Тема 09 · Геометрия · Глава VIII «Подобные треугольники» · подтема 2 из 7

Медианы треугольника и центр масс

Применение подобия к решению задач. 101 задание.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Подобие — универсальный инструмент: стоит найти два подобных треугольника, и неизвестный отрезок находится из пропорции. Так измеряют высоту дерева по тени, не залезая на него.

Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон. Она параллельна третьей стороне и равна её половине: если $M, N$ — середины $A B$ и $A C$ , то $MN ∥ BC$ , $MN = \frac{BC}{2}$ .

$△ A MN \sim △ A BC$ с $k = \frac{1}{2}$ : периметр меньше в $2$ раза, площадь — в $4$ раза. Три средние линии делят треугольник на $4$ равных треугольника.

$BC = 17$ ⇒ $MN = 8, 5$ . Стороны $9$ , $10$ , $11$ ⇒ $P_{A MN} = \frac{30}{2} = 15$ . $S_{A BC} = 132$ ⇒ $S_{A MN} = \frac{132}{4} = 33$ .

Середины сторон любого четырёхугольника — вершины параллелограмма, периметр которого равен сумме диагоналей четырёхугольника.

Медианы

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центр масс, центроид), которая делит каждую медиану в отношении $2 : 1$ , считая от вершины: $A O = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $O A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$ .

В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы.

$∠ C = 9 0^{\circ}$ , $A C = 24$ , $BC = 18$ , $O$ — точка пересечения медиан, $M$ — середина $A B$ . Найти $OM$ .

$A B = 2 4^{2} + 1 8^{2} www.reknow.ru = 30$ , медиана $CM = 15$ .
$OM = \frac{1}{3} CM = 5$ .

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Высота

C H

делит треугольник на два, подобных исходному

Отрезок $X Y$ — среднее пропорциональное между $A B$ и $C D$ , если $X Y^{2} = A B \cdot C D$ .

C H^{2} = A H \cdot H B, A C^{2} = A B \cdot A H, B C^{2} = A B \cdot H B

высота — среднее пропорциональное отрезков гипотенузы; катет — среднее пропорциональное гипотенузы и своей проекции

$A B = 145$ , $A H = 81$ : $H B = 64$ , $C H = 81 \cdot 64 www.reknow.ru = 72$ .

$BC = 24$ , $A C = 32$ . Найти проекцию $A H$ .

$A B = 3 2^{2} + 2 4^{2} www.reknow.ru = 40$ .
$A H = \frac{A C ^{2}}{A B} = \frac{1024}{40} = 25, 6$ .

Проекция катета $A C$ — отрезок $A H$ , прилежащий к этому же катету, а не $H B$ .

Измерительные работы

Высоту предмета находят по тени (тени пропорциональны высотам), с помощью зеркала (угол падения равен углу отражения) или шеста; расстояние до недоступной точки — построением подобного треугольника. Всегда составляют пропорцию сходственных сторон.

Короткое плечо шлагбаума $1$ м, его конец опустился на $0, 2$ м, а конец длинного поднялся на $0, 7$ м. Найти длинное плечо.

Треугольники подобны (вертикальные углы у оси, прямые углы): $\frac{x}{1} = \frac{0 , 7}{0 , 2}$ .
$x = 3, 5$ м.

Четыре замечательные точки

Пересекаются в одной точке	Свойство точки
биссектрисы	равноудалена от сторон (центр вписанной окружности)
серединные перпендикуляры к сторонам	равноудалена от вершин (центр описанной окружности)
высоты (или их продолжения)	ортоцентр
медианы	делит каждую в отношении $2 : 1$ от вершины

Серединный перпендикуляр к отрезку — множество точек, равноудалённых от концов отрезка. Каждая точка биссектрисы неразвёрнутого угла равноудалена от его сторон.

«Биссектриса — от сторон, серединный перпендикуляр — от вершин»: биссектриса делит угол между сторонами, перпендикуляр — отрезок между вершинами.

Фонарь, тень, зеркало, река

Фонарь на высоте $6$ м, человек ростом $2$ м стоит в $3$ м от столба. Длина тени $x$ ?

Треугольники «столб — конец тени» и «человек — конец тени» подобны (общий угол, прямые углы).
$\frac{6}{2} = \frac{3 + x}{x}$ ⇒ $6 x = 6 + 2 x$ ⇒ $x = 1, 5$ м.

Тени в один момент пропорциональны высотам: рост $2$ м — тень $2, 5$ м, флагшток — тень $15$ м ⇒ высота $2 \cdot \frac{15}{2 , 5} = 12$ м.
Зеркальце на земле: угол падения равен углу отражения, треугольники «глаза — зеркало» и «вершина — зеркало» подобны: $\frac{H}{h} = \frac{от зеркала до предмета}{от зеркала до человека}$ . Измеряют рост до глаз и оба расстояния.
Ширина реки: $△ A BO \sim △ E D O$ (вертикальные углы при $O$ и прямые углы), $\frac{A B}{E D} = \frac{BO}{O D}$ .
Шлагбаум: подъём концов пропорционален длинам плеч. Короткое $1, 5$ м опустилось на $0, 5$ м, длинное $4, 5$ м поднимется на $1, 5$ м.
Фотография: отношение высот на снимке равно отношению настоящих высот.
Средняя линия на местности: если $M$ , $N$ — середины $C A$ и $CB$ , то $A B = 2 MN$ — достаточно измерить $MN$ .

Медианы, биссектрисы и высоты: числа

Медианы делятся $2 : 1$ : $A O = \frac{2}{3} A A_{1}$ , $O A_{1} = \frac{1}{3} A A_{1}$ , $A O = 2 \cdot O A_{1}$ . Если $A O = 4 x - 14$ , $O A_{1} = x + 4$ , то $4 x - 14 = 2 (x + 4)$ , $x = 11$ , $A A_{1} = 3 \cdot 15 = 45$ .
Медианы делят треугольник на 6 равновеликих частей: $S_{A OB} = \frac{1}{3} S_{A BC}$ , $S_{A O B_{1}} = \frac{1}{6} S_{A BC}$ .
В прямоугольном треугольнике точка пересечения медиан удалена от вершины прямого угла на $\frac{2}{3}$ медианы к гипотенузе, то есть на $\frac{c}{3}$ ( $78 : 3 = 26$ ).
Биссектрисы углов $A$ и $B$ : $∠ A OB = 9 0^{\circ} + \frac{∠ C}{2}$ . Точка пересечения биссектрис удалена от всех сторон на $r = \frac{2 S}{P}$ (стороны $13, 24, 13$ , $S = 60$ : $r = \frac{120}{50} = 2, 4$ ). Точка на биссектрисе угла равноудалена от его сторон.
Высоты остроугольного треугольника: $∠ A H B = 18 0^{\circ} - ∠ C$ .
Серединный перпендикуляр к $A B$ пересекает $A C$ в $D$ : $D A = D B$ , поэтому $∠ A B D = ∠ B A C$ . Аналогично периметр $△ A B D$ при перпендикуляре к $A C$ равен $A B + BC$ .
В равностороннем треугольнике все замечательные точки совпадают; центр делит высоту $2 : 1$ , до вершины $\frac{2}{3} h$ ( $63 \to 42$ ).
Центр описанной окружности прямоугольного треугольника — середина гипотенузы: катеты $25$ и $60$ , гипотенуза $65$ , $R = 32, 5$ .
Средняя линия отсекает четверть площади, поэтому трапеция под ней — $\frac{3}{4}$ треугольника: $99 = \frac{3}{4} S$ ⇒ $S = 132$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Подобие треугольников Средняя линия треугольника

Серия: 0