Тема 04 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Геометрическая прогрессия

Арифметическая и геометрическая прогрессии. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Каждый день откладывать на 10 ₽ больше, чем вчера, — это арифметическая прогрессия: к числу всё время прибавляют одно и то же. Каждый год вклад растёт в 1,1 раза — это геометрическая: число всё время умножают на одно и то же.

Арифметическая $(a_{n})$

a_{n + 1} = a_{n} + d

d

— разность.

Геометрическая $(b_{n})$

b_{n + 1} = b_{n} \cdot q

q \neq = 0

— знаменатель,

b_{1} \neq = 0

Арифметическая прогрессия

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

n

-й член

S_{n} = \frac{a _{1} + a _{n}}{2} \cdot n = \frac{2 a _{1} + ( n - 1 ) d}{2} \cdot n

сумма

n

первых членов

Здесь $a_{1}$ — первый член, $d$ — разность, $n$ — номер (число членов), $S_{n}$ — сумма первых $n$ членов.

Каждый член — среднее арифметическое соседей: $a_{n} = \frac{a _{n - 1} + a _{n + 1}}{2}$ .
Если $k + m = p + s$ , то $a_{k} + a_{m} = a_{p} + a_{s}$ .
$a_{m} - a_{k} = (m - k) d$ .
При нечётном $n$ : $S_{n} = n \cdot (средний член)$ .

$a_{3} + a_{4} = - 17$ , $a_{9} - a_{3} = 6$ . Найдите $S_{18}$ .

$a_{9} - a_{3} = 6 d = 6$ , значит $d = 1$ .
$a_{3} + a_{4} = 2 a_{1} + 5 d = - 17$ , откуда $2 a_{1} = - 22$ , $a_{1} = - 11$ .
$S_{18} = \frac{2 \cdot ( - 11 ) + 17 \cdot 1}{2} \cdot 18 = - 5 \cdot 9 = - 45$ .

Сумма натуральных чисел от 10 до 200, дающих при делении на 3 остаток 1.

Это $10, 13, \dots, 199$ : $a_{1} = 10$ , $d = 3$ , $a_{n} = 199$ .
$n = \frac{199 - 10}{3} + 1 = 64$ .
$S = \frac{10 + 199}{2} \cdot 64 = 209 \cdot 32 = 6688$ .

Геометрическая прогрессия

b_{n} = b_{1} q^{n - 1}

n

-й член

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1

сумма

n

первых членов

Три подряд идущих члена $a, b, c$ : $b^{2} = a c$ (все не равны нулю).
$\frac{b _{m}}{b _{k}} = q^{m - k}$ ; $S_{2 n} = S_{n} (1 + q^{n})$ .

$b_{5} - b_{3} = 360$ , $b_{4} + b_{3} = 180$ . Найдите $b_{6}$ .

$b_{3} (q^{2} - 1) = 360$ и $b_{3} (q + 1) = 180$ .
Делим: $q - 1 = 2$ , $q = 3$ . Тогда $b_{3} \cdot 4 = 180$ , $b_{3} = 45$ .
$b_{6} = b_{3} q^{3} = 45 \cdot 27 = 1215$ .

При каком $x$ числа $3 x - 23$ , $x + 3$ , $3 x + 9$ — последовательные члены геометрической прогрессии?

$(x + 3)^{2} = (3 x - 23) (3 x + 9)$ , то есть $x^{2} + 6 x + 9 = 9 x^{2} - 42 x - 207$ .
$8 x^{2} - 48 x - 216 = 0$ , $x^{2} - 6 x - 27 = 0$ , $x = 9$ или $x = - 3$ .
При $x = - 3$ получаются числа $- 32, 0, 0$ — нули в геометрической прогрессии недопустимы. При $x = 9$ : $4, 12, 36$ ✓. Ответ: $9$ .

Две суммы или разности «со сдвигом на один номер» делят друг на друга — остаётся $q$ (или простое выражение с $q$ ).

Бесконечно убывающая прогрессия

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = 1

: куски бесконечны, но сумма конечна

S = \frac{b _{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

сумма бесконечно убывающей прогрессии

Сумма членов с нечётными номерами: $\frac{b _{1}}{1 - q ^{2}}$ ; сумма квадратов членов: $\frac{b _{1}^{2}}{1 - q ^{2}}$ .

Сумма бесконечно убывающей прогрессии равна 64, $b_{1} = 32$ . Найдите $b_{3}$ .

$\frac{32}{1 - q} = 64 \Rightarrow 1 - q = \frac{1}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ .
$b_{3} = 32 \cdot \frac{1}{4} = 8$ .

Запишите $0, 1 (2)$ несократимой дробью $\frac{p}{q}$ , найдите $p + q$ .

$0, 1 (2) = 0, 1 + 0, 02 + 0, 002 + \dots = \frac{1}{10} + \frac{0 , 02}{1 - 0 , 1} = \frac{1}{10} + \frac{2}{90} = \frac{11}{90}$ .
Дробь несократима: $p + q = 11 + 90 = 101$ .

Быстрое правило: $0, (ab) = \frac{ab}{99}$ ; $0, a (b) = \frac{ab - a}{90}$ (здесь $ab$ — двузначное число из цифр).

Смешанные и прикладные задачи

Дана формула $S_{n}$

a_{n} = S_{n} - S_{n - 1}

a_{1} = S_{1}

Три числа АП

a - d, a, a + d

Три числа ГП

\frac{b}{q}, b, b q

$S_{n} = - 3 n^{2} - n$ . Найдите $a_{4}$ .

$S_{4} = - 48 - 4 = - 52$ , $S_{3} = - 27 - 3 = - 30$ .
$a_{4} = S_{4} - S_{3} = - 22$ .

$a_{1} = 2$ , $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 4$ . Найдите $a_{5}$ .

Считаем по шагам: $a_{2} = 0$ , $a_{3} = - 4$ , $a_{4} = - 12$ , $a_{5} = - 28$ .

Для $a_{n + 1} = q a_{n} + c$ последовательность $a_{n} + \frac{c}{q - 1}$ — геометрическая со знаменателем $q$ (здесь $a_{n} - 4$ : $- 2, - 4, - 8, \dots$ ).

«На $d$ больше каждый раз» — арифметическая. «В $q$ раз больше», «на $p %$ в год» — геометрическая, $q = 1 + \frac{p}{100}$ .

В первом ряду амфитеатра 21 место, в каждом следующем на 4 больше. Рядов 23. Сколько мест в последних 4 рядах?

Последние ряды — с 20-го по 23-й: $a_{20} = 21 + 19 \cdot 4 = 97$ , $a_{23} = 21 + 22 \cdot 4 = 109$ .
$S = \frac{97 + 109}{2} \cdot 4 = 412$ .

Номер ряда и число шагов — разные вещи: от 1-го до 20-го ряда $19$ шагов, поэтому $a_{20} = a_{1} + 19 d$ . Если неизвестно число членов, получится квадратное уравнение на $n$ — берут натуральный корень.

Положительные члены и наибольшая сумма

У убывающей арифметической прогрессии ( $d < 0$ ) члены сначала положительны, потом становятся отрицательными. Сумма $S_{n}$ растёт, пока прибавляют положительные члены, — значит, наибольшая сумма — сумма всех положительных членов.

$a_{1} = 12$ , $d = - \frac{4}{3}$ . Сколько положительных членов и какова наибольшая сумма?

$a_{n} = 12 - \frac{4}{3} (n - 1) > 0 ⟺ n - 1 < 9 ⟺ n < 10$ : положительны $a_{1}, \dots, a_{9}$ , а $a_{10} = 0$ .
$S_{9} = \frac{a _{1} + a _{9}}{2} \cdot 9 = \frac{12 + \frac{4}{3}}{2} \cdot 9 = 60$ (прибавление $a_{10} = 0$ сумму не меняет).

Номер первого неположительного члена — наименьшее натуральное $n$ с $a_{n} \leq 0$ . При $a_{1} = 37, 5$ , $d = - 2$ : $37, 5 - 2 (n - 1) \leq 0 ⟺ n \geq 19, 75$ , ответ $n = 20$ .

Какая это последовательность?

Проверка	Вывод
$a_{n + 1} - a_{n}$ одно и то же число $d$	арифметическая, разность $d$ (формула вида $a_{n} = kn + b$ )
$a_{n + 1} : a_{n}$ одно и то же число $q$	геометрическая, знаменатель $q$ (формула вида $a_{n} = c \cdot q^{n}$ )

$a_{n} = - 3^{n}$ : $a_{n + 1} : a_{n} = \frac{- 3 ^{n + 1}}{- 3 ^{n}} = 3$ — геометрическая прогрессия с $q = 3$ .

Между 1 и 243 вставьте 4 числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия из положительных чисел. Сумма вставленных?

Всего 6 членов: $b_{6} = b_{1} q^{5}$ , $243 = q^{5}$ , $q = 3$ .
Вставлены $3, 9, 27, 81$ , сумма $120$ .

Сумма бесконечно убывающей прогрессии 15, сумма квадратов её членов 150. Найдите $b_{1}$ .

$\frac{b _{1}}{1 - q} = 15$ , $\frac{b _{1}^{2}}{1 - q ^{2}} = 150$ . Делим второе на первое: $\frac{b _{1}}{1 + q} = 10$ .
$b_{1} = 15 (1 - q) = 10 (1 + q)$ , $q = \frac{1}{5}$ , $b_{1} = 12$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Прогрессии

Серия: 0

Геометрическая прогрессия

Простыми словами

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Бесконечно убывающая прогрессия

Смешанные и прикладные задачи

Положительные члены и наибольшая сумма

Какая это последовательность?

Примеры заданий