Тема 7 · Астрономия

Системы мира. Законы Кеплера

Геоцентрическая и гелиоцентрическая системы, три закона Кеплера, конфигурации планет. 100 заданий на отработку.

Родителю: как помочь с темой «Системы мира. Законы Кеплера»

В теме 6 подтем: Третий закон Кеплера, Эллиптическая орбита, Синодический период, Второй закон Кеплера, Конфигурации планет, Системы мира и законы Кеплера.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Законы Кеплера — интерактивная модельвытяните орбиту и смотрите, как планета разгоняется у Солнца и заметает равные площадиОткрыть →Внутренние планеты: кто ближе к Земле — интерактивная модельускорьте время и следите, чьё среднее расстояние до Земли окажется меньшеОткрыть →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

С Земли кажется, что всё вращается вокруг нас. Так и думали почти полторы тысячи лет. Но планеты иногда «пятятся» назад на фоне звёзд — объяснить это просто удалось, только поставив в центр Солнце. А Кеплер выяснил, что планеты ходят не по кругам, а по эллипсам, и вывел точные законы их движения.

Геоцентрическая системаКлавдий Птолемей (II в., «Альмагест»): в центре — Земля. Попятное движение планет объяснял эпициклами (малыми окружностями планет) и деферентами (большими окружностями, по которым движутся центры эпициклов).

Гелиоцентрическая системаНиколай Коперник («О вращениях небесных сфер», 1543): в центре — Солнце, Земля — одна из планет и вращается вокруг оси.

Галилео Галилей открыл фазы Венеры и спутники Юпитера — это подтвердило систему Коперника. Тихо Браге провёл точнейшие наблюдения, Иоганн Кеплер вывел из них законы движения планет, а Исаак Ньютон объяснил их законом всемирного тяготения.

Первый и второй законы Кеплера

Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Радиус-вектор планеты (отрезок Солнце — планета) за равные промежутки времени описывает равные площади. Поэтому вблизи перигелия планета движется быстрее, вблизи афелия — медленнее.

Закрашенные площади равны: у перигелия планета проходит длинную дугу, у афелия — короткую за то же время

Параметры эллипса: $a$ — большая полуось (среднее расстояние до Солнца), $q$ — перигелийное расстояние (наименьшее), $Q$ — афелийное (наибольшее), $e$ — эксцентриситет (мера вытянутости, $0 \leq e < 1$ ; у окружности $e = 0$ ).

a = \frac{q + Q}{2}, q = a (1 - e), Q = a (1 + e), e = \frac{Q - q}{Q + q}

связь параметров эллиптической орбиты

$q = 6, 2$ а. е., $Q = 17, 3$ а. е. Найдите $a$ .

$a = \frac{6 , 2 + 17 , 3}{2} = \frac{23 , 5}{2} = 11, 75$ а. е.

Третий закон Кеплера

\frac{T _{1}^{2}}{T _{2}^{2}} = \frac{a _{1}^{3}}{a _{2}^{3}}

квадраты периодов относятся как кубы больших полуосей

где $T$ — сидерический период обращения планеты, $a$ — большая полуось её орбиты. Если сравнивать с Землёй ( $T = 1$ год, $a = 1$ а. е.), закон становится совсем простым:

T^{2} = a^{3}

T

— в годах,

a

— в астрономических единицах (1 а. е. ≈ 150 млн км)

$a = 49$ а. е. Найдите период $T$ .

$T^{2} = 4 9^{3}$ , значит $T = 4 9^{3} www.reknow.ru = 49 49 www.reknow.ru = 49 \cdot 7$ .
$T = 343$ года.

Удобно, когда $a$ — точный квадрат: $T = a a www.reknow.ru$ . Например, $a = 144$ : $T = 144 \cdot 12 = 1728$ лет.

Не путайте степени: в квадрат возводят период, в куб — полуось. Зная $T$ , полуось находят как $a = 3 T^{2} www.reknow.ru$ .

Конфигурации планет

Конфигурации — характерные взаимные положения планеты, Земли и Солнца. Внутренние планеты (Меркурий, Венера) ближе к Солнцу, чем Земля, внешние (Марс и дальше) — дальше.

Внутренняя планета — на малой орбите, внешняя — на большой

Соединение — планета видна в одном направлении с Солнцем. У внутренних — нижнее (между Землёй и Солнцем) и верхнее (за Солнцем).
Противостояние — планета в стороне, противоположной Солнцу (только у внешних); лучшее время для наблюдений.
Наибольшая элонгация — наибольший угол планета — Земля — Солнце у внутренних планет (у Меркурия до $2 8^{\circ}$ , у Венеры до $4 8^{\circ}$ ).
Квадратура — внешняя планета видна под углом $9 0^{\circ}$ к Солнцу.

Сидерический и синодический периоды

Сидерический период $T$ — полный оборот вокруг Солнца относительно звёзд. Синодический период $S$ — промежуток между двумя одинаковыми конфигурациями (например, от противостояния до противостояния). Обозначим $T_{\oplus} = 1$ год — период Земли.

Внутренняя планета

\frac{1}{S} = \frac{1}{T} - \frac{1}{T _{\oplus}}

Внешняя планета

\frac{1}{S} = \frac{1}{T _{\oplus}} - \frac{1}{T}

Внешняя планета, $T = 9$ лет. Найдите $S$ .

$\frac{1}{S} = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ .
$S = \frac{9}{8} = 1, 125$ года.

Внутренняя планета, $T = 0, 5$ года. Найдите $S$ .

$\frac{1}{S} = \frac{1}{0 , 5} - 1 = 2 - 1 = 1$ .
$S = 1$ год.

Из большего вычитают меньшее: «быстрая» планета — её $\frac{1}{T}$ больше. Внутренняя быстрее Земли, Земля быстрее внешней. Тогда $\frac{1}{S}$ всегда положительно.

Ещё факты

По второму закону Кеплера скорость планеты на эллиптической орбите меняется: она максимальна в перигелии и минимальна в афелии. Идею о бесконечности Вселенной и множестве обитаемых миров высказал Джордано Бруно (XVI век), развивая гелиоцентрическую систему Коперника.

Серия: 0