Тема 08 · Алгебра, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Движение по реке

Текстовые задачи повышенной сложности. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Текстовая задача — это рассказ, в котором спрятано уравнение. Его находят так: какая-то величина (время, площадь, работа) посчитана в условии двумя способами — приравниваем их. В задачах повышенной сложности неизвестное часто оказывается в знаменателе, и после упрощения выходит квадратное уравнение.

Обозначить за $x$ величину, которую просят найти (или удобную для записи).
Выразить через $x$ остальные: «на $d$ больше» — $x + d$ , «в $k$ раз быстрее» — $k x$ .
Найти величину, известную двумя способами, и составить уравнение.
Решить и отобрать корень по смыслу.

Движение по участкам

S = v t, t = \frac{S}{v}, t = \frac{S _{1}}{v _{1}} + \frac{S _{2}}{v _{2}}

S

— путь (км),

v

— скорость (км/ч),

t

— время (ч); время на участках складывается

Первые 105 км автомобиль ехал с некоторой скоростью, следующие 133 км — на 8 км/ч быстрее. На весь путь ушло 7 ч. Найдите скорость на первом участке.

$x$ км/ч — первая скорость, $x + 8$ — вторая.
Время: $\frac{105}{x} + \frac{133}{x + 8} = 7$ .
$\cdot x (x + 8)$ : $105 (x + 8) + 133 x = 7 x (x + 8)$ , $7 x^{2} - 182 x - 840 = 0$ , $x^{2} - 26 x - 120 = 0$ .
$x = 30$ или $x = - 4$ . Скорость положительна: 30 км/ч.

Поезд должен пройти 360 км. На половине пути он задержался на 24 мин и, чтобы прибыть вовремя, увеличил скорость на 5 км/ч. Найдите первоначальную скорость.

Минуты — в часы: $24 мин = 0, 4$ ч.
Вторые 180 км по плану ехал бы $\frac{180}{x}$ ч, на деле — $\frac{180}{x + 5}$ ч, и разница — задержка: $\frac{180}{x} - \frac{180}{x + 5} = 0, 4$ .
$180 \cdot 5 = 0, 4 x (x + 5)$ , $x^{2} + 5 x - 2250 = 0$ , $x = 45$ (второй корень $- 50$ не подходит).

Единицы должны совпадать: если скорость в км/ч, время — в часах. 24 мин $= \frac{24}{60} = 0, 4$ ч, а не $0, 24$ .

Движение по реке

v

— собственная скорость лодки,

u

— скорость течения

По течению

v + u

Против течения

v - u

Плот

u

— плывёт со скоростью течения

Лодка прошла 72 км по течению и 72 км против, затратив 15 ч. Собственная скорость 10 км/ч. Найдите скорость течения.

$\frac{72}{10 + u} + \frac{72}{10 - u} = 15$ .
$72 (10 - u) + 72 (10 + u) = 15 (100 - u^{2})$ , $1440 = 1500 - 15 u^{2}$ , $u^{2} = 4$ .
$u = 2$ км/ч ( $u = - 2$ не подходит).

Катер: 28 км по течению и 12 км против за 5 ч, течение 5 км/ч. $\frac{28}{v + 5} + \frac{12}{v - 5} = 5$ $\Rightarrow$ $5 v^{2} - 40 v - 45 = 0$ , $v^{2} - 8 v - 9 = 0$ , $v = 9$ км/ч.

Обязательно $v > u$ , иначе лодка не пойдёт против течения. Это условие часто и отсеивает лишний корень.

Совместная работа

Всю работу принимают за $1$ . Производительность — часть работы за единицу времени: кто делает работу за $x$ дней, за день делает $\frac{1}{x}$ её часть.

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{t}

x

y

— время каждого в одиночку,

t

— время совместной работы

Один рабочий выполняет заказ на 9 дней дольше другого, вместе — за 6 дней. За сколько дней выполнит заказ более медленный?

Быстрый — $x$ дней, медленный — $x + 9$ .
$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 9} = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow$ $6 (2 x + 9) = x (x + 9)$ , $x^{2} - 3 x - 54 = 0$ .
$x = 9$ ( $x = - 6$ не подходит). Медленный: $9 + 9 = 18$ дней.

Складываются производительности, а не времена: двое за 9 и 18 дней вместе работают не 27 дней, а 6.

Площади, числа и отбор корней

Один катет на 147 см больше другого, гипотенуза 183 см. Найдите меньший катет.

По теореме Пифагора: $x^{2} + (x + 147)^{2} = 18 3^{2}$ .
$2 x^{2} + 294 x + 21609 = 33489$ , $x^{2} + 147 x - 5940 = 0$ .
$D = 14 7^{2} + 4 \cdot 5940 = 45369 = 21 3^{2}$ , $x = \frac{- 147 + 213}{2} = 33$ см.

Сторону квадрата увеличили на 2, другую уменьшили на 10, площадь стала 925 см². $(a + 2) (a - 10) = 925$ , $a^{2} - 8 a - 945 = 0$ , $a = 35$ см.

Сумма двух чисел 34, произведение 208. По Виета это корни $t^{2} - 34 t + 208 = 0$ : $26$ и $8$ . Большее — 26. Два последовательных натуральных числа с произведением 600: $n (n + 1) = 600$ , $n = 24$ , большее — 25.

Величина	Условие отбора
скорость, время, длина, площадь	строго положительны
скорость течения	меньше собственной скорости
натуральное число, количество	целое и положительное

Если по смыслу подходят оба корня (два числа, стороны прямоугольника), в ответ идёт то, о чём спрашивают: «большее», «меньший катет», «медленный рабочий».

Работа: части и «в k раз быстрее»

Первый рабочий делает работу за 15 дней, второй — за 18. Они работали вместе 5 дней, потом первый ушёл. За сколько дней второй закончил работу?

Вместе за день: $\frac{1}{15} + \frac{1}{18} = \frac{6 + 5}{90} = \frac{11}{90}$ . За 5 дней: $\frac{55}{90} = \frac{11}{18}$ работы.
Осталось $1 - \frac{11}{18} = \frac{7}{18}$ . Второй делает $\frac{1}{18}$ в день: $\frac{7}{18} : \frac{1}{18} = 7$ дней.

Первый экскаватор работает в 2 раза быстрее второго, вместе они роют котлован за 30 ч. За сколько часов справится один первый?

Первый — за $x$ ч, второй (вдвое медленнее) — за $2 x$ ч.
$\frac{1}{x} + \frac{1}{2 x} = \frac{1}{30}$ , $\frac{3}{2 x} = \frac{1}{30}$ , $2 x = 90$ , $x = 45$ ч.

Трубы вместе наполняют бассейн за 6 ч, первая — на 5 ч быстрее второй: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}$ $\Rightarrow$ $x^{2} - 7 x - 30 = 0$ , $x = 10$ ч.

«В $k$ раз быстрее» — значит, времени нужно в $k$ раз меньше, а производительность в $k$ раз больше.

Река, площади и числа: ещё сюжеты

Лодка прошла 80 км по течению на 1 ч быстрее, чем против течения. Собственная скорость 18 км/ч. Найдите скорость течения.

Против течения дольше: $\frac{80}{18 - u} - \frac{80}{18 + u} = 1$ .
$80 (18 + u) - 80 (18 - u) = 324 - u^{2}$ , $160 u = 324 - u^{2}$ , $u^{2} + 160 u - 324 = 0$ .
$D = 16 0^{2} + 4 \cdot 324 = 26896 = 16 4^{2}$ , $u = \frac{- 160 + 164}{2} = 2$ км/ч.

Если дано «плот проплывает 32 км за 8 ч», то скорость течения $u = 32 : 8 = 4$ км/ч — плот движется со скоростью течения.

Периметр прямоугольника 58 см, площадь 204 см². Полупериметр 29 — сумма сторон: $x (29 - x) = 204$ , $x^{2} - 29 x + 204 = 0$ , стороны $17$ и $12$ см.

Стороны относятся как $4 : 9$ , площадь 2304 см². Стороны $4 k$ и $9 k$ : $36 k^{2} = 2304$ , $k = 8$ ; стороны 32 и 72 см, периметр $208$ см.

Сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел 313: $n^{2} + (n + 1)^{2} = 313$ , $n^{2} + n - 156 = 0$ , $n = 12$ . Последовательные чётные числа записывают как $n$ и $n + 2$ .

Квадрат натурального числа на 56 больше самого числа: $n^{2} - n = 56$ , $n^{2} - n - 56 = 0$ , $n = 8$ ( $n = - 7$ не натуральное).

Посмотреть и посчитать

Модели

Задачи на движение Относительность движения: лодка и река

Серия: 0

Движение по реке

Простыми словами

Движение по участкам

Движение по реке

Совместная работа

Площади, числа и отбор корней

Работа: части и «в k раз быстрее»

Река, площади и числа: ещё сюжеты

Примеры заданий