Навык · Алгебра, 9 класс

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и её сумма

Когда у бесконечной прогрессии есть сумма и как её найти.

Правило за 30 секундПрогрессия бесконечно убывающая, если |q| < 1. Её сумма S = b₁/(1 − q). При |q| ≥ 1 конечной суммы нет.

Родителю: как помочь с темой «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и её сумма»

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

В помощь родителям: успеваемость ребёнка по коду →

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Съедим половину шоколадки, потом половину остатка, потом половину нового остатка… Кусочков бесконечно много, но вместе они дают ровно одну шоколадку. Так бесконечная сумма может быть обычным числом.

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots = 1

Каждый следующий кусок вдвое меньше:

b_{1} = \frac{1}{2}

q = \frac{1}{2}

, сумма

= 1

Практика ›закрепить задачами по теме

Правило

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы: $∣ q ∣ < 1$ .

S = \frac{b _{1}}{1 - q}, ∣ q ∣ < 1

сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Здесь $b_{1}$ — первый член, $q$ — знаменатель (на что умножаем, чтобы получить следующий член). При $∣ q ∣ < 1$ члены быстро стремятся к нулю, и сумма приближается к числу $S$ .

При $∣ q ∣ \geq 1$ члены не уменьшаются по модулю — конечной суммы нет.

Подробнее: откуда формула

Сумма первых $n$ членов: $S_{n} = \frac{b _{1} ( 1 - q ^{n} )}{1 - q}$ . При $∣ q ∣ < 1$ степень $q^{n}$ с ростом $n$ становится сколь угодно малой, поэтому $S_{n} \to \frac{b _{1}}{1 - q}$ .

Практика ›закрепить задачами по теме

Разберём задания

Найдём сумму прогрессии: $b_{1} = 45$ , $q = - \frac{1}{4}$ .

Проверяем условие: $- \frac{1}{4} = \frac{1}{4} < 1$ — сумма существует.
Знаменатель формулы: $1 - (- \frac{1}{4}) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ .
$S = 45 : \frac{5}{4} = 45 \cdot \frac{4}{5} = 36$ .

$b_{1} = 48$ , $q = - \frac{1}{5}$ : $S = \frac{48}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{48}{1 , 2} = 40$ .

Подставляйте $q$ со знаком. Для $b_{1} = 6$ , $q = - \frac{1}{2}$ неверно: $\frac{6}{1 - \frac{1}{2}} = 12$ . Верно: $\frac{6}{1 - ( - \frac{1}{2} )} = \frac{6}{1 , 5} = 4$ .

Проверка здравым смыслом: при $q < 0$ члены чередуют знак, и сумма меньше $b_{1}$ ; при $0 < q < 1$ — больше $b_{1}$ .

Навык — часть темы «Геометрическая прогрессия». Вся тема с теорией и заданиями →

Практика ›закрепить задачами по теме

Эта тема в учебнике — вся теория предмета за 9 класс ›

Серия: 0

Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и её сумма

Простыми словами

Правило

Разберём задания

Примеры заданий

Связанные навыки

Учителю