Навык · Алгебра, 9 класс

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Формула суммы и частые подвохи со знаменателем.

Правило за 30 секундПри q ≠ 1 сумма Sₙ = b₁(qⁿ − 1)/(q − 1). При q = 1 все члены равны и Sₙ = n·b₁. В формуле стоит qⁿ, а не qⁿ⁻¹: степень равна числу слагаемых.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Каждый день сумма на счёте удваивается: 2, 4, 8, 16… Члены умножаются на одно и то же число $q$ — это геометрическая прогрессия. Её сумму не нужно складывать вручную: есть формула.

При

q = 2

2 + 4 + 8 + 16 = 32 - 2

. Общая формула ниже

Практика ›закрепить задачами по теме

Формула суммы

S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}, q \neq = 1

сумма первых

n

членов

$b_{1}$ — первый член, $q$ — знаменатель (во сколько раз следующий член больше предыдущего), $n$ — число слагаемых. Ту же формулу пишут и так: $S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ — удобнее при $q < 1$ .

При $q = 1$ все члены равны $b_{1}$ , и $S_{n} = n \cdot b_{1}$ .

Подробнее: откуда формула

$S_{n} = b_{1} + b_{1} q + \dots + b_{1} q^{n - 1}$ . Умножим на $q$ : $q S_{n} = b_{1} q + \dots + b_{1} q^{n}$ . Вычтем: $q S_{n} - S_{n} = b_{1} q^{n} - b_{1}$ , откуда $S_{n} = \frac{b _{1} ( q ^{n} - 1 )}{q - 1}$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Разберём задания

$b_{1} = 6$ , $q = 2$ . Найдём $S_{6}$ .

$q^{6} = 2^{6} = 64$ .
$S_{6} = \frac{6 ( 64 - 1 )}{2 - 1} = 6 \cdot 63 = 378$ .

$b_{1} = 2$ , $q = 2$ : $S_{4} = \frac{2 ( 2 ^{4} - 1 )}{1} = 2 \cdot 15 = 30$ (совпадает с рисунком).

$b_{1} = 3$ , $q = - 2$ : $S_{4} = \frac{3 ( ( - 2 ) ^{4} - 1 )}{- 2 - 1} = \frac{3 \cdot 15}{- 3} = - 15$ . Проверка: $3 - 6 + 12 - 24 = - 15$ ✓

В формуле суммы степень $q^{n}$ — по числу слагаемых, а не $q^{n - 1}$ , как в формуле члена. Для $b_{1} = 3$ , $q = 2$ , $n = 5$ : верно $3 (2^{5} - 1) = 93$ , а не $3 (2^{4} - 1) = 45$ .

$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$ — «один член, степень на 1 меньше номера»; $S_{n}$ — « $n$ слагаемых, степень $n$ ».

Навык — часть темы «Геометрическая прогрессия». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Сумма первых n членов геометрической прогрессии

Простыми словами

Формула суммы

Разберём задания

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю