Навык · Алгебра, 10 класс

Простейшее логарифмическое уравнение logₐx = b

Как решить логарифмическое уравнение по определению и не забыть проверку.

Правило за 30 секундУравнение logₐf(x) = b равносильно f(x) = aᵇ при условии f(x) > 0. Если справа тоже логарифм, logₐf(x) = logₐg(x) даёт f(x) = g(x) при f(x) > 0 и g(x) > 0. Найденные корни проверяйте по области определения.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Уравнение $lo g_{5} x = 4$ спрашивает: какое число получится, если 5 возвести в 4-ю степень? Ответ: $x = 5^{4} = 625$ . Простейшее логарифмическое уравнение решается прямо по определению логарифма.

lo g_{a} f (x) = b ⟺ f (x) = a^{b}

a

— основание (

a > 0

a \neq = 1

b

— любое число; условие

f (x) > 0

выполняется само, ведь

a^{b} > 0

lo g_{2} x = 2

: горизонтальная прямая пересекает график ровно в одной точке

x = 2^{2} = 4

Практика ›закрепить задачами по теме

Разбор заданий

$lo g_{5} x = 4$

По определению $x = 5^{4} = 625$ .

$lo g_{7} x = - 2$

$x = 7^{- 2} = \frac{1}{49} \approx 0, 0204$ .
Отрицательный логарифм — нормально: $x$ получился положительным, меньше 1.

$lo g_{3} (2 x - 1) = 2$

$2 x - 1 = 3^{2} = 9$ , $x = 5$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Логарифм равен логарифму

lo g_{a} f (x) = lo g_{a} g (x) ⟺ f (x) = g (x), f (x) > 0, g (x) > 0

приравниваем аргументы, затем проверяем, что оба положительны

Ошибка: решая $lo g_{2} (x - 3) = lo g_{2} (2 x - 1)$ , получают $x - 3 = 2 x - 1$ , $x = - 2$ и пишут его в ответ. Но при $x = - 2$ выражение $x - 3 = - 5$ отрицательно — логарифм не определён. Корней нет.

Найденные корни всегда подставляйте в выражения под логарифмами: каждое должно быть строго больше нуля.

Навык — часть темы «Логарифмы: свойства и простейшие уравнения». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 10 класс ›

Серия: 0

Простейшее логарифмическое уравнение logₐx = b

Простыми словами

Разбор заданий

Логарифм равен логарифму

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю