Тема 02 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 3 из 5

Расстояние от точки до плоскости

Перпендикулярность и расстояния. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Расстояние — всегда длина перпендикуляра, самый короткий путь. Фонарный столб стоит перпендикулярно земле, и его высота — расстояние от лампы до земли. Задача — найти, где этот перпендикуляр, и уложить его в прямоугольный треугольник.

S A ⊥ α

A H ⊥ BC

⇒

S H ⊥ BC

, и

S H

— расстояние от

S

до

BC

Теорема о трёх перпендикулярах

Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции тогда и только тогда, когда она перпендикулярна самой наклонной.

S H = S A^{2} + A H^{2} www.reknow.ru A H = \frac{2 S _{A BC}}{BC}

S A

— перпендикуляр к плоскости,

A H

— высота треугольника основания

$A BC D$ — прямоугольник, $S A ⊥ (A BC D)$ , $A D = 9$ , $S A = 9$ : $A D ⊥ C D$ ⇒ $S D ⊥ C D$ , расстояние $S D = 81 + 81 www.reknow.ru = 9 2 www.reknow.ru$ .
$A B = 6$ , $A C = BC = 5$ , $S A = 2$ : $S_{A BC} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$ , $A H = \frac{24}{5} = 4, 8$ , $S H = 4 + 23, 04 www.reknow.ru = 5, 2$ .

Расстояние от точки до прямой и до плоскости

Если точка и прямая лежат в одном треугольнике, расстояние — его высота: $h = \frac{2 S}{сторона}$ ; в прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе $h = \frac{ab}{c}$ .

Правильная четырёхугольная пирамида, $a = 42$ , $l = 35$ ; расстояние от $B$ до $S A$ . Апофема $3 5^{2} - 2 1^{2} www.reknow.ru = 28$ , $S_{S A B} = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 28 = 588$ , расстояние $= \frac{2 \cdot 588}{35} = 33, 6$ .

До плоскости: через точку проводим плоскость, перпендикулярную данной, и опускаем высоту на линию их пересечения.

\frac{1}{ρ ^{2}} = \frac{1}{a ^{2}} + \frac{1}{b ^{2}} + \frac{1}{c ^{2}} OP = \frac{h r}{m}

от вершины

C

прямоугольного параллелепипеда до плоскости

B D C_{1}

через соседние вершины; от центра основания правильной пирамиды до боковой грани (

m

— апофема)

$32$ , $40$ , $30$ : $\frac{1}{ρ ^{2}} = \frac{1}{1024} + \frac{1}{1600} + \frac{1}{900}$ , $ρ = 19, 2$ .
Правильная треугольная, $a = 54 3 www.reknow.ru$ , $h = 36$ : $r = \frac{a 3 www.reknow.ru}{6} = 27$ , $m = 3 6^{2} + 2 7^{2} www.reknow.ru = 45$ , $OP = \frac{36 \cdot 27}{45} = 21, 6$ .

Если прямая параллельна плоскости, все её точки на одном расстоянии от плоскости — можно выбрать самую удобную точку.

Скрещивающиеся прямые

Расстояние между скрещивающимися прямыми — длина их общего перпендикуляра.

В параллельных плоскостяхрасстояние между плоскостями

Плоскость через $a$ , $∥ b$ расстояние от любой точки

b

до этой плоскости

$a ⊥ α$ , $b \subset α$ перпендикуляр из точки пересечения

a

α

на

b

$B_{1} D_{1}$ и $A C$ лежат в параллельных гранях: расстояние $= A A_{1}$ . $2 9^{2} = 2 1^{2} + 1 2^{2} + A A_{1}^{2}$ , $A A_{1} = 16$ .
$B B_{1}$ и $A_{1} D$ : грань $A A_{1} D_{1} D$ содержит $A_{1} D$ и параллельна $B B_{1}$ , расстояние $= A B$ . $5 7^{2} = 2 8^{2} + 4 4^{2} + A B^{2}$ , $A B = 23$ .

Точка, равноудалённая от вершин или сторон

От вершинпроекция — центр описанной окружности:

L^{2} = d^{2} + R^{2}

От сторонпроекция — центр вписанной окружности:

ρ^{2} = d^{2} + r^{2}

Здесь $d$ — расстояние до плоскости. Формулы: $R = \frac{ab c}{4 S}$ , $r = \frac{S}{p}$ ; в прямоугольном треугольнике $R = \frac{c}{2}$ , $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

$A B = A C = 10$ , $BC = 12$ , $L = 16, 25$ : $S = 48$ , $R = \frac{10 \cdot 10 \cdot 12}{4 \cdot 48} = 6, 25$ , $d = 16, 2 5^{2} - 6, 2 5^{2} www.reknow.ru = 15$ .
Катеты 18 и 24, $L = 39$ : $c = 30$ , $R = 15$ , $d = 3 9^{2} - 1 5^{2} www.reknow.ru = 36$ .

Наклонная длиннее перпендикуляра. Если ответ «расстояние» получился больше наклонной — ошибка в построении.

Ещё приёмы

Расстояние от $A_{1}$ до прямой $B D$ ( $A B = 10$ , $A D = 5$ , $A A_{1} = 4$ ). В основании $A H ⊥ B D$ : $A H = \frac{A B \cdot A D}{B D} = \frac{50}{125 www.reknow.ru} = 2 5 www.reknow.ru$ . По теореме о трёх перпендикулярах $A_{1} H ⊥ B D$ : $A_{1} H = 16 + 20 www.reknow.ru = 6$ .

Правильная четырёхугольная пирамида, $A C = 12$ , $SO = 8$ ; расстояние между $S A$ и $B D$ . Диагональ $B D ⊥ A C$ и $B D ⊥ SO$ , значит $B D ⊥ (S A C)$ и пересекает её в $O$ . Искомое — перпендикуляр из $O$ на $S A$ в треугольнике $SO A$ : $\frac{O A \cdot SO}{S A} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4, 8$ . Так же $A A_{1}$ и $B D$ : $A A_{1} ⊥ (A BC D)$ , расстояние — высота $△ A B D$ из $A$ .

Точку можно заменить любой точкой прямой, параллельной плоскости. $A D ∥ (SBC)$ , поэтому расстояние от $A$ до $(SBC)$ равно расстоянию от середины $K$ ребра $A D$ ; а оно вдвое больше расстояния от $O$ (середины $K M$ , где $M$ — середина $BC$ ). Точка $M$ на $A A_{1}$ и плоскость $B B_{1} D_{1} D$ : $A A_{1} ∥ B B_{1}$ , расстояние равно высоте $△ A B D$ из $A$ , $\frac{30 \cdot 40}{50} = 24$ .

Серия: 0