Тема 06 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Сложные проценты

Текстовые задачи повышенной сложности. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Любая текстовая задача — это перевод условия на язык уравнений. Обозначаем неизвестное буквой, выражаем через него все величины и записываем одно равенство, которое следует из текста.

Выбрать неизвестное $x$ (обычно то, что спрашивают, или скорость/время).
Заполнить таблицу: что известно и что выражено через $x$ .
Найти в тексте условие для уравнения («на 2 ч дольше», «вместе за 4 ч»).
Решить, отбросить посторонние корни (отрицательное время, скорость), ответить именно на вопрос.

Движение: две неизвестные скорости

S = v \cdot t

S

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч)

Ситуация	Уравнение
навстречу	$v_{1} + v_{2} = \frac{S}{t}$ — скорость сближения
«прибыл на $Δ t$ раньше»	$\frac{S}{v _{1}} - \frac{S}{v _{2}} = Δ t$
по кругу, обгон на круг	$(v_{2} - v_{1}) \cdot T = L$ , $L$ — длина круга
после встречи шли $t_{1}$ и $t_{2}$	$t^{2} = t_{1} \cdot t_{2}$ , $t$ — время до встречи

Отрезок

A M

первый прошёл за

t

, второй — за

t_{2}

; отрезок

MB

второй прошёл за

t

, первый — за

t_{1}

Отсюда $\frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{t _{2}}{t}$ и $\frac{v _{1}}{v _{2}} = \frac{t}{t _{1}}$ , значит, $t^{2} = t_{1} t_{2}$ .

После встречи первый шёл до B ещё 2 ч, второй до A — 8 ч. Сколько часов в пути первый?

$t^{2} = 2 \cdot 8 = 16$ , $t = 4$ ч до встречи.
Первый в пути $4 + 2 = 6$ ч.

Быстрый бегун проходит круг на 4 мин быстрее и впервые обгоняет на круг через 24 мин. За сколько минут он пробегает круг?

Пусть быстрый пробегает круг за $T$ мин, медленный — за $T + 4$ . За 24 мин быстрый сделал на 1 круг больше: $\frac{24}{T} - \frac{24}{T + 4} = 1$ .
$24 \cdot 4 = T (T + 4)$ , $T^{2} + 4 T - 96 = 0$ , $T = 8$ (корень $- 12$ не подходит).

Работа: этапы и несколько участников

Вся работа — $1$ (или число деталей). Производительность $= \frac{работа}{время}$ ; при совместной работе производительности складываются. Работа на этапе $=$ производительность $\cdot$ время.

Ситуация	Уравнение
первый работал $t_{1}$ , второй — $t_{2}$	$\frac{t _{1}}{x} + \frac{t _{2}}{y} = 1$
три пары работают вместе	сложить: $2 (p_{1} + p_{2} + p_{3})$
«половину — один, половину — другой»	$\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = T$

Первая труба наполняет бак на 5 ч дольше второй. 1 ч работала первая, затем включили вторую, ещё через 3 ч бак полон. За сколько часов наполняет бак первая?

Первая — за $x$ ч, вторая — за $x - 5$ ч. Первая работала $1 + 3 = 4$ ч, вторая — 3 ч.
$\frac{4}{x} + \frac{3}{x - 5} = 1$ ⇒ $4 (x - 5) + 3 x = x (x - 5)$ ⇒ $x^{2} - 12 x + 20 = 0$ .
$x = 10$ или $x = 2$ ; но $x - 5 > 0$ , значит, $x = 10$ .

Мастер делает на 4 детали в час больше ученика. Ученик делает 96 деталей на 6 ч дольше, чем мастер — 72.

$\frac{96}{x} - \frac{72}{x + 4} = 6$ ⇒ $24 x + 384 = 6 x^{2} + 24 x$ ⇒ $x^{2} = 64$ , $x = 8$ деталей в час.

Сложные проценты

+ p % \to \cdot (1 + \frac{p}{100}), - p % \to \cdot (1 - \frac{p}{100})

каждое изменение — умножение на коэффициент;

n

раз по

p %

\cdot (1 + \frac{p}{100})^{n}

Цена дважды выросла на $p %$ : $400 k^{2} = 784$ , $k^{2} = 1, 96$ , $k = 1, 4$ — на $40%$ .
Вклад за 1-й год вырос на $p %$ , за 2-й — на $(p + 5) %$ , всего на $50%$ : $k (k + 0, 05) = 1, 5$ , где $k = 1 + \frac{p}{100}$ . $k^{2} + 0, 05 k - 1, 5 = 0$ , $D = 6, 0025 = 2, 4 5^{2}$ , $k = 1, 2$ — $20%$ .

Проценты не складываются: $+ 20%$ и затем $+ 20%$ — это $\cdot 1, 44$ , то есть $+ 44%$ . А $+ p %$ , затем $- p %$ дают $\cdot (1 - \frac{p ^{2}}{10000})$ — цена падает.

Смеси, сплавы, переливания

Масса (объём) чистого вещества $=$ концентрация $\cdot$ масса смеси. Если из сосуда объёмом $V$ отлили $x$ и долили водой, концентрация умножается на $(1 - \frac{x}{V})$ ; два раза — на $(1 - \frac{x}{V})^{2}$ . При сушке не меняется масса сухого вещества.

10 л 40%-го раствора, дважды отлили $x$ л и долили водой, стало $1, 6%$ .

$40 \cdot (1 - \frac{x}{10})^{2} = 1, 6$ ⇒ $(1 - \frac{x}{10})^{2} = 0, 04$ .
$1 - \frac{x}{10} = 0, 2$ (берём положительный корень, т. к. $x < 10$ ), $x = 8$ л.

Задачи на числа и цифры

двузначное число с цифрами $a$ , $b$	$10 a + b$ , $a \neq = 0$
цифры переставили	разность $9 (a - b)$
$1 + 2 + \dots + n$	$\frac{n ( n + 1 )}{2}$
$1 + 3 + \dots + (2 n - 1)$	$n^{2}$

$\frac{n ( n + 1 )}{2} = 1035$ ⇒ $n (n + 1) = 2070 = 45 \cdot 46$ , $n = 45$ .
Дробь $\frac{n - 9}{n}$ ; прибавили по 1: $\frac{n - 8}{n + 1} - \frac{n - 9}{n} = \frac{3}{80}$ ⇒ $\frac{9}{n ( n + 1 )} = \frac{3}{80}$ ⇒ $n (n + 1) = 240$ , $n = 15$ .

Подбор произведения соседних чисел: $n (n + 1) \approx n^{2}$ , значит, $n \approx 2070 www.reknow.ru \approx 45$ .

Сушка и смешивание двух растворов

Свежие грибы содержат 80% воды, сушёные — 25%. Сколько свежих грибов нужно для 10 кг сушёных?

Сухое вещество при сушке не меняется. В сушёных его $100% - 25% = 75%$ : $0, 75 \cdot 10 = 7, 5$ кг.
В свежих сухого вещества $20%$ : $0, 2 x = 7, 5$ , $x = 37, 5$ кг.

Смешав 4 кг первого раствора и 1 кг второго, получили 65,8%-й раствор; смешав равные массы — 61%-й. Концентрации $x %$ и $y %$ ?

Кислота в смеси: $4 \cdot \frac{x}{100} + 1 \cdot \frac{y}{100} = 5 \cdot \frac{65 , 8}{100}$ , то есть $4 x + y = 329$ .
Равные массы (по 1 кг): $x + y = 2 \cdot 61 = 122$ .
Вычитаем: $3 x = 207$ , $x = 69$ , $y = 53$ .

В задачах на сплавы с неизвестными массами удобно взять за $x$ массу одного сплава и выразить через неё процентное содержание: $\frac{3}{m} \cdot 100%$ и $\frac{6}{m + 7} \cdot 100%$ .

Последовательные числа

Числа	Обозначение
два последовательных натуральных	$n$ и $n + 1$
два последовательных чётных (нечётных)	$n$ и $n + 2$
сумма первых $n$ чётных $2 + 4 + \dots + 2 n$	$n (n + 1)$

Произведение двух последовательных натуральных чисел на 379 больше их суммы. Найдите большее.

$n (n + 1) - (n + n + 1) = 379$ , $n^{2} - n - 380 = 0$ .
$D = 1 + 1520 = 1521 = 3 9^{2}$ , $n = \frac{1 + 39}{2} = 20$ (второй корень $- 19$ не натуральный).
Большее число $21$ .

Двузначное число делится на сумму цифр с частным 7, произведение цифр 8.

$10 a + b = 7 (a + b) \Rightarrow 3 a = 6 b \Rightarrow a = 2 b$ .
$ab = 2 b^{2} = 8$ , $b = 2$ , $a = 4$ . Число $42$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Задачи на движение

Серия: 0

Сложные проценты

Простыми словами

Движение: две неизвестные скорости

Работа: этапы и несколько участников

Сложные проценты

Смеси, сплавы, переливания

Задачи на числа и цифры

Сушка и смешивание двух растворов

Последовательные числа

Примеры заданий