёхквадрантный умножитель («балансный смеситель») с похожей характеристикой. Очень линейные детекторы этого рода лежат в основе синхронного детектирования, которым вытаскивают слабый сигнал из шума.

а) временные диаграммы

б) среднее напряжение на выходе

Детектор типа 1 на элементе ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ: временные диаграммы и среднее выходное напряжение

Детектор ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ

U_{ср} = U_{пит} \frac{φ}{π}, K_{д} = \frac{U _{пит}}{π} (0 \leq φ \leq π)

Обозначения:

φ

U_{пит}

K_{д}

Модель: фазовые детекторы типа 1 и типа 2

Детектор типа 2 смотрит только на взаимное положение фронтов опорного сигнала и сигнала ГУН. Если фронт ГУН пришёл позже опорного, детектор выдаёт импульс «отставание», если раньше — «опережение»; длительность импульса равна промежутку между фронтами. Во время импульса выходной каскад отдаёт или забирает ток (его так и называют «накачкой заряда»), а в остальное время отключён — находится в третьем состоянии.

Средний выход такого детектора линейно зависит от разности фаз в пределах ±2π (график ниже), и ему совершенно безразлична скважность входов. Есть и ещё одно приятное свойство: в синхронизме импульсы исчезают совсем, и на выходе нет пульсаций, которые у детектора типа 1 периодически модулируют фазу ГУН.

Детектор типа 2 («накачка заряда»): пока ГУН отстаёт, импульсы «отставание» заряжают конденсатор фильтра, пока опережает — импульсы «опережение» разряжают; между импульсами выход отключён

Средний выход детектора типа 2 линеен на всём участке ±2π; петля устанавливается при нулевой разности фаз

Сравнение фазовых детекторов

	Тип 1 (ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ)	Тип 2 (по фронтам, «накачка заряда»)
Скважность входа	оптимально 50 %	не важна
Синхронизация на гармониках	возможна	нет
Устойчивость к помехам на входе	хорошая	плохая
Остаточная пульсация на $2 f_{вх}$	большая	малая
Диапазон слежения	весь диапазон ГУН	весь диапазон ГУН
Диапазон захвата	ограничен фильтром петли	весь диапазон ГУН
Частота ГУН без входного сигнала	середина диапазона	нижний край диапазона

Разница в пульсациях важнее, чем кажется. Детектор типа 1 всегда выдаёт колебание полного логического размаха, и фильтр петли должен его сглаживать; остаток пульсаций, а с ним периодические колебания фазы, остаются всегда. В умножителях и синтезаторах это видно в спектре выхода как боковые полосы фазовой модуляции. Детектор типа 2 в синхронизме молчит, его выход разомкнут, и конденсатор фильтра просто хранит напряжение, нужное ГУН. Сместилась опорная частота — детектор выдаст серию коротких импульсов, подзарядит или разрядит конденсатор до нового значения и вернёт ГУН в синхронизм.

Генератор, управляемый напряжением

ГУН бывает встроен в микросхему ФАПЧ (линейная 565, КМОП 4046), а бывает и отдельным (раздел 5.3). Выбор широк:

ГУН с синусоидальным выходом (8038, 2206) дают чистую синусоиду, синхронную со входом самой неприглядной формы;
преобразователи напряжение → частота наиболее линейны, но работают лишь до единиц мегагерц (обычно до 1 МГц) и выдают логические импульсы;
частота ГУН вообще не ограничена быстродействием логики: подойдёт ВЧ-генератор, который перестраивается варактором (схема ниже), и даже СВЧ-генератор, частота которого зависит от напряжения на одном из электродов. Понятно, что и фазовый детектор тогда нужен высокочастотный.

Правило. Характеристика ГУН не обязана быть строго линейной, но если она сильно нелинейна, усиление петли меняется с частотой, и закладывайте больший запас устойчивости.

12345

Варактор в LC-контуре: управляющее напряжение подаётся через ВЧ-дроссель, а сам варактор подключён к контуру через небольшой разделительный конденсатор

Что здесь что (5)

ВЧ-дроссель. пропускает управляющее напряжение и не пускает ВЧ контура обратно
Варактор. ёмкость падает с ростом обратного напряжения $U_{упр}$
C_разд. не пускает постоянное напряжение в контур и ослабляет влияние варактора на частоту
Контур L. вместе с C задаёт частоту $1/2 π L C$
К ГУН. активная часть генератора

Упражнение 9.5.1

В микроконтроллерной системе фазовый детектор ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ питается от 3,3 В, на входах меандры. Найдите среднее выходное напряжение при разности фаз 45° и коэффициент передачи детектора $K_{д}$ (В/рад) на рабочем участке.

U_ср =ВK_д =В/рад

Решение

Выход XOR в «1», пока входы различны: при сдвиге φ это доля $φ / π$ полупериода (для $0 \leq φ \leq π$ ). $U_{ср} = 3, 3 \cdot 45/180 = 0, 825$ В. Наклон характеристики $K_{д} = U_{пит} / π = 3, 3/ π = 1, 05$ В/рад. В синхронизме рабочая точка стремится в середину склона (90°, 1,65 В), но лишь если именно при 1,65 В ГУН выдаёт нужную частоту; иначе она сдвигается, и вместе с ней — разность фаз.

Упражнение 9.5.2

ФАПЧ с детектором типа 2 (по фронтам) получает входной сигнал, частота которого ровно вдвое выше верхней границы диапазона ГУН. Как поведёт себя петля?

Решение

Детектор типа 2 считает фронты, т. е. сравнивает частоты, а не только фазы, и на гармониках или субгармониках не синхронизируется. Вход быстрее ГУН — значит, идут импульсы «отставание», конденсатор фильтра заряжается до упора, и ГУН стоит на верхней границе. Детектор XOR в подобной ситуации мог бы зацепиться за кратное соотношение частот.

9.5.2Почему петля может возбудиться и как этого избежать

≈ 3 мин1 упр.

Главное

ФАПЧ измеряет фазу, а управляет частотой; фаза — интеграл частоты, поэтому ГУН в петле — интегратор (−90°).
Ещё −90° от фильтра на частоте единичного усиления — и петля возбуждается.
Петля первого порядка (без фильтра) устойчива, но у неё нет «маховика»; практические петли — второго порядка с корректирующим фильтром.

Что особенного в этой обратной связи

На первый взгляд ФАПЧ — обычная петля обратной связи: ошибка, усиление, регулирующий элемент, как в схемах на ОУ. Но в усилителе мы измеряем ту же величину, которой управляем (выходное напряжение), или пропорциональную ей. В ФАПЧ иначе: детектор измеряет фазу, а управляем мы частотой. Фаза же — интеграл частоты по времени. Постоянная ошибка напряжения на входе ГУН приводит к фазе, растущей линейно, как напряжение на конденсаторе, который заряжают постоянным током. Значит, внутри петли сидит интегратор со своим сдвигом фазы 90°.

Почему ГУН — интегратор

φ (t) = \int 2 π f (t) d t = \int K_{ГУН} U_{упр} d t

Обозначения:

φ

f

K_{ГУН}

U_{упр}

Этот встроенный интегратор и определяет всё проектирование. Любые дополнительные 90° запаздывания на частоте, где усиление петли равно единице, — и петля возбудится. Самый простой выход — не ставить в петлю ничего, что добавляет сдвиг фазы, по крайней мере вблизи частоты единичного усиления. Ведь ОУ со своими 90° почти во всём диапазоне прекрасно работают. Так получается петля первого порядка: детектор прямо управляет ГУН, без фильтра нижних частот.

Порядок петли

	Петля первого порядка	Петля второго порядка
Фильтр	нет (детектор прямо управляет ГУН)	ФНЧ «опережение–отставание»
«Маховик»	нет — помехи входа проходят на ГУН	есть — сглаживает помехи и флуктуации
Разность фаз	не держит постоянной	с детектором типа 2 — ноль
Захват	всегда	уже диапазон, дольше время
Где применяют	простые умножители с чистой опорой	почти все практические системы

Петля первого порядка проста, но у неё нет «маховика»: ГУН послушно повторяет все помехи и дрожание входа. Да и разность фаз она не держит постоянной — выход детектора напрямую задаёт частоту ГУН, и каждой частоте соответствует своя фаза.

В петлю второго порядка добавляют фильтрацию на низких частотах, но так, чтобы не испортить устойчивость. Появляется «маховик», ГУН сглаживает помехи и флуктуации входа; полоса захвата сужается, а захват длится дольше; с детектором типа 2 петля синхронизируется точно при нулевой разности фаз. Почти все реальные ФАПЧ именно такие: обычно важны малые флуктуации фазы выхода и некоторая «память». И, как в любой петле, большое усиление на низких частотах повышает точность слежения.

Упражнение 9.5.3

Начинающий разработчик поставил в петлю ФАПЧ простую RC-цепочку с частотой среза далеко ниже частоты единичного усиления петли — чтобы получше сгладить пульсации. Что получилось?

Решение

ГУН уже интегрирует фазу (−90°), а RC-цепь выше своей частоты среза добавляет ещё почти −90°. На частоте единичного усиления сдвиг подходит к −180°, наклон — к −12 дБ/окт, и запас по фазе стремится к нулю: переходный процесс сильно звенит, а то и переходит в генерацию. Лечение — резистор последовательно с конденсатором фильтра: получается фильтр «опережение–отставание», который возвращает наклон к −6 дБ/окт вблизи частоты единичного усиления (расчёт — в следующем пункте).

9.5.3Расчёт на примере: умножитель частоты сети

≈ 14 мин1 упр.

Главное

Задача: такты 50 кГц = 50 Гц × 1000 для двухстадийного АЦП, синхронные с сетью, — сетевая помеха подавлена полностью.
Петля = детектор $K_{д}$ × фильтр $K_{ф}$ × ГУН $K_{ГУН} / jω$ × делитель $1/ n$ .
Выбираем частоту единичного усиления $f_{2}$ (здесь 1 Гц), нуль фильтра $f_{1}$ — в 3–5 раз ниже, затем $R_{3}$ из условия $∣ K ∣ = 1$ на $f_{2}$ .
Вблизи $f_{2}$ наклон должен быть −6 дБ/окт — тогда запас по фазе большой.

Получить частоту, кратную входной, — пожалуй, самое частое применение ФАПЧ. Синтезатор умножает стабильную низкую частоту (скажем, 1 кГц) на целое n, которое задаётся цифровым кодом, — выходит гибкий источник, которым может командовать хоть компьютер. Но бывают задачи и скромнее: такты, синхронные с частотой, которая в приборе уже есть.

Возьмём щитовой вольтметр с двухстадийным АЦП: первая стадия — ровно 1000 тактов, и мы хотим, чтобы она длилась ровно один период сети, какой бы ни была её частота в данную минуту. Тогда нужны такты $50 \cdot 1000 = 50$ кГц, синхронные с сетью, и сетевая помеха с гармониками будет подавлена полностью на любом входе АЦП. Сеть плавает в пределах долей герца — кварц тут бессилен, а ФАПЧ справится.

Нарисуем стандартную схему с делителем на n и выпишем коэффициент передачи каждого блока — без них устойчивость не рассчитать. Детектор превращает фазу в напряжение, ГУН — напряжение в скорость изменения фазы, т. е. в частоту. Если следить за фазой, ГУН — интегратор: постоянное напряжение ошибки даёт линейно растущее рассогласование фазы. Фильтр и делитель передают меньше единицы.

1234

Умножитель частоты на ФАПЧ с коэффициентами передачи звеньев; для расчёта устойчивости ГУН — интегратор фазы, φ = ∫ K_ГУН U dt

Что здесь что (4)

Фазовый детектор. $K_{д}$ , В/рад: фаза → напряжение
ФНЧ. $K_{ф}$ , В/В: «опережение–отставание», задаёт устойчивость
ГУН. $K_{ГУН}$ , рад/(с·В): напряжение → частота, т. е. интегратор фазы
Делитель 1/n. делит фазу и частоту выхода в n раз перед сравнением

Устойчивость на диаграммах Боде

Диаграммы Боде ниже показывают, как складывается усиление петли второго порядка. ГУН — интегратор: его характеристика спадает как $1/ f$ , а фаза запаздывает на 90°.

Нам нужен приличный запас по фазе — разность между 180° и сдвигом фазы петли на частоте, где её усиление равно 1. Для этого последовательно с конденсатором фильтра включают резистор. На некоторой частоте — её называют «нулём» фильтра — он останавливает спад характеристики фильтра. Пока вблизи частоты единичного усиления общий наклон равен −6 дБ/окт, петля устойчива. Фильтр «опережение–отставание» с правильно выбранными номиналами делает ровно это — так же, как коррекция опережением-отставанием у ОУ.

ГУН: −6 дБ/окт (интегратор)

ФНЧ «опережение–отставание»

петля: −12, затем −6 дБ/окт у f₂

Диаграммы Боде: ГУН, фильтр «опережение–отставание» и петля целиком

Коэффициенты передачи звеньев

Схема умножителя — на рисунке ниже. Детектор и ГУН возьмём из одной КМОП-микросхемы 74HC4046 с питанием 5 В; используем её детектор типа 2. Выход детектора — пара КМОП-транзисторов, выдающих насыщенные импульсы уровня $U_{пит}$ или 0 В, а вне импульсов рассогласования выход находится в высокоимпедансном состоянии. Нижнюю и верхнюю частоты ГУН (при управляющих 0 В и $U_{пит}$ ) задают $R_{1}$ , $R_{2}$ , $C_{1}$ по графикам паспорта; возьмём 20 и 100 кГц. Делитель на 1000 — три декадных счётчика.

Ловушка. У 4046 есть застарелый недостаток: частота её ГУН сильно зависит от напряжения питания. Питайте её от стабилизированной шины и сверяйте параметры с паспортом своей серии.

1234567

Умножитель частоты сети на 1000: такты 50 кГц для двухстадийного АЦП, синхронные с сетью, — первая стадия длится ровно один период сети

Что здесь что (7)

Детектор типа 2 (4046). по фронтам; выход с тремя состояниями
R₃ 7,5 МОм. вместе с $C_{2}$ задаёт полюс фильтра и общее усиление петли
C₂ 1 мкФ. хранит управляющее напряжение ГУН между импульсами детектора
R₄ 620 кОм. «нуль» фильтра: $f_{1} = 1/2 π R_{4} C_{2} \approx 0, 26$ Гц — возвращает наклон −6 дБ/окт
ГУН 4046. 20…100 кГц; диапазон задают $R_{1}$ , $R_{2}$ , $C_{1}$
Делитель ÷1000. три декадных счётчика: $f_{ГУН} = 1000 \cdot 50$ Гц
Выход 50 кГц. такты АЦП, синхронные с сетью

Главное — рассчитать фильтр. Выпишем передачу каждого звена в таблицу и будем строго держаться одних единиц: не смешивайте $f$ и $ω$ , а тем более герцы с килогерцами — это самая частая причина ошибок в таких расчётах.

Коэффициенты передачи звеньев петли умножителя
Узел	Функция	Коэффициент передачи ( $U_{пит} = 5$ В)
Фазовый детектор	$U_{1} = K_{д} Δ φ$	0… $U_{пит}$ ↔ 0…2π: $K_{д} = 5/2 π = 0, 80$ В/рад
ФНЧ	$U_{2} = K_{ф} U_{1}$	$K_{ф} = \frac{1 + jω R _{4} C _{2}}{1 + jω ( R _{3} + R _{4} ) C _{2}}$
ГУН	$d φ_{вых} / d t = K_{ГУН} U_{2}$	20 кГц (0 В) … 100 кГц (5 В): 16 кГц/В $= 1, 01 \cdot 1 0^{5}$ рад/(В·с)
Делитель на n	$φ_{ср} = φ_{вых} / n$	$K_{дел} = 1/1000$

ГУН — интегратор: $φ_{вых} = \int K_{ГУН} U_{2} d t$ , т. е. в частотной записи множитель $K_{ГУН} / jω$ . Перемножаем всё по кругу:

Усиление петли умножителя

K_{петли} = K_{д} K_{ф} \frac{K _{ГУН}}{jω} K_{дел} = 0, 80 \cdot \frac{1 + jω R _{4} C _{2}}{1 + jω ( R _{3} + R _{4} ) C _{2}} \cdot \frac{1 , 01 \cdot 1 0 ^{5}}{jω} \cdot \frac{1}{1000}

Обозначения:

K_{д}

K_{ф}

K_{ГУН} / jω

K_{дел}

R_{4} C_{2}

(R_{3} + R_{4}) C_{2}

Теперь главное решение — частота $f_{2}$ , на которой усиление петли проходит через единицу. Слишком высокая — петля станет повторять каждую помеху входа; слишком низкая — не успеет за настоящими изменениями входной частоты.

Как выбрать частоту единичного усиления f₂

	Быстрая петля (высокая $f_{2}$ )	Медленная петля (низкая $f_{2}$ )
Задача	демодуляция ЧМ, быстрые тональные посылки	частота, кратная стабильной и медленно меняющейся входной
Требование	полоса не меньше наибольшей частоты модуляции; отклик быстрее длительности тона	малый фазовый шум выхода, нечувствительность к шумам и выбросам на входе
Пропадание входа	сразу заметно	почти незаметно — конденсатор фильтра держит частоту ГУН

Наш случай — второй столбец. Частота сети меняется медленно: её держат огромные турбогенераторы с колоссальной инерцией вращающихся масс, и за доли секунды она измениться не может. Зато сетевое напряжение полно выбросов и помех, и кратковременный провал на входе не должен сбивать такты. Значит, $f_{2}$ берём низкой.

Расчёт фильтра петли

Выбрать $f_{2}$ здесь 1 Гц ( $ω_{2} = 6, 28$ рад/с) — намного ниже частоты сравнения 50 Гц
Поставить нуль $f_{1}$ в 3–5 раз нижефазовый сдвиг RC-цепи меняется от 0 до 90° в пределах от 0,1 до 10 её частоты среза; чтобы на $f_{2}$ фильтр уже «вернул» почти всю фазу, берём $f_{1} \approx 0, 25$ Гц
Найти $R_{4} C_{2} = 1/2 π f_{1}$ $C_{2} = 1$ мкФ (плёночный, с малой утечкой), $R_{4} = 620$ кОм — $f_{1} = 0, 26$ Гц
Подобрать $R_{3}$ так, чтобы на $f_{2}$ усиление петли было равно 1: $R_{3} \approx 7, 5$ МОм

Как найден R₃

На $ω_{2} = 6, 283$ рад/с множитель «детектор × ГУН × делитель» равен $0, 796 \cdot 1, 005 \cdot 1 0^{5} / (6, 283 \cdot 1000) = 12, 73$ . Числитель фильтра $∣1 + j ω_{2} R_{4} C_{2} ∣ = ∣1 + j 3, 90∣ = 4, 02$ . Чтобы $∣ K ∣ = 1$ , знаменатель должен быть $12, 73 \cdot 4, 02 = 51, 2$ , т. е. $ω_{2} (R_{3} + R_{4}) C_{2} \approx 51, 2$ и $R_{3} + R_{4} = 8, 15$ МОм, $R_{3} = 7, 53$ МОм — ближайший из ряда E24 7,5 МОм.

Фаза петли на $f_{2}$ : $- 90° + arct g 3, 90 - arct g 51, 2 = - 90° + 75, 6° - 88, 9° = - 103, 3°$ , запас по фазе ≈ 77°. Полюс фильтра — на $1/2 π (R_{3} + R_{4}) C_{2} = 0, 02$ Гц.

Правило. Рабочее правило: нуль фильтра

f_{1}

ставят в 3–5 раз ниже частоты единичного усиления

f_{2}

— тогда запас по фазе получается достаточным.

Усиление петли умножителя на 1000: −6 дБ/окт от ГУН, −12 дБ/окт между полюсом и нулём фильтра, а через 0 дБ на 1 Гц — снова с наклоном −6 дБ/окт

Модель: усиление петли ФАПЧ и запас по фазе

Упражнение 9.5.4

Тот же щитовой прибор отправляют в страну с сетью 60 Гц. Микросхема прежняя ( $K_{д} = 0, 80$ В/рад, $K_{ГУН} = 1, 01 \cdot 1 0^{5}$ рад/(В·с)), делитель тот же — на 1000, так что такты станут 60 кГц (ГУН это позволяет). Петлю решили сделать чуть быстрее: $f_{2} = 1, 5$ Гц, $C_{2} = 1$ мкФ, $R_{4} = 470$ кОм. Найдите $R_{3}$ , при котором усиление петли на 1,5 Гц равно 1, и запас по фазе.

R₃ =МОмзапас =°

Решение

Нуль фильтра: $f_{1} = 1/2 π R_{4} C_{2} = 1/ (2 π \cdot 0, 47) = 0, 34$ Гц — в 4,4 раза ниже $f_{2}$ , правило соблюдено. На $ω_{2} = 2 π \cdot 1, 5 = 9, 42$ рад/с:

$∣1 + j ω_{2} R_{4} C_{2} ∣ = ∣1 + j 4, 43∣ = 4, 54$ . Множитель детектора, ГУН и делителя: $0, 796 \cdot 1, 005 \cdot 1 0^{5} / (9, 42 \cdot 1000) = 8, 49$ . Значит, нужно $∣1 + j ω_{2} (R_{3} + R_{4}) C_{2} ∣ = 8, 49 \cdot 4, 54 = 38, 5$ , т. е. $R_{3} + R_{4} \approx 38, 5/9, 42 = 4, 09$ МОм и $R_{3} \approx 3, 6$ МОм (такой номинал есть в ряду E24).

Фаза петли: $- 90° + arct g 4, 43 - arct g 38, 5 = - 90° + 77, 3° - 88, 5° = - 101, 2°$ , запас ≈ 79° — петля хорошо задемпфирована, без перерегулирования.

На практике номиналы иногда приходится подправить или сдвинуть $f_{2}$ . Найденные значения рассчитаны на КМОП-ФАПЧ, у которой вход ГУН почти не потребляет тока (около $1 0^{12}$ Ом); у биполярных микросхем ФАПЧ (например, 4044) мегаомный фильтр может потребовать буферного ОУ.

Ловушка. Детектор типа 2 мы взяли ради простоты фильтра, но для сетевого сигнала он не лучший: сеть «грязная», а этот детектор реагирует на каждый лишний фронт. С аккуратным входным узлом (ФНЧ, затем триггер Шмитта) схема будет работать хорошо; иначе надёжнее детектор типа 1 — ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ.

А если подбирать наугад?

Многие налаживают ФАПЧ так: меняют детали фильтра, пока петля не заработает. Именно отсюда, по всей видимости, и растёт её репутация капризного узла — петля, «подобранная» на столе, при другой температуре или другом экземпляре микросхемы может зазвенеть или перестать захватывать. Расчёт выше занимает полчаса и избавляет от этих сюрпризов.

Совет. Если всё же подбираете экспериментально, помните:

R_{4} C_{2}

задаёт время сглаживания петли, а отношение

R_{4} / R_{3}

— демпфирование (отсутствие перерегулирования при скачке частоты). Разумная отправная точка —

R_{4} \approx 0, 1 \dots 0, 2 R_{3}

.

Ещё одно применение синхронных с сетью тактов

Анализатор качества электроэнергии должен разложить сетевое напряжение на гармоники. Если АЦП берёт отсчёты с частотой кварцевого генератора, а сеть ушла на 0,1 Гц, гармоники «размазываются» по соседним полосам спектра. ФАПЧ с делителем на 256 даёт ровно 256 отсчётов на период сети, какой бы ни была её частота, и каждая гармоника попадает точно в свою полосу быстрого преобразования Фурье.

Отсчёты, привязанные к сети

Сеть 50 Гц

ФАПЧ, ГУН 12,8 кГц

Запуск АЦП

БПФ

9.5.4Захват и слежение

≈ 4 мин1 упр.

Главное

Захват идёт за счёт несимметрии биений: ошибка дольше там, где частоты ближе, и её среднее подтягивает ГУН к входу.
Петля первого порядка захватывает всегда; у петли второго порядка с детектором XOR полоса захвата ограничена фильтром.
Полоса слежения у обоих детекторов — весь диапазон ГУН.

Засинхронизированная петля так и остаётся в синхронизме, пока вход не уйдёт за пределы, которые способна отработать обратная связь. Гораздо интереснее другой вопрос: как она входит в синхронизм в первый раз? Ведь при начальном рассогласовании частот выход детектора — колебание разностной частоты, а после фильтра от него остаются слабые медленные колебания. На хороший постоянный сигнал ошибки это совсем не похоже.

Механизм захвата

Однозначного ответа нет — всё зависит от порядка петли и типа детектора. Петля первого порядка захватывает всегда: ошибка на низких частотах в ней не ослабляется. У петли второго порядка с детектором XOR (тип 1) полоса захвата ограничена и зависит от постоянной времени фильтра. Иногда это даже на руку: можно сделать так, чтобы петля захватывала только сигналы в заданном диапазоне частот, — например, в дешифраторе тональных посылок.

Как ФАПЧ входит в синхронизм

Биениярассогласование частот даёт на выходе детектора колебания разностной частоты
Несимметриякогда ошибка приближает частоту ГУН к входной, биения замедляются, когда удаляет — ускоряются
Постоянная составляющаяошибка дольше остаётся там, где $f_{ГУН}$ ближе к $f_{вх}$ , — её среднее втягивает петлю в синхронизм
Подстройка фазычастота уже верна, но фаза ещё нет — последний всплеск

Ключ — в несимметрии биений. Пока сигнал ошибки тянет частоту ГУН к входной, разность частот уменьшается, и биения замедляются; когда он тянет в обратную сторону — разность растёт, и биения ускоряются. В итоге «полезная» половина цикла длится дольше «вредной», у сигнала ошибки появляется постоянная составляющая, и она шаг за шагом подтягивает ГУН к входу.

Управляющее напряжение ГУН во время захвата похоже на график ниже. Обратите внимание на последний всплеск: частота уже правильная (судя по управляющему напряжению), а синхронизма ещё нет — не совпадает фаза, и её доворот даёт этот всплеск. Каждый захват неповторим: запустите петлю несколько раз, и картинка каждый раз будет немного другой.

Захват на осциллограмме управляющего напряжения: среднее несимметричных биений постепенно подтягивает ГУН, а последний всплеск — подстройка фазы при уже верной частоте

Полосы захвата и слежения

Почему у детектора XOR полоса захвата ограничена? При большой разности частот биения настолько ослабляются фильтром, что их несимметрии не хватает, чтобы сдвинуть ГУН. Чем больше постоянная времени фильтра, тем сильнее ослабление на частоте биений и тем уже полоса захвата. Детектор по фронтам такого ограничения не знает. Полоса же слежения у обоих типов одна и та же — её задаёт диапазон частот, который ГУН способен выдать при допустимых управляющих напряжениях.

Где петля захватывает и где удерживает синхронизм: у детектора XOR полоса захвата уже и сужается с ростом постоянной времени фильтра

Упражнение 9.5.5

В нашем умножителе ГУН перестраивается от 20 до 100 кГц, делитель — на 1000. В каком диапазоне входных частот петля может следить за входом? Подойдёт ли он для сети 60 Гц и для тяговой сети железной дороги 16,7 Гц?

f_мин =Гцf_макс =Гц

Решение

Слежение возможно, пока ГУН способен выдать $1000 f_{вх}$ : $f_{вх} = 20 000/1000 = 20$ Гц … $100 000/1000 = 100$ Гц. Сеть 60 Гц (60 кГц на выходе) помещается с запасом; 16,7 Гц — нет: понадобился бы ГУН от 16,7 кГц или делитель побольше (на 2000 — тогда 10…50 Гц). С детектором типа 2 и захват возможен во всём диапазоне слежения.

9.5.5ФАПЧ за работой: примеры применения

≈ 9 мин3 упр.

Главное

ЧМ-детектор: управляющее напряжение засинхронизированного ГУН повторяет модулирующий сигнал, $U = Δ f / K_{ГУН}$ .
Синхронный (гомодинный) АМ-детектор умножает вход на меандр несущей, выработанный ФАПЧ.
Восстановление тактов с ленты и линий, чистая синусоида, LC-генератор с варактором, синтезаторы с делителями R и N.

Умножение частоты мы уже разобрали подробно. Добавим только, что в простых умножителях — скажем, для получения повышенной тактовой частоты внутри цифровой системы — опорный сигнал чист, и вполне хватает петли первого порядка. Теперь пройдёмся по другим областям, где ФАПЧ незаменима.

Засинхронизированная ФАПЧ: напряжение на входе ГУН — копия модулирующего сигнала. Или квадратурный детектор совсем без петли.

Детектирование ЧМ

При частотной модуляции сигнал записан в отклонении частоты несущей от среднего значения — отклонение пропорционально сигналу. Восстановить его помогают фазовые детекторы, и способов два.

Первый — засинхронизировать ФАПЧ входным сигналом. Чтобы следовать за входом, ГУН должен иметь ту же частоту, а значит, его управляющее напряжение пропорционально мгновенной входной частоте — это и есть демодулированный сигнал (схема ниже). Полоса фильтра петли должна пропускать модулирующий сигнал: петля обязана реагировать быстрее, чем меняется восстанавливаемый сигнал. На вход ФАПЧ обычно подают не сам принятый сигнал, а сигнал промежуточной частоты (ПЧ) после смесителя приёмника.

ЧМ-демодулятор на ФАПЧ

U_{упр} (t) = \frac{f _{вх} ( t ) - f _{0}}{K _{ГУН}}

Обозначения:

U_{упр}

f_{вх} (t)

f_{0}

K_{ГУН}

Правило. ГУН демодулятора должен быть линейным: его нелинейность прямо превращается в искажения звука.

1234

Демодулятор ЧМ на ФАПЧ: чтобы следовать за входом, ГУН нуждается в напряжении, повторяющем звук

Что здесь что (4)

Фазовый детектор. сравнивает ПЧ с выходом ГУН
Фильтр. полоса — не уже спектра звука
Усилитель. его выход и есть звук: напряжение, нужное ГУН для слежения
ГУН. следит за мгновенной частотой входа

Второй способ обходится без петли. На фазовый детектор подают сам входной сигнал и его копию, прошедшую через фазосдвигающую цепь, обычно резонансный LC-контур: в рабочем диапазоне её сдвиг фазы линейно зависит от частоты. Выход детектора тогда тоже зависит от частоты. Это квадратурный ЧМ-детектор; в двойном балансном исполнении он встроен во многие микросхемы усилителей-детекторов ПЧ (например, CA3189).

123

Квадратурный ЧМ-детектор без петли: LC-цепь превращает частоту в сдвиг фазы, а фазовый детектор — сдвиг фазы в напряжение

Что здесь что (3)

Фазовый детектор (умножитель). выход пропорционален разности фаз прямого и сдвинутого сигналов
Фазосдвигающая LC-цепь. около 90° на средней частоте; сдвиг линейно зависит от частоты
ФНЧ. убирает несущую, оставляет звук

Детектирование АМ

Здесь нужен выход, пропорциональный мгновенной амплитуде ВЧ-сигнала. Обычный способ — выпрямить и отфильтровать (левая схема ниже). ФАПЧ предлагает более изощрённый путь — синхронный, или гомодинный, приём (правая схема): петля вырабатывает меандр с частотой несущей, умножение входа на этот меандр равносильно двухполупериодному выпрямлению, и остаётся отфильтровать остатки несущей, чтобы получить огибающую. Одна тонкость: с детектором XOR выход ФАПЧ сдвинут относительно входа на 90°, поэтому по пути к умножителю фазу надо довернуть ещё на 90°.

а) обычный АМ-детектор: выпрямитель и фильтр

б) синхронный (гомодинный) АМ-детектор на ФАПЧ

Восстановление тактов и чистых сигналов

Цифровая линия связи передаёт поток бит — данные, цифровые по природе, или оцифрованный звук (импульсно-кодовая модуляция). Очень похожая задача — чтение данных с магнитной ленты или диска. В обоих случаях поток искажён помехами, а частота следования бит гуляет — например, лента растягивается, двигатель дисковода чуть меняет скорость. Для декодирования нужен чистый тактовый сигнал ровно той же частоты, что и считанные данные. ФАПЧ подходит идеально: фильтр нижних частот убрал бы дрожание и помехи, но не смог бы следовать за медленными изменениями скорости, а петля делает и то и другое.

Ещё пример — генератор синусоиды для испытаний, частота которой задаётся цифровым способом и может меняться в широких пределах, скажем от 40 до 80 Гц. Можно получить меандр и превратить его в синус фильтром высокого порядка, но тогда амплитуда будет зависеть от частоты, а перестройка фильтра — головная боль. Проще засинхронизировать с меандром ГУН с синусоидальным выходом (например, 8038): амплитуда постоянна, диапазон широкий, и нет дрожания, свойственного цифровому умножителю частоты.

Синтезатор с LC-генератором

Считыватель RFID-меток работает на частоте 13,56 МГц, и эта частота должна быть точной и стабильной, а в устройстве уже есть кварцевый генератор 10 МГц. Свяжем их петлёй ФАПЧ (схема ниже). LC-генератор на полевом транзисторе подстраивается варактором (о варакторах — раздел 5.3) по сигналу детектора типа 2 из 74HC4046. Сравнивать фазы прямо на 13,56 МГц детектор не может, поэтому обе частоты делят до общей частоты сравнения 40 кГц: опорную на 250, выходную на 339.

Варактор с ёмкостью от 10 до 40 пФ (при 8…1 В) включён через последовательный конденсатор 4,7 пФ. В контур он вносит от 3,2 до 4,2 пФ, т. е. меняет его ёмкость (около 138 пФ) всего на 1 пФ — диапазон перестройки сознательно узок, около ±0,2 %: так шумы и наводки на управляющем напряжении слабее модулируют частоту.
Синусоиду генератора превращают в логический сигнал вентилем 74HC, смещённым на середину логического порога большим резистором обратной связи.
На выход, к кабелю 50 Ом, ставят эмиттерный повторитель с ограничением тока (о линиях — раздел 9.2).

Совет. При налаживании подстройте сердечник катушки так, чтобы в синхронизме напряжение на фильтре детектора оказалось в середине допустимого размаха: тогда у петли остаётся запас в обе стороны на уход температуры.

Если необычную частоту приходится синтезировать часто, обратите внимание на специальные микросхемы «ФАПЧ-синтезатор»: в них есть детектор типа 2 и программируемые делители для опорной частоты и частоты ГУН (на 14 и более разрядов), остаётся добавить ГУН и фильтр. Так устроена, например, давняя серия MC145145–MC145159 фирмы Motorola и множество её потомков.

1234567

Генератор 13,56 МГц для считывателя RFID, привязанный к кварцу 10 МГц: обе частоты делятся до 40 кГц и сравниваются детектором по фронтам (упрощённо)

Что здесь что (7)

Опорный генератор 10 МГц. кварцевый эталон частоты
Делитель ÷250. 10 МГц → 40 кГц
Детектор типа 2 (74HC4046). сравнивает фронты двух сигналов 40 кГц
ФНЧ. даёт управляющее напряжение варактора
LC-генератор + варактор. 13,56 МГц; узкий диапазон перестройки — ради стабильности
Делитель ÷339. 13,56 МГц → 40 кГц
Выход. 13,56 МГц на 50 Ом через эмиттерный повторитель

Синтезатор с двумя делителями

f_{вых} = \frac{N}{R} f_{оп}, шаг = \frac{f _{оп}}{R}

Обозначения:

f_{оп}

R

N

f_{вых}

Наш случай:

f_{оп} = 10

МГц, R = 250, N = 339 — 13,56 МГц.

Упражнение 9.5.6

Контур того самого генератора 13,56 МГц: $L = 1, 0$ мкГн, а полная ёмкость контура под действием варактора меняется от 137,3 до 138,3 пФ. Найдите диапазон перестройки в килогерцах и в процентах.

Δf =кГцΔf/f =%

Решение

$f = 1/2 π L C$ : при 137,3 пФ — 13,583 МГц, при 138,3 пФ — 13,533 МГц; $Δ f = 49, 2$ кГц, или 0,36 %. Проверим приближением $Δ f / f \approx ½Δ C / C = ½ \cdot 1/137, 8 = 0, 36$ %. Для петли этого достаточно — кварц и делители удержат точную частоту, а узкий диапазон защищает от модуляции частоты шумами управляющей цепи.

Упражнение 9.5.7

Синтезатор для радиомодуля диапазона 433 МГц: опорный кварц 12,8 МГц, делитель опорной частоты R и делитель ГУН N (оба целые), детектор типа 2. Нужен шаг сетки 20 кГц и рабочая частота 433,92 МГц. Найдите R и N.

R =N =

Решение

Частота сравнения равна шагу сетки: $12, 8 МГц / R = 20$ кГц → $R = 640$ . $f_{вых} = N \cdot 20$ кГц → $N = 433 920/20 = 21696$ . Частоту единичного усиления петли выбирают много ниже 20 кГц (обычно в 10–20 раз), иначе пульсации на частоте сравнения пройдут на ГУН и дадут побочные составляющие по обе стороны от несущей.

Упражнение 9.5.8

Приёмник любительской УКВ-радиостанции с узкополосной ЧМ демодулирует сигнал петлёй ФАПЧ. Крутизна ГУН 40 кГц/В, девиация частоты ±5 кГц, наибольшая частота речи 3 кГц. Каков размах (от пика до пика) напряжения на выходе демодулятора и какой должна быть, как минимум, частота единичного усиления петли?

размах =Вf₂ =кГц

Решение

Управляющее напряжение повторяет частоту: $\pm 5/40 = \pm 0, 125$ В, размах 0,25 В — дальше его усиливают до уровня звука. Петля должна успевать за модуляцией до 3 кГц, поэтому её частота единичного усиления — не ниже 3 кГц, а на практике с запасом в несколько раз. Помните и про линейность ГУН: её отклонения прямо станут искажениями речи.