Навык · Алгебра, 10 класс

Определение логарифма: что такое logₐb

Логарифм — это показатель степени. Как вычислять простые логарифмы устно.

Правило за 30 секундlogₐb — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: a^(logₐb) = b. Определён при a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Например, log₂8 = 3, потому что 2³ = 8.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

$lo g_{a} b$ — это ответ на вопрос «в какую степень надо возвести $a$ , чтобы получилось $b$ ?». $lo g_{2} 8 = 3$ , потому что $2^{3} = 8$ . Логарифм — это показатель степени, «спрятанный» в число.

lo g_{a} b = k ⟺ a^{k} = b

a

— основание (

a > 0

a \neq = 1

b

— число под логарифмом (

b > 0

k

— показатель

Отсюда основное тождество: $a^{l o g_{a} b} = b$ . Всегда $lo g_{a} 1 = 0$ (так как $a^{0} = 1$ ) и $lo g_{a} a = 1$ .

Логарифм по основанию 2 переводит число нижней шкалы в показатель на верхней

Практика ›закрепить задачами по теме

Как вычислять устно

Представить число под логарифмом как степень основания.
Показатель этой степени и есть ответ.

Логарифм	Степень	Ответ
$lo g_{4} 16$	$4^{2} = 16$	$2$
$lo g_{10} 0, 0001$	$1 0^{- 4} = 0, 0001$	$- 4$
$lo g_{3} \frac{1}{9}$	$3^{- 2} = \frac{1}{9}$	$- 2$
$lo g_{9} 3$	$9^{1/2} = 3$	$\frac{1}{2}$

Дробь вида $\frac{1}{a ^{n}}$ — это $a^{- n}$ , корень $a$ — это $a^{1/2}$ . Десятичная дробь $0, 0 \dots 01$ с $n$ знаками после запятой равна $1 0^{- n}$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Типичные ошибки

$lo g_{3} \frac{1}{9} = - \frac{1}{2}$ — неверно. Спросим: 3 в какой степени даёт $\frac{1}{9}$ ? $3^{- 2} = \frac{1}{9}$ , значит $lo g_{3} \frac{1}{9} = - 2$ .

« $lo g_{2} 0 = 0$ » — неверно. Логарифм нуля не определён: ни одна степень двойки не равна 0. А вот $lo g_{2} 1 = 0$ .

Навык — часть темы «Логарифмы: свойства и простейшие уравнения». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 10 класс ›

Серия: 0

Определение логарифма: что такое logₐb

Простыми словами

Как вычислять устно

Типичные ошибки

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю