7.3. Шумы в усилителях

7.3.1Откуда берётся шум

Включите усилитель с открытым на полную громкость входом, ничего к нему не подключив, — из динамика пойдёт ровное шипение. Подключите вместо источника резистор на несколько килоом — шипение станет громче. Это не неисправность: так звучат фундаментальные физические процессы, и именно они в конце концов ставят предел любому измерению. Шумом мы будем называть всё, что подмешивается к полезному сигналу и маскирует его; даже когда сигнал велик, шум определяет, сколько верных знаков в результате.

Источники шума полезно рассортировать по тому, что с ними можно сделать:

• неустранимые в принципе — например, собственные флуктуации измеряемой величины. Тут поможет только статистика: сужение полосы, накопление и усреднение, синхронное детектирование;
• помехи — сетевые наводки, радиостанции, петли заземленияПетля заземления — замкнутый контур, образованный проводами земли нескольких приборов; наведённый или сетевой ток в нём создаёт падение напряжения, которое добавляется к сигналу.. Их удаётся ослабить и даже убрать фильтрами, экранами и грамотной разводкой — подробно в разделе 7.5;
• собственный шум усилителя — его снижают выбором транзисторов и режима входного каскада, чему и посвящена большая часть этого раздела.

Порядок действий отсюда очевиден: сначала избавиться от устранимых помех и выжать минимум шума из входного каскада, и лишь потом браться за усреднение. В узком смысле «шумом» называют случайный сигнал физического (обычно теплового) происхождения; чтобы описать его, достаточно трёх вещей — спектра (как мощность распределена по частотам), закона распределения мгновенных значений и механизма возникновения.

Тепловой шум: резистор, который «кипит»

Возьмите любой резистор, не подключайте к нему ничего и поместите в комнату. Электроны в нём участвуют в тепловом движении, их случайное перераспределение создаёт на выводах переменное напряжение. Его спектр горизонтален — на каждый герц приходится одинаковая мощность, и так до очень высоких частот, — поэтому шум называют белым. Эффективное значениеЭффективное (среднеквадратичное) значение $\sqrt{\overline{U^2}}$ — постоянное напряжение, которое грело бы резистор так же. У синусоиды $A/\sqrt{2}$. в полосе $B$:

Как понимать «в полосе $B$»: представьте идеальный бесшумный фильтр, пропускающий без ослабления всё между двумя частотами, отстоящими на $B$, и ничего за их пределами. Подключите к нему резистор — на выходе фильтра вольтметр покажет как раз это значение. Для прикидок при комнатной температуре (20 °С = 293 К) пригодятся два числа:

Подставим. Резистор 10 кОм даёт 12,7 нВ/√Гц, и если слушать его в полосе 10 кГц, получится 1,27 мкВ эффективного шума. Мегаом в полосе всего 1 кГц шумит уже на уровне 4 мкВ — вполне сравнимо с сигналом многих датчиков.

Шумящий резистор — это настоящий генератор с внутренним сопротивлением, равным самому $R$. Значит, его можно заменить бесшумным резистором той же величины с последовательным источником шумового напряжения $\sqrt{4kTR}$ — или, по теореме НортонаЭквивалент Нортона — источник тока $I_{кз}$ с параллельным сопротивлением $R_{экв}$; снаружи неотличим от эквивалента Тевенина., с параллельным источником шумового тока $\sqrt{4kT/R}$. Какую модель взять, решает удобство: при малых сопротивлениях проще думать о напряжении, при больших — о токе.

Что покажет осциллограф? Мгновенное напряжение шума предсказать нельзя, но статистика у него строгая — нормальный закон. Вероятность застать напряжение в интервале от $U$ до $U+dU$ равна

а эффективное значение играет роль стандартного отклонения $\sigma$. Из таблиц нормального распределения следуют рабочие правила: за пределы $\pm 2U_{\text{эфф}}$ шум выходит примерно 4,6 % времени, за $\pm 3U_{\text{эфф}}$ — 0,27 %, за $\pm 4U_{\text{эфф}}$ — всего 0,006 %. Поэтому размытая «дорожка» шума на экране, если оценивать её ширину на глаз, составляет 6–8 эффективных значений — правило, которым мы воспользуемся при измерениях в разделе 7.4.

Главное о тепловом шуме: он задаёт нижнюю границу шума всякого датчика, источника сигнала или усилителя, где есть хоть какое-то сопротивление. Шумит активная составляющая внутреннего сопротивления источника, шумят резисторы смещенияСмещение — постоянный режим транзистора (ток покоя, напряжения на выводах), при котором он работает в активном режиме в течение всего периода сигнала. и нагрузки; никакой схемотехникой этот вклад не убрать.

У этой неизбежности глубокая причина. Физики называют её флуктуационно-диссипационной теоремойФлуктуационно‑диссипационная теорема: любой механизм, рассеивающий энергию (сопротивление, вязкое трение), обязательно порождает флуктуации — шум.: всё, что рассеивает энергию, обязательно и «трясётся». Вязкость воды тормозит пылинку — и та же вода толкает её случайными ударами (броуновское движение); электрическое сопротивление превращает ток в тепло — и то же сопротивление порождает шум Джонсона.

Дробовой шум: ток из отдельных зарядов

Представьте дождь, стучащий по жестяной крыше: в среднем капель в секунду сколько-то, но точное их число за каждую секунду разное. Ток устроен так же — это поток отдельных электронов, и число зарядов, прошедших за заданное время, флуктуирует. Если носители движутся независимо друг от друга, флуктуации тока имеют эффективное значение

Флуктуации растут медленнее самого тока — как корень из него, — поэтому относительный шум $I_{\text{ш}}/I_0=\sqrt{2qB/I_0}$ тем больше, чем ток меньше. Посмотрим, что это значит в полосе 1 кГц: ампер дрожит всего на 18 нА, микроампер — на 18 пА (0,0018 %, или −95 дБ), а пикоампер — на 18 фА, т. е. почти на 2 %. Малые токи по-настоящему «зернисты». По характеру дробовой шумДробовой шум — флуктуации тока, вызванные тем, что заряд переносится отдельными порциями $q$: $I_{\text{ш}}=\sqrt{2q{I}_{0}B}$. В полную силу проявляется, когда носители пересекают барьер независимо друг от друга (p‑n‑переход, фотодиод). похож на тепловой: тоже белый и тоже гауссовский.

Формула верна при одном условии — независимости носителей. Так ведут себя заряды, которые преодолевают потенциальный барьер диффузией, как в p-n-переходе или фотодиодеФотодиод — диод, обратный ток которого пропорционален падающему свету; быстрый (наносекунды), но ток мал.. В металлическом проводнике движения электронов сильно скоррелированы, и ток простой резистивной цепи шумит гораздо меньше, чем даёт $\sqrt{2q{I}_{0}B}$.

Есть и схемотехническое исключение, о котором стоит помнить: транзисторный источник тока с резистором в эмиттере. Отрицательная обратная связьОтрицательная обратная связь (ООС) — часть выхода подаётся на вход так, что вычитается из входного сигнала. Усиление падает, зато схема становится линейной и предсказуемой. через этот резистор следит за током коллектора и гасит его флуктуации, так что дробовой шум выходного тока почти исчезает.

Шум 1/f: избыточный, но вездесущий

Тепловой и дробовой шумы — плата за саму физику, её не обойти: прецизионный резистор за сотни рублей шумит тепловым шумом ровно так же, как копеечный угольный того же номинала. Но реальные детали добавляют сверх этого избыточные шумы, и вот тут качество компонентов решает многое.

В резисторе избыточный шумИзбыточный шум резистора — добавка сверх теплового шума, появляющаяся, когда через резистор идёт ток: сопротивление слегка «дышит», и шум растёт пропорционально приложенному напряжению; спектр близок к $1/f$. — это флуктуации самого сопротивления. Пока тока нет, их не видно; пропустите постоянный ток — и шумовое напряжение окажется пропорциональным приложенному напряжению. Сильнее всего влияет материал резистивного слоя и особенно качество контактов на его концах. Удобная мера — эффективный шум в микровольтах на каждый вольт приложенного напряжения, измеренный в одной декаде частот:

• объёмные углеродные (композитные) резисторы — от десятых долей до единиц мкВ/В;
• углеродистые плёночные — 0,05–0,3;
• металлоплёночныеМеталлоплёночный резистор — тонкая плёнка металла на керамике; обычный допуск 1 %, ТКС около 50 ppm/°C, лучшие — единицы ppm/°C. — 0,02–0,2;
• проволочные — от 0,01.

Спектр избыточного шума спадает примерно как $1/f$. Это значит, что каждая декада (и каждая октава) частот несёт одну и ту же мощность, а плотность напряжения убывает на 3 дБ при удвоении частоты; такой шум называют «розовым». Мощность в полосе от $f_1$ до $f_2$ получается интегрированием:

Отсюда неприятное следствие для измерений постоянных и медленных величин: расширяя полосу вниз, к долям герца, мы каждую декаду добавляем ту же порцию мощности, и шум $1/f$ никогда «не кончается». На практике его ограничивает лишь время наблюдения.

Удивительно, но спектр $1/f$ встречается повсюду. В электронике так шумит ток базы транзистора и катодный ток лампы; за её пределами — скорость океанских течений, струйка песка в песочных часах, транспортные потоки, многовековые колебания стока Нила и даже громкость классической музыки. Единой теории этого явления нет, хотя в каждом конкретном случае причину обычно удаётся найти.

Помехи как особый вид «шума»

В широком смысле шумом можно считать и любой посторонний сигнал. Тогда и спектр, и распределение амплитуд определяются его источником. Сетевая наводка выглядит как частокол узких линий на 50 Гц и гармониках при почти постоянной амплитуде. Искровое зажигание автомобиля, грозы и коммутация мощных нагрузок дают широкий спектр и редкие, но большие выбросы.

Перечень виновников знаком каждому: радио- и телепередатчики (особенно в больших городах), моторы, лифты, метро, выключатели, импульсные источники питания, телевизоры. Если расширить понятие ещё дальше, сюда попадёт любое постороннее воздействие на измеряемую величину: оптический интерферометр боится вибраций, ЯМР-спектрометр — внешних радиосигналов, а многие схемы, датчики и даже кабели откликаются на звук и тряску («микрофонный эффект»).

Против большинства помех хватает экранов и фильтров (раздел 7.5), но в особо чувствительных лабораториях идут на крайние меры: виброизолированные каменные столы, термостатированныеТермостатирование — прибор держат при постоянной повышенной температуре (датчик + нагреватель), и внешняя температура почти перестаёт на него влиять. комнаты, безэховые и экранированные камеры.

7.3.2Как сравнивать шумы: С/Ш, коэффициент шума, шумовая температура

Как сравнить шум усилителя с усилением 10 и усилителя с усилением 10 000? Выходной шум второго, конечно, больше, но это ничего не говорит о его качестве. Поэтому шум принято приводить ко входу: делить выходной шум на усиление и спрашивать, какой шум на входе бесшумного усилителя дал бы тот же выход. Теперь шум усилителя можно положить рядом с шумом источника, и сравнение становится честным. Это естественно и физически: львиная доля шума рождается во входном каскаде. Дальше, если не оговорено иное, все шумы приведены ко входу.

Плотность шума и полоса

Сколько шума вы намерите, зависит от того, в какую «форточку» смотрите: чем шире полоса, тем больше видно. Кроме того, результат зависит от источника ($R$, $T$). Чтобы отделить свойство шума от условий измерения, вводят спектральную плотностьСпектральная плотность шума $e$ — эффективное напряжение шума, приходящееся на полосу 1 Гц, в В/√Гц. Для белого шума в полосе $B$ напряжение равно $e\sqrt{B}$. — эффективное напряжение на корень из герца — и её квадрат:

Для резистора $e_R=\sqrt{4kTR}$, $e_R^2=4kTR$, а в полосе $B$ — $U_{\text{ш.эфф}}=e_R\sqrt{B}$ и $U_{\text{ш.эфф}}^2=e_R^{2}B$. Договоримся о письме: строчные буквы — плотности, прописные — величины в полосе; переходят от одних к другим умножением на $\sqrt{B}$ (или на $B$ для квадратов).

В паспортах приводят графики $e$ в нВ/√Гц (реже $e^2$ в В²/Гц) и шумового тока $i$ в пА/√Гц. У белого шумаБелый шум — мощность на герц одинакова во всей полосе; гауссов — мгновенные значения распределены по нормальному закону. Таков тепловой шум резистора. график горизонтален, у розового — падает на 3 дБ на октаву.

Теперь главное правило арифметики шумов. Если два сигнала некоррелированы (два независимых шума или сигнал и шум), складываются не их эффективные значения, а квадраты:

Практический вывод сильнее, чем кажется: шум, который втрое слабее главного, увеличивает сумму всего на 5 %. Значит, бороться надо только с самым сильным источником шума, а остальные до поры можно не трогать.

Отношение сигнал/шум

Здесь оба значения эффективные, а полоса (и её положение на оси частот) обязательно оговаривается. Сигналом может быть синусоида, модулированная несущая и даже сигнал, сам похожий на шум.

Коэффициент шума

Даже идеальный усилитель не сделает сигнал чище, чем он был у источника: любой реальный источник шумит хотя бы тепловым шумом своего внутреннего сопротивления $R_{\text{и}}$ (точнее, его активной части). Поэтому разумно оценивать усилитель по тому, насколько он ухудшает исходную картину. Это и есть коэффициент шумаКоэффициент шума (КШ) — на сколько децибел усилитель поднимает шум источника с сопротивлением $R_{\text{и}}$: $10\lg (1+e_{\text{у}}^2/4kT{R}_{\text{и}})$. 0 дБ — бесшумный усилитель, 3 дБ — усилитель шумит столько же, сколько источник. (КШ): отношение в децибелахДецибел — логарифмическая мера отношения: $20\lg (U_2/U_1)$ по напряжению, $10\lg (P_2/P_1)$ по мощности. +6 дБ — напряжение вдвое, +20 дБ — в 10 раз. выходного шума реального усилителя к выходному шуму идеального, бесшумного, с тем же усилением, когда на вход подключён только резистор $R_{\text{и}}$ при комнатной температуре.

В этой формуле $e_{\text{у}}^2$ — квадрат плотности шума, который выдал бы сам усилитель, если бы резистор на его входе был «холодным», не шумящим. И очень важно, при каком $R_{\text{и}}$ всё это сказано: шум усилителя, как выяснится в следующем пункте, сильно зависит от сопротивления источника. Один и тот же усилитель с $e_{\text{у}}$ = 3 нВ/√Гц даёт на источнике 50 Ом около 11 дБ, а на источнике 100 кОм — сотые доли децибела.

Поэтому КШ транзисторов задают не одним числом, а картами линий равного КШ на плоскости «частота — $R_{\text{и}}$» или «ток коллектора — $R_{\text{и}}$», либо семействами кривых.

И ещё оговорка. Формула предполагает, что входное сопротивление усилителя много больше $R_{\text{и}}$. В радиочастотной технике обычно работают в согласованном режиме, $R_{\text{и}}=Z_{\text{вх}}=50$ Ом; тогда КШ определяют через напряжения на согласованном входе, и во всех выражениях множитель 4 просто исчезает.

Чтобы не запутаться, надёжнее всего считать прямо отношение С/Ш для данного сигнала и сопротивления источника. Связь С/Ш с КШ в полосе $B$ (сигнал $v_{\text{с}}$ — эффективное значение) такая:

Первое слагаемое — С/Ш самого источника, выше которого не прыгнешь; второе — сколько у него отнял усилитель.

Шумовая температура

Ту же информацию можно упаковать в шумовую температуру $T_{\text{ш}}$. Мысленный эксперимент из двух шагов. Сначала охладим резистор источника до абсолютного нуля, чтобы он не шумел, и посмотрим на выход реального усилителя — какой-то шум там есть (левая половина схемы ниже). Затем, наоборот, сделаем бесшумным усилитель, а резистор источника будем греть до тех пор, пока шум на выходе не станет прежним (правая половина). Температура, до которой пришлось нагреть резистор, и есть шумовая температура усилителя при данном $R_{\text{и}}$: $4k{T}_{\text{ш}}{R}_{\text{и}}=e_{\text{у}}^2$. Подставив это в определение КШ, получим пару взаимно обратных формул:

У хороших малошумящих усилителей $T_{\text{ш}}$ намного ниже комнатной — их КШ гораздо меньше 3 дБ. Шумовой температурой особенно любят пользоваться радиоастрономы и СВЧ-инженеры: их источники (небо, антенна, направленная вверх) сами холодные, и говорить о десятках кельвинов там естественнее, чем о долях децибела.

7.3.3Два генератора шума: модель транзисторного каскада

Как описать шум усилителя так, чтобы потом предсказать его поведение с любым источником? Опыт показывает, что достаточно двух чисел (точнее, двух функций частоты). Будем считать сам транзистор или усилитель идеальным, бесшумным, а весь его шум «вынесем» на вход двумя генераторами, как на схеме ниже: шумовое напряжение $e_{\text{ш}}$ стоит последовательно с сигналом, шумовой ток $i_{\text{ш}}$ втекает во вход.

Почему двух генераторов нужно именно два, видно из простого опыта. Закоротите вход — останется только $e_{\text{ш}}$. Подключите большой резистор — шумовой ток, протекая через него, создаст добавочное напряжение $i_{\text{ш}}{R}_{\text{и}}$, которое быстро обгонит $e_{\text{ш}}$. В общем случае шум, который усилитель добавляет к сигналу (приведённый ко входу), равен

Слагаемые обычно независимы, поэтому под корнем стоят квадраты. Порядки величин у транзисторов такие: $e_{\text{ш}}$ — единицы нановольт на корень из герца, $i_{\text{ш}}$ — доли пикоампера на корень из герца. Значит, граница между «царством $e_{\text{ш}}$» и «царством $i_{\text{ш}}$» проходит где-то на килоомах — десятках килоом.

Шумовое напряжение $e_{\text{ш}}$

Откуда у биполярного транзистора берётся шумовое напряжение в цепи базы? Из двух белых гауссовских источников. Первый — тепловой шум объёмного сопротивления базыОбъёмное сопротивление базы $r_{\text{б}}$ — сопротивление полупроводника между выводом базы и активной областью транзистора; его тепловой шум $\sqrt{4kT{r}_{\text{б}}}$ ограничивает $e_{\text{ш}}$ снизу. $r_{\text{б}}$, через которое сигнал пробирается к активной области. Второй хитрее: дробовой шум коллекторного тока $\sqrt{2q{I}_{\text{К}}}$ течёт через дифференциальное сопротивлениеДифференциальное (динамическое) сопротивление стабилитрона $r_{\text{д}}=\Delta U/\Delta I$ — наклон его характеристики в рабочей точке: на сколько вольт сдвигается напряжение на ампер изменения тока. эмиттера $r_{\text{э}}=kT/q{I}_{\text{К}}$, и если пересчитать его ко входу, получится напряжение $r_{\text{э}}\sqrt{2q{I}_{\text{К}}}$. Сумма квадратов:

Второе слагаемое убывает с током, первое от тока не зависит. Поэтому $e_{\text{ш}}$ ведёт себя так: при малых токах он велик (растёт $r_{\text{э}}$, а с ним и пересчитанный дробовой шум), при росте тока падает и выходит на «полку» $\sqrt{4kT{r}_{\text{б}}}$. При очень больших токах на низких частотах он снова подрастает — ток базы, текущий через $r_{\text{б}}$, приносит фликкер-шумФликкер‑шум (шум $1/f$) — избыточный шум, спектральная плотность мощности которого обратно пропорциональна частоте; на любую декаду приходится одна и та же мощность. Хозяйничает на низких частотах..

Где начинается полка? Слагаемые сравниваются при $I_{\text{К}}=kT/(2q{r}_{\text{б}})$. Дальше наращивать ток почти бесполезно — шум уже определяет $r_{\text{б}}$. Вот почему у лучших малошумящих транзисторов делают особую топологию с базовым сопротивлением в единицы ом и получают $e_{\text{ш}}$ ниже 1 нВ/√Гц.

Для ориентира: у распространённого малошумящего p-n-p транзистора (класса 2N5087, $r_{\text{б}}\approx 100$ Ом) выше 10 кГц шумовое напряжение около 5 нВ/√Гц при токе 10 мкА и около 2 нВ/√Гц при 100 мкА — формула даёт то же самое.

Шумовой ток $i_{\text{ш}}$

Шумовой ток биполярного транзистора — это прежде всего дробовой шум постоянного тока базы; к нему, как и к шумовому напряжению, примешивается фликкер-шум:

Белая дробовая часть растёт как $\sqrt{I_{\text{К}}}$; фликкерная растёт с током быстрее и имеет спектр $1/f$, так что на низких частотах шумовой ток заметно увеличивается. У того же транзистора класса 2N5087 выше 10 кГц: около 0,1 пА/√Гц при 10 мкА и около 0,4 пА/√Гц при 100 мкА.

Итог, на котором держится вся схемотехника малошумящих каскадов: увеличивая ток коллектора, мы уменьшаем шумовое напряжение, но увеличиваем шумовой ток. Значит, у каждого источника есть свой наилучший ток — посмотрите на графики ниже.

Слева — шумовое напряжение, справа — шумовой ток модельного малошумящего транзистора (β = 250, r_б = 100 Ом) на частотах, где шум уже белый. Пунктир слева — тепловой шум r_б: ниже него e_ш не опустится ни при каком токе.

7.3.4Малошумящий каскад на биполярном транзисторе: выбор режима

Раз два шума ведут себя противоположно, ток коллектора можно оптимизировать под конкретный источник. Расчётная модель показана ниже: «бесшумный» сигнал $u_{\text{с}}$ сопровождается тепловым шумом сопротивления источника $e_R^2=4kT{R}_{\text{и}}$, а усилитель добавляет к нему

Кроме очень высоких частот, шумы некоррелированы, и квадраты складываются. Сопротивление источника задано — значит, задача сводится к выбору тока, при котором сумма в правой части минимальна. Берут из паспорта графики $e_{\text{ш}}(I_{\text{К}})$ и $i_{\text{ш}}(I_{\text{К}})$ на частоте сигнала и перебирают ток. Ещё удобнее, если производитель даёт карту линий равного КШ на плоскости $(I_{\text{К}},R_{\text{и}})$: оптимальный ток читается с неё сразу.

Считаем на примере

Пусть нужно усиливать сигнал около 1 кГц от индукционного датчика с сопротивлением 5 кОм, а во входном каскаде стоит модельный транзистор с графиков выше (β = 250, $r_{\text{б}}$ = 100 Ом). Переберём несколько токов:

Минимум приходится на 50–100 мкА, где шумовое напряжение и шумовой ток на сопротивлении источника сравнялись. Сам КШ считаем по формуле

Например, при 100 мкА:

Обратите внимание, насколько пологий минимум: между 50 и 100 мкА разница в сотые доли децибела. Поэтому разумно взять ток чуть меньше расчётного — на низких частотах шумовой ток растёт из-за составляющей $1/f$, и оптимум там смещается вниз. Кстати, по картам линий равного КШ такие тонкости не разглядеть: они говорят лишь «меньше 1 дБ», а расчёт по $e_{\text{ш}}$ и $i_{\text{ш}}$ точнее.

А что будет, если тот же транзистор включить повторителем или каскадом с общей базойКаскад с общей (заземлённой) базой — вход на эмиттер, выход с коллектора; база закреплена, поэтому эффекта Миллера нет.? При тех же $R_{\text{и}}$ и $I_{\text{К}}$ КШ почти не изменится — генераторы $e_{\text{ш}}$ и $i_{\text{ш}}$ остались прежними. Но у повторителя есть подвох: он не усиливает напряжение, а значит, шумы следующих каскадов никуда не делись и по-прежнему заметны.

Графический метод: шум на одном листе

Расчёт прост, но в нём легко споткнуться — забыть квадрат или поставить постоянную Больцмана не туда и получить усилитель с КШ в 10 000 дБ. Гораздо надёжнее и нагляднее нарисовать всё на логарифмической сетке, где по горизонтали откладывают $R_{\text{и}}$. Выбирают частоту, берут $e_{\text{ш}}$ и $i_{\text{ш}}$ при выбранном токе и строят:

Самая полезная линия на этом листе — тепловой шум источника: там, где кривая усилителя $e_{\text{у}}$ идёт ниже неё, усилитель шумит меньше источника, и КШ меньше 3 дБ. Линии других КШ — параллельные ей прямые: для КШ = $F$ дБ шум усилителя не должен превышать $\sqrt{4kT{R}_{\text{и}}(10^{F/10}-1)}$.

Пример на графике ниже: $e_{\text{ш}}$ = 2 нВ/√Гц и $i_{\text{ш}}$ = 0,4 пА/√Гц (типичный биполярный каскад при сотне микроампер). Пересечение асимптот — при $R_{\text{и}}$ = 5 кОм, здесь же лучший КШ, около 0,41 дБ. Кривая $e_{\text{у}}$ уходит под линию теплового шума в диапазоне примерно от 250 Ом до 100 кОм — это область, где КШ меньше 3 дБ. На тот же лист удобно наносить кривые для других токов, частот и приборов — и сравнивать их одним взглядом.

Шумовое сопротивление

Минимум КШ получился при $R_{\text{и}}=e_{\text{ш}}/i_{\text{ш}}$. Это отношение называют шумовым сопротивлением $R_{\text{ш}}$. Если подставить его в формулу КШ, выходит наименьший КШ, на который способен данный прибор при данном токе:

Не ищите шумовое сопротивление на схеме или внутри транзистора — его там нет. Это просто координата точки, где пересекаются линии $e_{\text{ш}}$ и $i_{\text{ш}}{R}_{\text{и}}$, т. е. то сопротивление источника, с которым прибор работает лучше всего.

Идеал проектировщика — подогнать $R_{\text{ш}}$ к реальному $R_{\text{и}}$. Рычаг для этого — ток коллектора: $e_{\text{ш}}\propto 1/\sqrt{I_{\text{К}}}$, $i_{\text{ш}}\propto \sqrt{I_{\text{К}}}$, а значит, $R_{\text{ш}}\propto 1/I_{\text{К}}$.

Кто тише: биполярный транзистор или полевой?

Спор старый, и лучший судья в нём — тот же логарифмический лист. Нарисуем семейство кривых для биполярной пары со сверхвысоким β при токах от 1 мкА до 1 мА: при большом токе у неё малое $e_{\text{ш}}$ и малое $R_{\text{ш}}$, при малом — наоборот, кривая уезжает вправо. Рядом — ПТ с p-n-переходомПолевой транзистор, у которого затвор образует с каналом p-n-переход, смещённый в обратном направлении. Всегда обеднённого типа: при $U_{ЗИ}=0$ проводит ток $I_{Снач}$.: шумовое напряжение у него заметнее, зато шумовой ток ничтожен (фемтоамперы), и $R_{\text{ш}}$ измеряется мегаомами.

Вердикт выходит двойственный:

• при больших сопротивлениях источника ПТ вне конкуренции: в нашей модели около 0,03 дБ при 100 кОм, тысячные доли децибела при мегаоме и порядка 0,1 дБ даже при сотне мегаом;
• при малых $R_{\text{и}}$ побеждает биполярный транзистор: на источнике 1 кОм при правильно выбранном токе (около 0,7 мА) он даёт менее 0,3 дБ, а ПТ с его 3,5 нВ/√Гц — около 2,5 дБ.

Формально биполярный транзистор мог бы удерживать КШ около $10\lg (1+1/\sqrt{\beta })$ и на высокоомных источниках — для этого ток пришлось бы снизить до долей микроампера и наноампер. Но там β падает, а шум $1/f$ и утечки берут своё, так что на практике это не работает.

В этом соревновании есть и рекордсмены. КомплементарныеКомплементарные приборы — пара транзисторов противоположной полярности с зеркальными характеристиками: n-p-n и p-n-p, n- и p-канальный МОП. ПТ с p-n-переходом с ячеистой структурой затвора (классов 2SK147/2SJ72) при токе стока 10 мА имеют $e_{\text{ш}}\approx 0,7$ нВ/√Гц — как тепловой шум резистора на 30 Ом! — при всё ещё малом шумовом токе, так что их $R_{\text{ш}}$ около 10 кОм, а шумовая температура на таком источнике — порядка 2 К.

Платить приходится ёмкостями: входная около 85 пФ и проходная 15 пФ, что мешает на высоких частотах. Биполярные пары с базовым сопротивлением в единицы ом добираются до $e_{\text{ш}}\approx 0,55$ нВ/√Гц.

Источник на десятки ом: зовём трансформатор

Биполярные усилители хорошо работают с источниками от 200 Ом до 1 МОм; оптимальный ток при этом лежит в пределах от нескольких миллиампер до микроампера — как правило, меньше, чем ставят в каскадах, о шуме не заботящихся. Но с совсем низкоомным источником (скажем, 50 Ом) всегда побеждает $e_{\text{ш}}$, и КШ получается плохим.

Выход — поставить перед усилителем повышающий трансформатор. Он поднимает в $n$ раз напряжение сигнала и в $n^2$ раз — сопротивление источника; для усилителя вторичная обмотка выглядит как новый, более «сильный» и более высокоомный источник, ближе к его шумовому сопротивлению. Тепловой шум источника тоже растёт в $n$ раз, так что собственное С/Ш источника не меняется — меняется лишь то, сколько добавляет усилитель. Скажем, ПТ-усилитель с $e_{\text{ш}}$ = 4 нВ/√Гц на источнике 200 Ом даёт КШ около 7,8 дБ; через трансформатор 1 : 20 (источник становится 80 кОм) — около 0,05 дБ.

Хороший трансформатор легко сделать на радиочастотах, примерно от 100 кГц: годятся и узкополосные, и широкополосные «трансформаторы на линиях». На звуковых и более низких частотах это трудно. Держите в голове три вещи:

1. напряжение растёт пропорционально коэффициенту трансформации $n$, а сопротивление — как $n^2$ (удвоили напряжение — учетверили сопротивление источника);
2. трансформатор далёк от идеала: на низких частотах насыщается сердечник, на высоких мешают ёмкость и индуктивность рассеяния обмоток, а потери в сердечнике и сопротивление обмоток есть всегда — и последнее само шумит;
3. и ещё раз: не «улучшайте» низкоомный источник последовательным резистором — это та же ловушка с коэффициентом шума, что и выше.

Для предельно малых сигналов от низкоомных источников применяют охлаждаемые и сверхпроводящие трансформаторы, а также СКВИДыСКВИД — сверхпроводящий квантовый интерферометр, сверхчувствительный датчик магнитного потока; с ним измеряют напряжения порядка $10^{-15}$ В. — сверхпроводящие квантовые интерферометры, которым под силу напряжения порядка $10^{-15}$ В.

Источник на сотни килоом и выше: время ПТ

При сопротивлениях источника больше примерно 100 кОм у биполярного транзистора начинает доминировать шумовой ток, и лучший выбор — ПТ. Шумовое напряжение у него обычно больше, но ток затвора и его шум ничтожно малы. Для высокоомных источников удобно и сам тепловой шум источника представлять шумовым током $i_R=e_R/R_{\text{и}}=\sqrt{4kT/R_{\text{и}}}$ — тогда его можно сравнивать прямо с $i_{\text{ш}}$ усилителя. Источник 1 МОм «шумит током» 0,13 пА/√Гц, источник 100 МОм — 13 фА/√Гц; биполярный транзистор с его десятыми долями пикоампера здесь явно лишний.

7.3.5Шум полевых транзисторов

Полевой транзисторПолевой транзистор (ПТ) — затвор управляет током канала сток — исток напряжением; ток затвора — лишь утечка (пикоамперы). описывается той же парой генераторов — шумового напряжения последовательно со входом и шумового тока, втекающего в затвор. Поэтому всё, что мы делали с биполярным транзистором (формулы, логарифмический лист, шумовое сопротивление), годится и здесь. Разница — в физике генераторов.

Шумовое напряжение ПТ с p-n-переходом

Канал полевого транзистора — это, по сути, резистор, управляемый затвором, и шумит он тепловым шумом. Если пересчитать этот шум ко входу, получится

В роли «шумящего сопротивления» здесь выступает $1/g_m$ с множителем 2/3. Крутизна растёт с током стока как $\sqrt{I_{\text{С}}}$, так что увеличивать ток выгодно — но выигрыш скромен: $e_{\text{ш}}\propto 1/\sqrt{g_m}\propto I_{\text{С}}^{-1/4}$. А большой ток кое-что портит. Транзистор греется, и в результате:

• (а) крутизна $g_m$ снижается;
• (б) растёт дрейф напряжения сдвигаВходное напряжение сдвига $U_{сдв}$ — разность входных напряжений, при которой выход ОУ равен нулю; как батарейка в несколько милливольт последовательно со входом. и падает КОСС;
• (в) резко, вдвое на каждые ~10 °С, растёт ток утечки затвора — а он способен добавить фликкер-шум и в $e_{\text{ш}}$.

Есть обходной путь — включить параллельно несколько согласованных ПТ. Два транзистора при удвоенном токе дают удвоенную крутизну. Интереснее, если сохранить прежний суммарный ток: каждый транзистор работает при половинном токе, его крутизна меньше в $\sqrt{2}$ раз, но вместе они дают крутизну в $\sqrt{2}$ раз больше одного. На этом принципе устроены и ПТ с ячеистой (многоячейковой) структурой.

За параллельное включение платят ёмкостью: ёмкости всех транзисторов складываются, и ухудшается всё, что связано с высокими частотами, включая КШ на них. Разумный предел — пока входная ёмкость усилителя не сравнялась с ёмкостью самого источника.

Для высоких частот ищут ПТ с большим отношением $g_m/C_{\text{вх}}$; помогает и схемотехника — каскодноеКаскод — транзистор с закреплённой базой над усилительным: держит напряжение на коллекторе нижнего неизменным; убирает эффект Эрли и эффект Миллера. включение устраняет эффект Миллера для ёмкости затвор — сток.

А МОП-транзисторы? По шумовому напряжению они заметно хуже ПТ с p-n-переходом, и шум $1/f$ у них господствует вплоть до 10–100 кГц. Поэтому во входных каскадах малошумящих усилителей на частотах ниже примерно 1 МГц их обычно не ставят.

Шумовой ток ПТ с p-n-переходом

На низких частотах шумовой ток крошечный: это всего лишь дробовой шум тока утечки затвора.

У части транзисторов к нему добавляется фликкер-шум. Утечка растёт с температурой, а с ней и шумовой ток; кроме того, у n-канальных ПТ утечка резко увеличивается при больших напряжениях сток — затвор (об этом эффекте — в разделе 3.1).

С ростом частоты появляется ещё одна, менее очевидная составляющая. Пусть нагрузка стока содержит ёмкость — например, монтажную илиМонтажная логика — соединение нескольких выходов с открытым коллектором на общий резистор подвески: линия в «0», если в «0» хоть один выход. вход следующего каскада. Тогда сигнал на стоке сдвинут по фазе, и через проходную ёмкость $C_{\text{ЗС}}$ (эффект Миллера) во входной проводимости появляется активная часть — то есть настоящее сопротивление, которое, как всякое сопротивление, шумит.

Для нагрузки $R_{\text{н}}\parallel C_{\text{н}}$ входная проводимость равна $Y=j\omega C_{\text{ЗС}}(1+g_m{Z}_{\text{н}})$; выделив её действительную часть, получим