Тема 5 · Алгебра · подтема 3 из 5

Разность квадратов

Формулы сокращённого умножения. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Чтобы раскрыть $(x + 90)^{2}$ , можно честно умножить $(x + 90) (x + 90)$ — четыре произведения. А можно сразу написать ответ по формуле. Формулы сокращённого умножения — готовые результаты частых умножений.

Площадь квадрата

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Квадрат суммы и квадрат разности

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

квадрат первого + удвоенное произведение первого на второе + квадрат второго

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

то же, но удвоенное произведение со знаком минус;

b^{2}

всегда с плюсом

$(x + 90)^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 90 + 9 0^{2} = x^{2} + 180 x + 8100$ .
$(x + 28)^{2} = x^{2} + 56 x + 784$ .
$(x - 115)^{2} = x^{2} - 230 x + 13225$ ; $(x - 48)^{2} = x^{2} - 96 x + 2304$ .

$(a + b)^{2} \neq = a^{2} + b^{2}$ ! Забытое удвоенное произведение — самая частая ошибка. Проверка числами: $(1 + 2)^{2} = 9$ , а $1^{2} + 2^{2} = 5$ .

Разность квадратов

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов

$(x - 115) (x + 115) = x^{2} - 11 5^{2} = x^{2} - 13225$ .
Обратно: $x^{2} - 16641$ . Так как $16641 = 12 9^{2}$ , получаем $(x - 129) (x + 129)$ .

Полезно помнить квадраты: $1 1^{2} = 121, 1 2^{2} = 144, 1 3^{2} = 169, 1 4^{2} = 196, 1 5^{2} = 225, 2 5^{2} = 625$ . Квадрат числа, оканчивающегося на 5: $n 5^{2}$ — это $n (n + 1)$ и приписать 25: $3 5^{2} = 1225$ .

Разложение на множители

Формулы читают и справа налево: трёхчлен вида $a^{2} \pm 2 ab + b^{2}$ — это полный квадрат.

Разложите $x^{2} + 72 x + 1296$ .

Крайние члены — квадраты: $x^{2}$ и $1296 = 3 6^{2}$ .
Проверяем средний: $2 \cdot x \cdot 36 = 72 x$ ✓.
Ответ: $(x + 36)^{2}$ . Так же $x^{2} + 2 x + 1 = (x + 1)^{2}$ .

Обязательно проверяйте средний член: $x^{2} + 10 x + 36$ — не полный квадрат ( $2 \cdot x \cdot 6 = 12 x \neq = 10 x$ ).

Сумма и разность кубов

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}), a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

во второй скобке — «неполный квадрат»:

ab

без двойки и с противоположным знаком

Например, $x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ , $x^{3} + 27 = (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$ .

Быстрый счёт

Число около «круглого» записывают как сумму или разность и применяют формулу.

$10 1^{2} = (100 + 1)^{2} = 10000 + 200 + 1 = 10201$ .
$7 1^{2} = (70 + 1)^{2} = 4900 + 140 + 1 = 5041$ .
$5 1^{2} = (50 + 1)^{2} = 2500 + 100 + 1 = 2601$ ; $9 9^{2} = (100 - 1)^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$ .
$49 \cdot 51 = (50 - 1) (50 + 1) = 2500 - 1 = 2499$ .

Посмотреть и посчитать

Модели

Квадрат суммы

Серия: 0

Разность квадратов

Простыми словами

Квадрат суммы и квадрат разности

Разность квадратов

Разложение на множители

Сумма и разность кубов

Быстрый счёт

Примеры заданий