Навык · Алгебра, 10 класс

Свойства логарифмов: сумма, разность, степень

Формулы, по которым упрощают логарифмические выражения.

Правило за 30 секундlogₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐ(x/y) = logₐx − logₐy; logₐ(xᵏ) = k·logₐx. Переход к новому основанию: logₐb = log_cb / log_ca. Все формулы верны только для положительных x и y.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Логарифм — это показатель степени. А при умножении степеней показатели складываются: $2^{3} \cdot 2^{4} = 2^{7}$ . Поэтому логарифм произведения равен сумме логарифмов. Все свойства логарифмов — это свойства степеней, «прочитанные наоборот».

Степени	Логарифмы
$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$	$lo g_{a} (x y) = lo g_{a} x + lo g_{a} y$
$a^{m} : a^{n} = a^{m - n}$	$lo g_{a} \frac{x}{y} = lo g_{a} x - lo g_{a} y$
$(a^{m})^{k} = a^{mk}$	$lo g_{a} x^{k} = k lo g_{a} x$

Все формулы верны только для положительных $x$ и $y$ (и $a > 0$ , $a \neq = 1$ ).

Практика ›закрепить задачами по теме

Переход к новому основанию

lo g_{a} b = \frac{lo g _{c} b}{lo g _{c} a}

c

— любое новое основание (

c > 0

c \neq = 1

)

Следствия: $lo g_{a} b = \frac{1}{lo g _{b} a}$ и $lo g_{a^{p}} b = \frac{1}{p} lo g_{a} b$ . Пример: $lo g_{8} 32 = \frac{l o g _{2} 32}{l o g _{2} 8} = \frac{5}{3}$ .

Логарифм «понижает» действие на ступень: умножение → сложение, деление → вычитание, степень → умножение

Практика ›закрепить задачами по теме

Разбор заданий

$lo g_{7} x = 6$ , $lo g_{7} y = 5$ . Найдите $lo g_{7} \frac{x}{y}$ .

$lo g_{7} \frac{x}{y} = lo g_{7} x - lo g_{7} y = 6 - 5 = 1$ .

$lo g_{7} x = 6$ , $lo g_{7} y = 2$ . Найдите $lo g_{7} \frac{x}{y}$ .

$6 - 2 = 4$ .

Вычислите $lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5 + 2 lo g_{3} 3$ .

$lo g_{2} 40 - lo g_{2} 5 = lo g_{2} \frac{40}{5} = lo g_{2} 8 = 3$ .
$2 lo g_{3} 3 = 2 \cdot 1 = 2$ . Ответ: $5$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Типичные ошибки

$lo g_{2} (8 + 8) = lo g_{2} 8 + lo g_{2} 8 = 6$ — неверно. Логарифм суммы не равен сумме логарифмов: $lo g_{2} 16 = 4$ .

$\frac{l o g _{3} 18}{l o g _{3} 2} = lo g_{3} 9 = 2$ — неверно. Частное логарифмов — это переход к основанию: $\frac{l o g _{3} 18}{l o g _{3} 2} = lo g_{2} 18$ , а не логарифм частного.

В формулах свойств слева от знака «=» всегда один логарифм от произведения/частного/степени. Сумм и частных самих логарифмов в «готовом» виде там нет.

Навык — часть темы «Логарифмы: свойства и простейшие уравнения». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 10 класс ›

Серия: 0

Свойства логарифмов: сумма, разность, степень

Простыми словами

Переход к новому основанию

Разбор заданий

Типичные ошибки

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю