7.4. Как измерять шум

Шумовое напряжение, шумовой ток и коэффициент шума: измерение без генератора шума, с генератором и методом тёплой и холодной нагрузки; генераторы шума; шумовая полоса фильтров и правильное измерение эффективного значения.

≈ 35 мин чтения · пунктирное подчёркивание — наведите или нажмите, чтобы увидеть пояснение

В предыдущем разделе шумы усилителя были известны заранее. На практике их приходится измерять — и идея измерения проста: подать на вход что-то известное (или ничего не подавать) и измерить эффективное напряжение на выходе в определённой полосе. Из таких измерений получаются эквивалентные шумовое напряжение и шумовой ток, а через них — КШ и отношение сигнал/шум с любым источником.

У радиочастотных усилителей с согласованным входом источником может служить даже генератор синусоиды с точно известной, регулируемой амплитудой. Как ограничить полосу и правильно измерить эффективное значение, разберём в конце раздела; пока будем считать, что делать это мы умеем.

Стенд для измерения шума

Вход: ничего / резистор / генератор шума

Испытуемый усилитель

K_{U}

Фильтр: шумовая полоса

B

Вольтметр истинного эфф. значения

7.4.1Измерение без генератора шума

≈ 5 мин1 упр.

Главное

Закоротите вход: $e_{ш} = U_{вых .0} / (K_{U} B)$ .
Поставьте на вход резистор $R$ : из прироста шума находят $i_{ш}$ , вычтя $e_{ш}^{2}$ и $4 k TR$ .
Дальше С/Ш с любым источником: $10 l g {U_{с}^{2} / [(e_{ш}^{2} + (i_{ш} R_{и})^{2} + 4 k T R_{и}) B]}$ .

12345

Как найти e_ш и i_ш без генератора шума: сначала вход закорочен перемычкой, затем на нём резистор R.

Что здесь что (5)

Перемычка. шаг 2: вход закорочен — на выходе только $e_{ш}$ , усиленное в $K_{U}$ раз.
Резистор R. шаг 3: достаточно большой, чтобы проявился $i_{ш} R$ , но много меньше $Z_{вх}$ .
Испытуемый усилитель. шаг 1: сначала измеряют его усиление $K_{U}$ сигналом умеренной величины.
Фильтр. задаёт шумовую полосу $B$ .
Вольтметр. истинного эффективного значения.

Самый частый случай — каскад на биполярных или полевых транзисторах для низких и средних частот с большим входным сопротивлением. Цель — найти $e_{ш}$ и $i_{ш}$ , чтобы потом предсказывать С/Ш для источника с любым уровнем сигнала и любым сопротивлением. Понадобятся три измерения.

Усиление. Измерьте $K_{U}$ в нужном диапазоне частот. Сигнал должен быть достаточно большим, чтобы собственный шум на его фоне был незаметен, но не настолько, чтобы усилитель вошёл в насыщение.
Вход закорочен. Измерьте эффективное напряжение шума на выходе $U_{вых .0}$ . Оно целиком создано шумовым напряжением:
$e_{ш} = \frac{U _{вых .0}}{K _{U} B} В / Гц,$
где $B$ — шумовая полоса измерения.
На входе резистор. Подключите резистор $R$ и снова измерьте шум, $U_{вых, R}$ . Резистор выбирают так, чтобы шумовой ток на нём стал заметен, но сам он оставался много меньше входного сопротивления. (Если так не получается, можно оставить вход разомкнутым и использовать в роли $R$ само входное сопротивление.) Тогда
$U_{вых, R}^{2} = [e_{ш}^{2} + 4 k TR + (i_{ш} R)^{2}] B K_{U}^{2}, i_{ш} = \frac{1}{R} [\frac{U _{вых, R}^{2}}{B K _{U}^{2}} - e_{ш}^{2} - 4 k TR]^{1/2} .$
Лучше всего, если первое слагаемое под корнем заметно больше двух вычитаемых, т. е. шумовой ток на $R$ перевешивает и шумовое напряжение, и тепловой шум резистора, — тогда вычитание не съедает точность.

Получив $e_{ш}$ и $i_{ш}$ , можно найти отношение сигнал/шум для сигнала $U_{с}$ (лежащего в пределах полосы $B$ ) от источника с сопротивлением $R_{и}$ :

С/Ш по измеренным

e_{ш}

i_{ш}

С / Ш = 10 l g \frac{U _{с}^{2}}{[ e _{ш}^{2} + ( i _{ш} R _{и} ) ^{2} + 4 k T R _{и} ] B}

Обозначения:

U_{с}

e_{ш}^{2}

(i_{ш} R_{и})^{2}

4 k T R_{и}

B

В знаменателе три вклада: шумовое напряжение усилителя, шумовой ток на сопротивлении источника и тепловой шум источника. Часто один из них явно преобладает — его и надо атаковать. Расширять полосу сверх необходимой для сигнала бессмысленно: С/Ш только ухудшится. Исключение — широкополосный сигнал, например сам шум: тогда С/Ш от полосы не зависит.

Упражнение 7.4.1

Проверяют предусилитель сейсмодатчика: $K_{U}$ = 500, фильтр с шумовой полосой 2 кГц. С закороченным входом на выходе 0,15 мВ эфф., с резистором 470 кОм на входе — 12 мВ эфф. ( $T$ = 290 К). Найдите $e_{ш}$ , $i_{ш}$ и отношение сигнал/шум для сигнала 5 мкВ эфф. от датчика сопротивлением 20 кОм в той же полосе.

e_ш =нВ/√Гцi_ш =пА/√ГцС/Ш =дБ

Решение

$e_{ш} = 1, 5 \cdot 1 0^{- 4} / (500 \cdot 2000) = 6, 71$ нВ/√Гц. С резистором плотность на входе $12 \cdot 1 0^{- 3} / (500 \cdot 44, 72) = 536, 7$ нВ/√Гц; тепловой шум 470 кОм — 86,8 нВ/√Гц. Значит, $i_{ш} R = 536, 7^{2} - 86, 8^{2} - 6, 7^{2} = 529, 6$ нВ/√Гц и $i_{ш} = 1, 13$ пА/√Гц. Для датчика 20 кОм: $e_{ш}^{2} = 4, 5 \cdot 1 0^{- 17}$ , $(i_{ш} R_{и})^{2} = 5, 08 \cdot 1 0^{- 16}$ , $4 k T R_{и} = 3, 20 \cdot 1 0^{- 16}$ ; сумма $8, 73 \cdot 1 0^{- 16}$ В²/Гц, в полосе 2 кГц — $1, 75 \cdot 1 0^{- 12}$ В². $С / Ш = 10 l g (2, 5 \cdot 1 0^{- 11} /1, 75 \cdot 1 0^{- 12}) \approx 11, 6$ дБ. Шумовой ток здесь главный виновник: усилитель плохо подобран к источнику, ему нужен вход на ПТ или меньший ток коллектора.

7.4.2Измерение с генератором шума

≈ 10 мин6 упр.

Главное

Метод «плюс 3 дБ»: поднимают шум калиброванного генератора $U_{г}$ , пока выходной шум не вырастет в $2$ раз; тогда $КШ = 10 l g (U_{г}^{2} /4 k T R_{и} B)$ .
Знать усиление и АЧХ усилителя не нужно — шум сравнивается прямо на входе.
Y-фактор: тёплая (290 К) и холодная (77 К) нагрузки, $T_{ш} = (T_{тепл} - Y T_{хол}) / (Y - 1)$ .
Согласованные усилители (50 Ом) описывают КШ или чувствительностью: «С/Ш = 10 дБ при … мкВ».

Способ из предыдущего пункта обходится без генератора шума, зато требует точного вольтметра, точного фильтра и знания частотной характеристики усилителя вместе с источником. Можно зайти с другой стороны: подать на вход широкополосный шум известной величины и следить, насколько вырастет шум на выходе. Нужен калиброванный генератор шума, но об усилителе знать ничего не требуется — сравнение происходит прямо на его входе.

Два подхода к измерению

	Без генератора шума	С генератором шума
Что нужно	точный вольтметр, фильтр, знание АЧХ и $K_{U}$	калиброванный генератор шума
Что получаем	$e_{ш}$ и $i_{ш}$ по отдельности	КШ при сопротивлении генератора
Знать усилитель	надо	не надо — шум сравнивается на входе

Ко входу подключают генератор шума с внутренним сопротивлением $R_{и}$ — тем же, что будет у рабочего источника. Дальше всё укладывается в четыре шага:

Метод «плюс 3 дБ»

Генератор выключенизмеряют эффективное напряжение шума на выходе
Поднимают $U_{г}$ эффективное напряжение генератора в полосе измерения
Выходной шум вырос на 3 дБв 1,414 раза по напряжению: добавленный шум равен всему собственному шуму на входе
Считают КШ $10 l g (U_{г}^{2} /4 k T R_{и} B)$

Почему именно 3 дБ? Когда выходная мощность шума удвоилась, добавленный генератором шум сравнялся со всем собственным шумом на входе — усилителя вместе с тепловым шумом $R_{и}$ . Значит, напряжение генератора в этот момент и есть полный шум на входе, а его отношение к тепловому шуму источника — коэффициент шума:

КШ методом трёх децибел

КШ = 10 l g \frac{U _{г}^{2}}{4 k T R _{и} B}, С / Ш = 10 l g \frac{U _{с}^{2}}{4 k T R _{и} B} - КШ (R_{и}) дБ

Обозначения:

U_{г}

R_{и}

B

Хороший калиброванный генератор шума позволяет плавно ослаблять сигнал до единиц микровольт. По-прежнему предполагается $Z_{вх} ≫ R_{и}$ ; если источник согласован ( $R_{и} = Z_{вх}$ ), множитель 4 из формулы убирают.

Помните и об ограничении: метод даёт не $e_{ш}$ и $i_{ш}$ по отдельности, а лишь их суммарное действие при сопротивлении генератора. Чтобы разделить их, измерение повторяют с несколькими сопротивлениями.

Упражнение 7.4.2

Микрофонный вход проверяют генератором шума с внутренним сопротивлением 600 Ом. Выходной шум вырос на 3 дБ, когда эффективное напряжение генератора в шумовой полосе 20 кГц достигло 0,9 мкВ. Каков КШ входа ( $T$ = 290 К)?

КШ =дБ

Решение

Тепловой шум источника в полосе: $4 k TRB = 1, 60 \cdot 1 0^{- 20} \cdot 600 \cdot 2 \cdot 1 0^{4} = 1, 92 \cdot 1 0^{- 13}$ В² (0,44 мкВ эфф.). $КШ = 10 l g (8, 1 \cdot 1 0^{- 13} /1, 92 \cdot 1 0^{- 13}) = 10 l g 4, 21 \approx 6, 25$ дБ — для микрофонного входа многовато: собственный шум усилителя втрое мощнее шума источника.

Тёплая и холодная нагрузка (Y-фактор)

А можно обойтись вообще без генератора шума — сделать им сам резистор, меняя его температуру. Этот приём обожают разработчики сверхмалошумящих радиочастотных усилителей с согласованным 50-омным входом.

Берут две одинаковые безындуктивные 50-омные нагрузки («заглушки»). Одну погружают в сосуд Дьюара с жидким азотом (77 К), другая остаётся при комнатной температуре. Вход усилителя попеременно переключают с одной на другую хорошим коаксиальным реле и каждый раз измеряют мощность шума на выходе в одной и той же полосе на одной и той же частоте.

12345

Измерение Y-фактора: две одинаковые 50-омные нагрузки — в жидком азоте и при комнатной температуре — по очереди подключают коаксиальным реле ко входу.

Что здесь что (5)

Холодная нагрузка. 50 Ом в сосуде Дьюара с жидким азотом: шумит как резистор при 77 К.
Тёплая нагрузка. такая же заглушка при комнатной температуре (≈ 290 К).
Коаксиальное реле. переключает вход между нагрузками.
Испытуемый усилитель. его шумовая температура $T_{ш}$ прибавляется к температуре нагрузки.
Измеритель мощности. абсолютная калибровка не нужна — важно лишь отношение $Y$ .

Обозначим мощности при холодной и тёплой нагрузках $P_{хол}$ и $P_{тепл}$ , их отношение $Y = P_{тепл} / P_{хол}$ . Тогда шумовая температура усилителя

Метод Y-фактора

T_{ш} = \frac{T _{тепл} - Y T _{хол}}{Y - 1}, КШ = 10 l g (\frac{T _{ш}}{290} + 1)

Обозначения:

Y

T_{тепл}

T_{хол}

Упражнение 7.4.3 вывод

Выведите формулу метода Y-фактора. Подсказка: выходная мощность шума пропорциональна сумме температуры нагрузки и шумовой температуры усилителя, $P = a (T_{н} + T_{ш})$ ; коэффициент $a$ (в нём сидят усиление, полоса и постоянная Больцмана) должен сократиться.

Решение

Шум усилителя, выраженный шумовой температурой, складывается с шумом резистора-нагрузки: шумы независимы, их мощности суммируются, а мощность теплового шума пропорциональна температуре. Следовательно, $P_{тепл} = a (T_{тепл} + T_{ш})$ и $P_{хол} = a (T_{хол} + T_{ш})$ . Делим одно на другое:

Y = \frac{T _{тепл} + T _{ш}}{T _{хол} + T _{ш}} \Rightarrow Y T_{хол} + Y T_{ш} = T_{тепл} + T_{ш} \Rightarrow T_{ш} = \frac{T _{тепл} - Y T _{хол}}{Y - 1} .

Коэффициент $a$ исчез — значит, не нужно знать ни усиления, ни полосы, ни абсолютной калибровки измерителя мощности. Нужны лишь точные температуры нагрузок и линейность тракта. Видна и слабость метода: если $T_{ш} ≫ T_{тепл}$ , то $Y \to 1$ , и малые ошибки измерения $Y$ дают большие ошибки $T_{ш}$ . Метод создан для малошумящих усилителей.

Упражнение 7.4.4

Радиолюбитель проверяет малошумящий усилитель для приёма метеоспутников. С нагрузками при 77 К и 290 К отношение мощностей шума на выходе получилось $Y$ = 2,5. Найдите шумовую температуру и КШ усилителя.

T_ш =ККШ =дБ

Решение

$T_{ш} = (290 - 2, 5 \cdot 77) / (2, 5 - 1) = (290 - 192, 5) /1, 5 = 65$ К; $КШ = 10 l g (1 + 65/290) = 10 l g 1, 224 \approx 0, 88$ дБ.

Упражнение 7.4.5 задача

Шумовая температура (как и КШ) зависит от сопротивления источника. Докажите, что усилитель с генераторами $e_{ш}$ и $i_{ш}$ (модель «источник + усилитель» из раздела 7.3) имеет наименьшую шумовую температуру при $R_{и} = e_{ш} / i_{ш}$ и что этот минимум равен $T_{ш} = e_{ш} i_{ш} /2 k$ .

Решение

По определению источник $R_{и}$ , нагретый до $T_{ш}$ , шумит так же, как усилитель: $4 k T_{ш} R_{и} = e_{ш}^{2} + i_{ш}^{2} R_{и}^{2}$ . Отсюда

T_{ш} (R_{и}) = \frac{1}{4 k} (\frac{e _{ш}^{2}}{R _{и}} + i_{ш}^{2} R_{и}) .

Приравняем нулю производную по $R_{и}$ : $- e_{ш}^{2} / R_{и}^{2} + i_{ш}^{2} = 0$ , т. е. $R_{и} = e_{ш} / i_{ш}$ ; вторая производная $2 e_{ш}^{2} / R^{3} > 0$ , это минимум. Подставляем: $T_{ш} = \frac{1}{4 k} (e_{ш} i_{ш} + e_{ш} i_{ш}) = e_{ш} i_{ш} /2 k$ — то же, что даёт формула наименьшего КШ при шумовом сопротивлении. Произведение $e_{ш} i_{ш}$ — главная характеристика малошумящего прибора: ни трансформатор, ни выбор $R_{и}$ его не меняют, они лишь позволяют попасть в минимум.

Упражнение 7.4.6

Входной каскад имеет $e_{ш}$ = 1,5 нВ/√Гц и $i_{ш}$ = 0,3 пА/√Гц. Найдите оптимальное сопротивление источника, наименьшую шумовую температуру и соответствующий КШ.

R_опт =кОмT_ш =ККШ =дБ

Решение

$R_{опт} = 1, 5 \cdot 1 0^{- 9} /0, 3 \cdot 1 0^{- 12} = 5$ кОм; $T_{ш} = 1, 5 \cdot 1 0^{- 9} \cdot 0, 3 \cdot 1 0^{- 12} / (2 \cdot 1, 38 \cdot 1 0^{- 23}) \approx 16, 3$ К; $КШ = 10 l g (1 + 16, 3/290) \approx 0, 24$ дБ.

Усилители с согласованным входом

Метод с генератором особенно хорош для усилителей, рассчитанных на согласованный источник: радиочастотных усилителей и приёмников, у которых и источник, и вход — около 50 Ом. (В радиотехнике сознательно отступают от привычного правила «источник много низкоомнее нагрузки» — ради передачи максимальной мощности и отсутствия отражений в линиях.) Здесь $e_{ш}$ и $i_{ш}$ по отдельности никого не интересуют; важен КШ с согласованным источником или то, какое С/Ш получается при заданной амплитуде согласованного сигнала.

Поэтому шумовые свойства приёмников часто задают прямо чувствительностью: например, «С/Ш = 10 дБ при сигнале 0,2 мкВ эфф. в полосе 2,4 кГц». Измеряют так: согласованный генератор синусоиды сначала выключают, затем поднимают амплитуду, пока сигнал на выходе не превысит шум на 10 дБ; полоса приёмника всё время остаётся той же.

Ловушка. Вольтметр на выходе должен показывать истинное эффективное значение смеси сигнала и шума — иначе результат исказится. Часто измеряют прямо выход звуковой частоты приёмника.

Упражнение 7.4.7

Связной приёмник с согласованным 50-омным входом в полосе 2,4 кГц (однополосная телефония) даёт С/Ш = 10 дБ при сигнале 0,2 мкВ эфф. на входе. Найдите КШ приёмника ( $T$ = 290 К). Подсказка: в согласованном режиме тепловой шум на входе равен $k TRB$ .

КШ =дБ

Решение

Тепловой шум согласованного источника на входе: $k TRB = 4, 0 \cdot 1 0^{- 21} \cdot 50 \cdot 2400 = 21, 9$ нВ. С/Ш самого источника на входе $20 l g (200/21, 9) = 19, 2$ дБ, на выходе 10 дБ — приёмник «съел» $\approx 9, 2$ дБ. Это и есть его КШ.

7.4.3Генераторы шума и измерительные генераторы

≈ 6 мин2 упр.

Главное

Аналоговые источники шума: дробовой шум вакуумного диода (точно $2 q I_{0} B$ ) и лавинный шум стабилитрона.
Цифровой: сдвиговый регистр максимальной длины → ЦАП → ФНЧ; период повторения $2^{n} - 1$ тактов.
Розовый шум (−3 дБ/октава) делают из белого цепочкой RC-звеньев с чередующимися нулями и полюсами.

Для измерений нужен источник шума с известной плотностью. Его получают из тех же физических явлений, которые мы изучали, — дробового и лавинного шума. Классика — вакуумный диод: величина его дробового шума точно рассчитывается по измеренному постоянному току, $2 q I_{0} B$ . Сегодня чаще используют стабилитрон в режиме лавинного пробоя. Спектр обоих простирается от нуля до очень высоких частот, так что они годятся и для звука, и для радиочастот.

Другой путь даёт цифровая техника: длинный сдвиговый регистр, на вход которого подаётся сумма по модулю 2 нескольких определённых разрядов (подробно — в разделе 9.6). На выходе — псевдослучайная последовательность нулей и единиц. Пропустите её через цифро-аналоговый преобразователь и фильтр нижних частот — и получите белый шум до частоты среза фильтра, которую берут намного ниже тактовой частоты регистра.

12345

Цифровой генератор шума: регистр с обратной связью через сумму по модулю 2 выдаёт псевдослучайные биты; ЦАП и фильтр превращают их в белый шум до f_ср ≪ f_такт.

Что здесь что (5)

Сдвиговый регистр. каждый такт биты сдвигаются; регистр максимальной длины обходит $2^{n} - 1$ состояний.
Сумма по модулю 2. исключающее ИЛИ нескольких определённых разрядов возвращается на вход.
ЦАП. превращает биты (или слово из нескольких разрядов) в напряжение.
Фильтр нижних частот. срез намного ниже тактовой частоты — тогда спектр плоский, белый.
Выход. белый шум до сотен килогерц; через $(2^{n} - 1) / f_{такт}$ он в точности повторяется.

Так получают шум до сотен килогерц. Особенность цифрового шума — он не по-настоящему случаен: через время, заданное длиной регистра, последовательность повторяется бит в бит. Регистр максимальной длины из $n$ разрядов проходит $2^{n} - 1$ состояний.

Период псевдослучайного шума

T_{повт} = \frac{2 ^{n} - 1}{f _{такт}}

Обозначения:

n

f_{такт}

Каждый добавленный разряд удваивает период.

3,6 года50 разрядов, 10 МГц

≈ 163 сут48 разрядов, 20 МГц

×2за каждый разряд

Растянуть период на месяцы и годы ничего не стоит, хотя обычно хватает и секунд: 50-разрядный регистр с тактом 10 МГц даёт белый шум до 100 кГц, повторяющийся примерно раз в 3,6 года. Готовые схемы таких генераторов разобраны в разделе 9.6.

Многие генераторы выдают и белый, и розовый шум. Розовый шум — любимец акустиков: у него равная мощность не в каждом герце, а в каждой октаве, поэтому на слух и на анализаторе с октавными полосами он «ровный». Его плотность мощности должна падать на 3 дБ на октаву. Одиночная RC-цепь даёт спад вдвое круче, 6 дБ/октаву, так что нужен фильтр похитрее: цепочка звеньев, у каждого из которых свой полюс и нуль, расставленные по частоте так, чтобы ступеньки сливались в средний наклон −3 дБ/октаву. Пример такой цепи — на схеме ниже.

Зачем нужна цепочка звеньев: одно RC-звено спадает вдвое круче, а чередование полюсов и нулей трёхзвенной цепи держит средний наклон −3 дБ/октава в звуковой полосе.

123456

Наш «розовый» фильтр: последовательный резистор 36 кОм и три звена R + C на землю, у каждого свой полюс и нуль. В полосе 20 Гц – 20 кГц средний наклон −3 дБ/октава выдерживается с точностью около ±0,4 дБ; повторитель на ОУ с ПТ-входом не нагружает цепь.

Что здесь что (6)

Генератор белого шума. лавинный шум стабилитрона с усилителем или цифровой регистр с ЦАП — плоский спектр до 50 кГц.
Резистор 36 кОм. вместе с ветвями на землю образует частотно-зависимый делитель.
Звено 18к / 82н. отвечает за самый нижний участок полосы: его полюс и нуль — на десятках-сотнях герц.
Звено 5,6к / 24н. среднее звено: его излом — на единицах килогерц.
Звено 1,2к / 11н. верхнее звено держит наклон до 20 кГц.
Повторитель на ОУ с ПТ-входом. не нагружает цепь; на выходе — розовый шум.

Кроме генераторов шума, в лаборатории нужны и генераторы обычных сигналов с точно известной амплитудой. Современные приборы перекрывают частоты от долей герца до гигагерц, позволяют ослабить выходной сигнал встроенными аттенюаторами до микровольт и ниже, умеют модулировать и качать частоту, а управлять ими можно с компьютера по USB или сети. Для измерений чувствительности приёмников важнее всего именно калиброванный аттенюатор: без него не получить на входе честные 0,2 мкВ.

Упражнение 7.4.8

Генератор псевдослучайного шума в акустическом анализаторе собран на 48-разрядном регистре максимальной длины с тактовой частотой 20 МГц. Через сколько суток последовательность повторится?

T =сут

Решение

Период $(2^{48} - 1) /2 \cdot 1 0^{7} = 2, 815 \cdot 1 0^{14} /2 \cdot 1 0^{7} = 1, 407 \cdot 1 0^{7}$ с, т. е. около 163 суток — почти полгода. Каждый дополнительный разряд удвоил бы этот срок.

Упражнение 7.4.9

Для настройки акустической системы используют розовый шум с плотностью 50 нВ/√Гц на частоте 100 Гц (квадрат плотности $\propto 1/ f$ ). Найдите его эффективное значение в полосе 10 Гц – 10 кГц и сравните с белым шумом, имеющим 50 нВ/√Гц на всех частотах той же полосы.

розовый =мкВбелый =мкВ

Решение

$e^{2} (f) = e_{0}^{2} f_{0} / f$ , поэтому $U^{2} = e_{0}^{2} f_{0} ln (f_{2} / f_{1}) = 2, 5 \cdot 1 0^{- 15} \cdot 100 \cdot ln 1000 = 1, 73 \cdot 1 0^{- 12}$ В², $U \approx 1, 31$ мкВ. Белый: $U = 5 \cdot 1 0^{- 8} 9990 \approx 5, 0$ мкВ. У розового шума все три декады полосы весят одинаково; у белого почти вся мощность сидит в верхней декаде (1–10 кГц) — поэтому белый шум и звучит «шипяще».

7.4.4Шумовая полоса и измерение эффективного значения

≈ 11 мин4 упр.

Главное

В формулы шума подставляют эквивалентную шумовую полосу $B = \int ∣ K ∣^{2} df / K_{0}^{2}$ , а не полосу по −3 дБ.
RC-фильтр: $B = 1, 57 f_{- 3 дБ}$ ; пара RC (ФВЧ + ФНЧ): $B = (π /2) f_{2}^{2} / (f_{1} + f_{2})$ ; контур: $B = π f_{0} /2 Q$ .
Эффективное значение шума: вольтметр истинного эфф. значения; средневыпрямленный — показание ×1,13 (+1 дБ); осциллограф — размах/6…8.

Какую полосу подставлять в формулы

Любое измерение шума делают в ограниченной полосе. Иногда нужные фильтры уже встроены в усилитель; если нет, на выход ставят свой фильтр и измеряют шум после него. Самое простое — RC-фильтр с частотой −3 дБ примерно на краю нужной полосы.

Но скаты у реального фильтра пологие, и за частотой среза он ещё пропускает заметную долю шума. Чтобы считать точно, вводят эквивалентную шумовую полосу $B$ — ширину воображаемого идеального фильтра с прямоугольной характеристикой, который пропустил бы ту же мощность белого шума. Именно её подставляют во все формулы:

Эквивалентная шумовая полоса

B = \int_{0}^{\infty} \frac{∣ K ( f ) ∣ ^{2}}{K _{0}^{2}} df

Обозначения:

K (f)

K_{0}

B

Шумовая полоса RC-фильтра нижних частот

Для RC-фильтра нижних частот $∣ K ∣^{2} = 1/ (1 + f^{2} / f_{0}^{2})$ . Подстановка $x = f / f_{0}$ даёт $B = f_{0} \int_{0}^{\infty} d x / (1 + x^{2}) = (π /2) f_{0}$ , потому что интеграл равен $arctg x_{0}^{\infty} = π /2$ .

Итог для простейшего RC-фильтра нижних частот (вывод — в свёрнутом блоке):

B = \frac{π}{2} f_{- 3 дБ} = 1, 57 f_{- 3 дБ} .

То есть шумовая полоса на 57 % шире «паспортной» полосы по уровню −3 дБ.

RC-фильтр нижних частот и его «прямоугольный двойник»: идеальный фильтр шириной B = (π/2)·f(−3 дБ) пропускает ту же мощность белого шума.

Чем круче скаты, тем ближе фильтр к прямоугольному и тем меньше поправка. Для двух одинаковых развязанных (не нагружающих друг друга) RC-звеньев $B = 1, 22 f_{- 3 дБ}$ , где $f_{- 3 дБ}$ — частота −3 дБ всей пары. Для фильтров Баттерворта (раздел 5.1) с $n$ полюсами $B = f_{- 3 дБ} \cdot \frac{π /2 n}{sin ( π /2 n )}$ : 1,57 при одном полюсе, 1,11 при двух, 1,05 при трёх и 1,026 при четырёх.

1,57RC, 1 полюс

1,22два развязанных RC

1,11Баттерворт, 2 полюса

1,05Баттерворт, 3 полюса

1,026Баттерворт, 4 полюса

Если шум нужно мерить в полосе вокруг какой-то средней частоты, подойдёт пара развязанных RC-фильтров: верхних частот со срезом $f_{1}$ и нижних со срезом $f_{2}$ .

Шумовая полоса пары RC-фильтров (развязанных)

B = \frac{π}{2} \cdot \frac{f _{2}^{2}}{f _{1} + f _{2}}

Обозначения:

f_{1}

f_{2}

Полоса, вырезанная парой развязанных RC-фильтров (ФВЧ на f₁ = 100 Гц и ФНЧ на f₂ = 10 кГц): шумовая полоса B = (π/2)·f₂²/(f₁ + f₂) — пологие скаты добавляют немало.

Упражнение 7.4.10 вывод

Получите шумовую полосу двух одинаковых развязанных RC-фильтров нижних частот (каждый со срезом $f_{0} = 1/2 π RC$ ) и выразите её через частоту −3 дБ всей пары. Предположите, что на вход подан шум единичной мощности на герц, и проинтегрируйте выходную мощность от нуля до бесконечности.

Решение

Квадрат модуля передачи одного звена $1/ (1 + x^{2})$ , $x = f / f_{0}$ ; развязанные звенья перемножаются: $∣ K ∣^{2} = 1/ (1 + x^{2})^{2}$ . Шумовая полоса

B = f_{0} \int_{0}^{\infty} \frac{d x}{( 1 + x ^{2} ) ^{2}} .

Подставим $x = tg θ$ : $d x = d θ / cos^{2} θ$ , $1 + x^{2} = 1/ cos^{2} θ$ , и интеграл превращается в $\int_{0}^{π /2} cos^{2} θ d θ = π /4$ . (Можно и через вычеты: полюс второго порядка в $x = i$ с вычетом $- i /4$ даёт $\int_{- \infty}^{\infty} = 2 πi \cdot (- i /4) = π /2$ , половина — $π /4$ .) Итак, $B = (π /4) f_{0} = 0, 785 f_{0}$ . Частоту −3 дБ пары находим из $(1 + x^{2})^{2} = 2$ : $x = 2 - 1 = 0, 644$ . Окончательно $B = (0, 785/0, 644) f_{- 3 дБ} = 1, 22 f_{- 3 дБ}$ .

Упражнение 7.4.11

Шум аудиотракта измеряют через пару развязанных RC-фильтров: ФВЧ на 20 Гц и ФНЧ на 20 кГц. Найдите шумовую полосу. Какое эффективное напряжение покажет вольтметр после фильтров для белого шума 8 нВ/√Гц?

B =кГцU =мкВ

Решение

$B = (π /2) \cdot (2 \cdot 1 0^{4})^{2} /20 020 = 31385$ Гц $\approx 31, 4$ кГц — в полтора с лишним раза больше «очевидных» 20 кГц: пологий скат ФНЧ пропускает много шума выше среза. $U = 8 \cdot 1 0^{- 9} 31385 \approx 1, 42$ мкВ. Если бы мы поделили на $20000$ , плотность шума получилась бы завышенной на 25 %.

Если полоса узка по сравнению со средней частотой (большая добротность $Q$ ), лучше полосовой RLC-фильтр, чем пара RC-фильтров. Для параллельного и последовательного контуров (резонанс $f_{0} = 1/2 π L C$ ) шумовые полосы считаются точно:

Шумовая полоса RLC-контура

B_{∥} = \frac{π f _{0}}{2 Q} = \frac{1}{4 RC} (Q = 2 π f_{0} RC), B_{посл} = \frac{π f _{0}}{2 Q} = \frac{R}{4 L} (Q = 2 π f_{0} L / R)

Обозначения:

f_{0}

Q

B_{∥}

B_{посл}

Полоса по уровню −3 дБ равна

f_{0} / Q

— шумовая шире в

π /2

раза.

Полосовой фильтр можно сделать прямо из RLC-нагрузки коллектора (стока) или вставить между каскадами, как на схеме ниже. По шумовой полосе такая цепь в точности равносильна параллельному контуру с $R = R_{1} ∥ R_{2}$ .

Резонансные контуры как измерительные фильтры: у обоих шумовая полоса πf₀/2Q, f₀ = 1/2π√(LC).

12345

Полосовой фильтр между двумя каскадами: по шумовой полосе он ведёт себя как параллельный контур с R = R₁ ‖ R₂, т. е. B = 1/(4C·(R₁‖R₂)).

Что здесь что (5)

Предыдущий каскад. его выходное сопротивление входит в $R_{1}$ .
R₁. последовательный резистор между каскадами.
C. ёмкость контура.
L. индуктивность контура; резонанс $f_{0} = 1/2 π L C$ .
Буфер. его входное сопротивление — $R_{2}$ ; по шумовой полосе $R = R_{1} ∥ R_{2}$ , $B = 1/ (4 C (R_{1} ∥ R_{2}))$ .

Упражнение 7.4.12

Чтобы измерить шум на частоте около 15 кГц, собрали параллельный контур: $L$ = 2,2 мГн, $C$ = 47 нФ, шунтирующее сопротивление 10 кОм. Найдите резонансную частоту, добротность и шумовую полосу.

f₀ =кГцQ =B =Гц

Решение

$f_{0} = 1/ (2 π 2, 2 \cdot 1 0^{- 3} \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8}) \approx 15, 65$ кГц; $Q = 2 π f_{0} RC = 9, 83 \cdot 1 0^{4} \cdot 1 0^{4} \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8} \approx 46, 2$ ; $B = 1/ (4 RC) = 1/ (4 \cdot 1 0^{4} \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8}) \approx 532$ Гц (проверка: $π f_{0} /2 Q = 49 170/92, 4 = 532$ Гц). Полоса по −3 дБ $f_{0} / Q \approx 339$ Гц — шумовая шире в $π /2$ раза.

Чем мерить напряжение шума

Лучший инструмент — поверенный вольтметр истинного среднеквадратичного значения. Он либо измеряет нагрев, вызванный усиленным сигналом, либо аналоговой схемой возводит сигнал в квадрат и усредняет.

Две проверки перед измерением: рассчитан ли прибор на ваши частоты (некоторые работают лишь до единиц килогерц) и какой пик-фактор он допускает — до какого отношения пикового значения к эффективному он сохраняет точность. Гауссовскому шуму хватает пик-фактора 3–5.

Если такого прибора нет, сойдёт обычный средневыпрямленный вольтметр переменного тока — стрелочный тестер или мультиметр, но с поправкой. Он измеряет среднее значение модуля сигнала, а шкала у него размечена в эффективных значениях синусоиды: показание умножено на $π /2 2 = 1, 11$ . У гауссовского шума отношение эффективного значения к среднему выпрямленному другое — $π /2 = 1, 25$ .

Правило. Чтобы по средневыпрямленному вольтметру получить эффективное напряжение гауссовского шума, его показание умножают на

1, 25/1, 11 = 1, 13

(прибавляют 1 дБ). Правило верно для чистого шума (выход усилителя с резистором или генератором шума на входе), но не для смеси шума с синусоидой.

Третий, самый грубый способ — осциллограф. Эффективное значение составляет от 1/6 до 1/8 видимого размаха; разброс зависит от того, как вы определяете границы размытой дорожки. Точность невысока, зато с полосой прибора проблем не бывает.

Три способа измерить эффективное напряжение шума

Прибор	Что измеряет	Точность	На что смотреть
Вольтметр истинного эфф. значения	нагрев или квадрат сигнала, усреднённый	лучшая	частотный диапазон, допустимый пик-фактор (для шума 3–5)
Средневыпрямленный (тестер, мультиметр)	среднее модуля × 1,11	хорошая с поправкой ×1,13	только для чистого шума, не для смеси с синусоидой
Осциллограф	размах дорожки	грубая: эфф. ≈ размах/6…8	зато нет проблем с полосой

Упражнение 7.4.13

Простой мультиметр (средневыпрямленный, со шкалой в эффективных значениях синусоиды) на выходе усилителя с закороченным входом показывает 0,12 В. Каково истинное эффективное значение шума?

U_эфф =В

Решение

Среднее выпрямленное значение $0, 12/1, 111 = 0, 108$ В; для гауссовского шума $U_{эфф} = 1, 2533 \cdot 0, 108 \approx 0, 135$ В (то есть $0, 12 \cdot 1, 128$ ). Без поправки ошибка составила бы 11 %.

Модель: шумовая полоса фильтров

7.4.5Полезные факты о шуме

≈ 3 мин1 упр.

Главное

Время усреднения: $τ \approx 1600/ (B σ^{2})$ с — узкая полоса требует долгого усреднения.
Белый шум в полосе $0 \dots f_{2}$ имеет $0, 775 f_{2}$ максимумов в секунду; узкополосный похож на синусоиду средней частоты.
Эфф./ср. выпр.: шум 1,25, синусоида 1,11, меандр 1; выбросы за $aσ$ — доля $erfc (a / 2)$ .

1,25шум: эфф./ср. выпр.

1,11синусоида

1меандр

≈ 3 минусреднение при B = 10 Гц, σ = 1 %

Напоследок — несколько фактов, которые часто выручают при измерениях.

Сколько усреднять. Стрелка (или цифры) прибора с линейным детектором, на который подан шум в полосе $B$ , дрожит. Чтобы стандартное отклонение показаний было $σ$ процентов, постоянная времени прибора должна быть
$τ \approx \frac{1600}{B σ ^{2}} с .$
Узкая полоса — долгое ожидание: при $B$ = 10 Гц и $σ$ = 1 % нужно почти три минуты.
Сколько максимумов. Белый шум, ограниченный полосой от $f_{1}$ до $f_{2}$ , имеет в среднем
$N = \frac{3 ( f _{2}^{5} - f _{1}^{5} )}{5 ( f _{2}^{3} - f _{1}^{3} )}$
максимумов в секунду. При $f_{1} = 0$ это $N = 3/5 f_{2} = 0, 775 f_{2}$ . Для узкополосного шума ( $f_{1} \approx f_{2}$ ) $N \approx (f_{1} + f_{2}) /2$ : такой шум выглядит как синусоида средней частоты с медленно и случайно гуляющей амплитудой.
Эффективное значение и среднее выпрямленное: их отношение у гауссовского шума $π /2 = 1, 25$ (1,96 дБ), у синусоиды $π /2 2 = 1, 11$ (0,91 дБ), у меандра 1 (0 дБ).
Как часто бывают большие выбросы. Доля времени, когда мгновенное значение гауссовского шума с эффективным значением 1 В превышает по модулю уровень $a$ вольт, равна $erfc (a / 2)$ — см. график.

Сколько времени гауссовский шум проводит выше заданного уровня (по модулю): erfc(a/√2) в процентах.

Упражнение 7.4.14

Шумомер с линейным детектором измеряет шум в полосе шириной 1 кГц. (а) Какая постоянная времени нужна, чтобы показания дрожали не более чем на 0,5 % (стандартное отклонение)? (б) Сколько в среднем максимумов в секунду у белого шума в полосе 0–20 кГц? (в) А в узкой полосе 49–51 кГц?

τ =сN(0–20к) =1/сN(49–51к) =1/с

Решение

(а) $τ = 1600/ (1000 \cdot 0, 5^{2}) = 6, 4$ с. (б) $N = 3/5 \cdot 2 \cdot 1 0^{4} \approx 15490$ с⁻¹. (в) $N = 3 (5 1^{5} - 4 9^{5}) / (5 (5 1^{3} - 4 9^{3})) \cdot 1 0^{3} \approx 50017$ с⁻¹ — практически средняя частота полосы (50 000).

Модель: гауссовский шум, эффективное значение, размах и выбросы