Три остановки D, E и F не лежат на одной прямой. Где поставить вышку связи, чтобы расстояния от неё до каждой из них были одинаковыми? Варианты: в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; в точке пересечения высот треугольника (или их продолжений); в точке пересечения медиан треугольника; в точке пересечения биссектрис треугольника.

в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника

Тема 09 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники» · подтема 5 из 7

Четыре замечательные точки треугольника

Применение подобия к решению задач. 103 задания.

Родителю: как помочь с темой «Четыре замечательные точки треугольника»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Подобие — универсальный инструмент: стоит найти два подобных треугольника, и неизвестный отрезок находится из пропорции. Так измеряют высоту дерева по тени, не залезая на него.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: если $M, N$ — середины $A B$ и $A C$ , то $MN ∥ BC$ , $MN = \frac{BC}{2}$ .

$△ A MN \sim △ A BC$ с $k = \frac{1}{2}$ : периметр меньше в $2$ раза, площадь — в $4$ раза. Три средние линии делят треугольник на $4$ равных треугольника.

$BC = 17$ ⇒ $MN = 8, 5$ . Стороны $9$ , $10$ , $11$ ⇒ $P_{A MN} = \frac{30}{2} = 15$ . $S_{A BC} = 132$ ⇒ $S_{A MN} = \frac{132}{4} = 33$ .

Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма, периметр которого равен сумме диагоналей четырёхугольника.

Медианы

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр масс, центроид), которая делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины: $A O = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $O A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$ .

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 24$ , $BC = 18$ , $O$ — точка пересечения медиан, $M$ — середина $A B$ . Найти $OM$ .

$A B = 2 4^{2} + 1 8^{2} www.reknow.ru = 30$ , медиана $CM = 15$ .
$OM = \frac{1}{3} CM = 5$ .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота

C H

делит треугольник на два, подобных исходному

Отрезок $X Y$ — среднее пропорциональное между $A B$ и $C D$ , если $X Y^{2} = A B \cdot C D$ .

C H^{2} = A H \cdot H B, A C^{2} = A B \cdot A H, B C^{2} = A B \cdot H B

высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы; катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции

$A B = 145$ , $A H = 81$ : $H B = 64$ , $C H = 81 \cdot 64 www.reknow.ru = 72$ .

$BC = 24$ , $A C = 32$ . Найти проекцию $A H$ .

$A B = 3 2^{2} + 2 4^{2} www.reknow.ru = 40$ .
$A H = \frac{A C ^{2}}{A B} = \frac{1024}{40} = 25, 6$ .

Проекция катета $A C$ — отрезок $A H$ , прилежащий к этому же катету, а не $H B$ .

Измерительные работы

Высоту предмета находят по тени (тени пропорциональны высотам), с помощью зеркала (угол падения равен углу отражения) или шеста; расстояние до недоступной точки — построением подобного треугольника. Всегда составляют пропорцию сходственных сторон.

Короткое плечо шлагбаума $1$ м, его конец опустился на $0, 2$ м, а конец длинного поднялся на $0, 7$ м. Найти длинное плечо.

Треугольники подобны (вертикальные углы у оси, прямые углы): $\frac{x}{1} = \frac{0 , 7}{0 , 2}$ .
$x = 3, 5$ м.