Плавание судов и воздухоплавание

Простыми словами

В воде легко поднять приятеля, которого на суше не оторвать от земли. Вода «помогает» — она выталкивает погружённое тело вверх. Эту силу называют выталкивающей, или архимедовой, в честь древнегреческого учёного Архимеда, открывшего закон.

Откуда она берётся: давление жидкости растёт с глубиной, поэтому снизу на тело давят сильнее, чем сверху. Разница и даёт силу, направленную вверх.

Закон Архимеда

где ${\rho }_{\text{ж}}$ — плотность жидкости (не тела!), кг/м³; $g\approx 9,8\text{ Н/кг}$; $V_{\text{погр}}$ — объём погружённой части тела, м³; $F_{\text{А}}$ — в Н.

Сила Архимеда не зависит от глубины погружения (если тело погружено целиком), от формы и вещества тела.

Условия плавания тел

На тело в жидкости действуют сила тяжести $F_{\text{т}}$ (вниз) и сила Архимеда $F_{\text{А}}$ (вверх). Для сплошного тела их сравнение сводится к сравнению плотностей.

Плавание судов и воздухоплавание

Стальное судно плавает, потому что внутри корпуса много воздуха: его средняя плотность меньше плотности воды. Плавающее судно вытесняет воду, вес которой равен весу судна с грузом:

Водоизмещение — вес воды, вытесняемой судном при погружении до ватерлинии (максимально допустимой осадки); оно равно весу судна с наибольшим грузом.

Воздушный шар поднимается, если сила Архимеда в воздухе больше силы тяжести шара: его наполняют газом легче воздуха (водород, гелий) или горячим воздухом.

Архимедова сила: опыты и следствия

• Причина силы — разность давлений жидкости на нижнюю и верхнюю грани тела. Если брусок плотно прижат ко дну и под ним нет воды, вода не давит снизу — выталкивающей силы нет.
• Сила действует и в газах (в воздухе). Измеряется в ньютонах. Зависит от плотности жидкости и объёма погружённой части; не зависит от глубины (при полном погружении), формы и плотности самого тела: на стальной и деревянный шарики одного объёма силы одинаковы; из брусков одной массы на алюминиевый (больший объём) сила больше. Погрузили наполовину — сила вдвое меньше.
• Вес в жидкости меньше веса в воздухе на величину архимедовой силы: $F_{\text{А}}=P_{\text{возд}}-P_{\text{ж}}$. Весит 10 Н в воздухе и 6 Н в воде — $F_{\text{А}}=10-6=4$ Н; динамометр в воде показывает меньше. «Ведёрко Архимеда» — прибор для опытной проверки закона; по легенде Архимед открыл закон, проверяя золотую корону царя Гиерона. Плотность жидкости измеряют ареометром.

Плавание: задачи-рассуждения

• У плавающего тела $F_{\text{А}}=F_{\text{т}}$: плавающий брусок — сила Архимеда равна его силе тяжести; одно и то же тело в пресной и солёной воде — силы равны, но в менее плотной жидкости (масле) оно погружено глубже. Плавать в солёной воде (Мёртвое море) легче: плотность больше; яйцо тонет в пресной воде и всплывает в крепком растворе соли.
• Лёд ($900$ кг/м³) в пресной воде погружён примерно на девять десятых — поэтому айсберги опасны: большая часть скрыта; в керосине ($800$ кг/м³) лёд тонет. В ртути ($13600$ кг/м³) свинец и сталь плавают, а золото ($19300$) тонет.
• Несмешивающиеся жидкости располагаются по плотности: внизу ртуть, выше вода, сверху масло (керосин). Стальной шарик окажется на поверхности ртути, лёд — на границе керосина и воды, пробка — на поверхности керосина.
• Рыба меняет объём плавательного пузыря (больше объём — больше архимедова сила) и держится на нужной глубине. Киты могут жить только в воде: вода поддерживает их тело. Пузырьки воздуха всплывают: архимедова сила много больше их силы тяжести. При точном взвешивании учитывают выталкивающую силу воздуха: на тело и гири разного объёма действуют разные силы.

Суда, подводные лодки, аэростаты

• Осадка — глубина погружения судна; ватерлиния — линия, до которой судно можно погружать при наибольшей допустимой загрузке (при перегрузке она уходит под воду); грузовые марки разные для разных вод и сезонов — плотность воды разная. Из реки в море осадка уменьшается, при выгрузке — тоже.
• Грузоподъёмность = водоизмещение − масса пустого судна: $27950-17750=10200$ т. Баржа с площадью сечения $S$ при погрузке массы $m$ садится глубже на $\Delta h=\frac{m}{{\rho }_{\text{в}}S}$: $\frac{100000}{1000\cdot 400}=0,25$ м.
• Пробоина опасна: вода заполняет корпус, средняя плотность растёт; переборки делят корпус на отсеки, чтобы вода заполнила лишь часть. Плавучий док притапливают, заводят судно, затем он всплывает. Плот плавает: брёвна вытесняют много воды, их плотность меньше плотности воды.
• Подводная лодка погружается, набирая воду в балластные цистерны ($F_{\text{т}}>F_{\text{А}}$), всплывает, вытесняя воду сжатым воздухом, «зависает», подобрав воду так, чтобы $F_{\text{т}}=F_{\text{А}}$.
• Аэростат: подъёмная сила — разность архимедовой силы и веса шара с грузом; без учёта оболочки $F=({\rho }_{\text{возд}}-{\rho }_{\text{газа}})gV$: гелий, 60 м³ — $(1,29-0,18)\cdot 9,8\cdot 60\approx 653$ Н. Первый аэростат с людьми — братья Монгольфье (1783); шары с горячим воздухом — монгольфьеры (горячий воздух менее плотный; если горелку выключить, воздух остывает и шар опускается). Чтобы подняться выше, сбрасывают балласт; чтобы опуститься — выпускают газ или охлаждают воздух. На высоте шар останавливается: плотность воздуха падает, и архимедова сила сравнивается с силой тяжести. Дирижабль — управляемый аэростат с двигателем и рулями.