Глава 9. Цифра и аналог: сопряжение, АЦП, ЦАП, ФАПЧ

9.8. Задачи к главе

Задачи на весь материал главы: входной делитель для АЦП, двухступенчатый АЦП, передискретизация, регистратор токовой петли, апертурное дрожание, ФАПЧ от часового кварца и выбор длины регистра ПСП.

≈ 8 мин чтения · пунктирное подчёркивание — наведите или нажмите, чтобы увидеть пояснение

Эти задачи собирают вместе всё, что было в главе: преобразователи, ФАПЧ и псевдослучайные последовательности. Решения полные, но пользы от них будет больше, если сначала потратить на каждую задачу хотя бы четверть часа самостоятельно.

9.8.1Задачи на всю главу

≈ 8 мин7 упр.

Главное

Семь задач: делитель на входе АЦП, двухступенчатый АЦП, передискретизация, токовая петля, апертура, ФАПЧ от часового кварца, длина регистра ПСП.
Общий приём: сначала оценить в МЗР, разах и децибелах — и только потом рисовать схему.

0,049 %точность ЦАП в двухступенчатом 10-разрядном АЦП

2,4 нсапертура 16 бит на 1 кГц

m = 31регистр без повтора 30 мин на 1 МГц

Упражнение 9.8.1 задача

(1) Солнечный контроллер должен измерять напряжение панели 0…30 В встроенным 12-разрядным АЦП микроконтроллера (опорное 3,3 В, АЦП последовательного приближения). Спроектируйте входной узел: делитель, защиту от перенапряжения до 60 В (обрыв аккумулятора, выбросы) и от переполюсовки. Каким будет вес МЗР в вольтах на входе?

Решение

Делитель. 30 В должны превратиться чуть меньше чем в 3,3 В — запас нужен на допуски. $R_{1} = 100$ кОм, $R_{2} = 10$ кОм: $30 \cdot 10/110 = 2, 73$ В. Ток делителя 0,27 мА — для панели ничто. Вес МЗР: $3, 3/4096 = 0, 81$ мВ на входе АЦП, т. е. $0, 81 \cdot 11 = 8, 9$ мВ на входе узла; шкала до $3, 3 \cdot 11 = 36, 3$ В.

Задача 1: входной узел для измерения 0…30 В — делитель, ограничительные диоды и конденсатор на входе АЦП

Защита. Диоды Шоттки (например, сдвоенный BAT54S) от входа АЦП к земле и к шине 3,3 В ограничивают напряжение пределами $- 0, 3 \dots 3, 6$ В. Ток через верхний диод при 60 В на входе — $(60 - 3, 3) /100 кОм = 0, 57$ мА: безопасно для диода, но убедитесь, что этот ток не «поднимет» шину 3,3 В, если микроконтроллер потребляет меньше (стабилизатор не умеет принимать ток). Переполюсовка даёт −30 В на входе: ток 0,3 мА через нижний диод — тоже безопасно. Резисторы $R_{1}$ берите на напряжение не меньше 100 В (обычный SMD 0805 — 150 В).

Конденсатор. Выходное сопротивление делителя 9,1 кОм — на пределе допустимого для многих встроенных АЦП. 100 нФ на входе становятся «резервуаром заряда» для конденсатора выборки и фильтром помех ( $τ \approx 0, 9$ мс — частота опроса может быть хоть 100 Гц).

Точность. Резисторы 1 % дают до 2 % ошибки коэффициента деления — больше 80 МЗР! Это погрешность шкалы: её убирают калибровкой по одной точке (записать коэффициент во флеш-память) или берут резисторы 0,1 %. Опорное напряжение 3,3 В от питания тоже неточно — для измерения абсолютного напряжения нужен встроенный или внешний эталон, логометрия здесь не спасает.

Упражнение 9.8.2

(2) Разрабатывается 10-разрядный двухступенчатый (полупараллельный) АЦП по 5 разрядов в ступени. Сколько всего нужно компараторов? С какой точностью (в процентах полной шкалы) должен работать внутренний ЦАП первой ступени, чтобы его ошибка не превышала ½ МЗР полной 10-разрядной шкалы?

точность =%компараторов =

Решение

Две ступени по $2^{5} - 1 = 31$ компаратору — 62 (против 1023 у полностью параллельного). Остаток после вычитания оцифровывается второй ступенью, поэтому любая ошибка восстановленного значения прямо входит в результат. ½ МЗР 10-разрядной шкалы — это $1/ 2^{11} = 1/2048 = 0, 0488$ %. Значит, ЦАП первой ступени, хоть и 5-разрядный по входу, должен быть точен на уровне 11 разрядов — в этом главная трудность подобных АЦП. Часто первую ступень делают с небольшим «перекрытием» диапазонов и исправляют её ошибки цифровой коррекцией.

Упражнение 9.8.3

(3) 12-разрядный АЦП микроконтроллера делает 1 млн отсчётов в секунду, а нужно 16-разрядное разрешение для медленного сигнала. На входе есть белый шум около 1 МЗР, так что отсчёты некоррелированы. Сколько отсчётов нужно усреднить и какой будет частота выходных отсчётов?

отсчётов =частота =1/с

Решение

Усреднение N некоррелированных отсчётов уменьшает шум в $N$ раз. Каждый лишний разряд — уменьшение шума вдвое, т. е. учетверение числа отсчётов: на 4 разряда нужно $4^{4} = 256$ отсчётов. Частота выходных отсчётов $1 0^{6} /256 \approx 3906$ в секунду. Обратите внимание на условие: шум нужен! Без него (идеально чистый постоянный вход) все отсчёты одинаковы, и усреднение ничего не даёт; поэтому в таких системах иногда специально подмешивают небольшой шум (дизеринг). Точность (линейность) от усреднения не растёт: разрешение будет 16-разрядным, а интегральная нелинейность останется на уровне исходного АЦП. Дельта-сигма-АЦП развивают ту же идею дальше.

12345

Задача 4: регистратор сигналов 4–20 мА — от датчика до микроконтроллера (блок-схема)

Что здесь что (5)

Датчик. сам задаёт ток 4–20 мА, питаясь от петли
Шунт 150 Ом. 20 мА → 3,0 В, 4 мА → 0,6 В
Защита и фильтр. ограничение перенапряжений, ФНЧ против помех и наложения
АЦП 16 бит. опорное 3,3 В
Питание петли 24 В. общее для всех каналов

Упражнение 9.8.4 задача

(4) Спроектируйте канал регистратора для промышленного датчика давления с выходом 4–20 мА: шунт, защита, фильтр, 16-разрядный АЦП с опорным 3,3 В и микроконтроллер. Нужно: разрешение по току, диагностика обрыва и короткого замыкания линии, подавление сетевой помехи, проверка бюджета напряжения петли. Укажите, что делать, если земля датчика и земля регистратора имеют разный потенциал.

Решение

Шунт. 150 Ом превращают 4…20 мА в 0,6…3,0 В — почти вся шкала АЦП, с запасом 0,3 В сверху на перегрузку до 22 мА. Резистор 0,1 %, мощность $0, 0 2^{2} \cdot 150 = 60$ мВт — берите 0,25 Вт, чтобы не было нагрева и дрейфа.

Разрешение. МЗР $= 3, 3/65 536 = 50$ мкВ, по току $50 мкВ /150 = 0, 34$ мкА, т. е. 0,002 % диапазона 16 мА — заведомо лучше самого датчика (обычно 0,1–0,25 %).

Диагностика. Ток меньше 3,6 мА — обрыв линии или отказ датчика (0 мА — оборван провод); больше 21 мА — короткое замыкание или перегрузка. Это стандартные пороги NAMUR, и именно для них нужен «живой ноль» 4 мА.

Защита и фильтр. Последовательный резистор 1 кОм и диоды к шинам у входа АЦП (кабель в цеху ловит выбросы), супрессор на клеммах. RC-фильтр 1 кОм · 1 мкФ (срез 160 Гц) против наложения спектров; сетевую помеху лучше подавлять цифровым усреднением ровно за 20 мс (или кратное время) — как в интегрирующих АЦП.

Бюджет петли. 24 В минус 3 В на шунте при 20 мА минус сопротивление кабеля (2 × 100 м медного провода 0,5 мм² — около 7 Ом, 0,14 В) — датчику остаётся почти 21 В при обычном минимуме 10–12 В. Запас хороший.

Разные земли. Если минус петли заземлён у датчика, а шунт — у регистратора, разность потенциалов земель сложится с сигналом. Варианты: шунт в «верхнем» плече и дифференциальное измерение инструментальным усилителем (раздел 7.2), либо гальваническая развязка канала — изолированный АЦП или изолированный источник питания петли.

Упражнение 9.8.5

(5) 16-разрядный АЦП с выборкой-хранением оцифровывает синусоиду полной шкалы частотой 1 кГц (измеритель нелинейных искажений). Какова допустимая неопределённость момента выборки (апертурное дрожание), чтобы ошибка не превышала ½ МЗР?

Δt =нс

Решение

Синус полной шкалы имеет амплитуду $A = U_{пш} /2$ и наибольшую скорость $2 π f A$ . Условие $2 π f A Δ t \leq U_{пш} / 2^{17}$ даёт $Δ t \leq \frac{1}{2 ^{17} π f} = \frac{1}{131 072 \cdot π \cdot 1 0 ^{3}} = 2, 4$ нс. На частоте 20 кГц это уже 0,12 нс — поэтому у высококачественных звуковых АЦП тактовый генератор делают кварцевым с малым фазовым шумом и разводят отдельно от цифровых линий.

Упражнение 9.8.6 задача

(6) В устройстве есть только часовой кварц 32 768 Гц, а для периферии нужна частота 1,000 МГц. Постройте умножитель на ФАПЧ с 74HC4046 и программируемыми делителями. Найдите коэффициенты деления, частоту сравнения и оцените, какой будет петля. Предложите альтернативы.

Решение

Делители. $1 0^{6} /32 768 = 30, 517578125 = 15 625/512$ . Чтобы получить ровно 1,000 МГц, опорную частоту делят на R = 512 (до 64 Гц), выход ГУН — на N = 15 625, и детектор сравнивает частоты 64 Гц: $f = 32768 \cdot 15 625/512 = 1000000$ Гц.

Петля. Частота сравнения всего 64 Гц, поэтому частоту единичного усиления петли придётся выбрать около 1–5 Гц (в 10–20 раз ниже частоты сравнения, иначе пульсации детектора промодулируют ГУН). Петля будет медленной — захват за секунды, — и все быстрые флуктуации ГУН (фазовый шум, дрожание от наводок на управляющий вход) останутся неподавленными. Нужен ГУН с хорошей собственной стабильностью, фильтр с большими номиналами ( $C_{2}$ — единицы микрофарад, плёночный), а детектор лучше типа 2.

Альтернативы. Если точно 1,000 МГц не обязательна — N = 31 и сравнение на 32 768 Гц: 1,015 808 МГц (+1,6 %), петля быстрая и чистая. Если устроит 1,048 576 МГц ( $2^{20}$ Гц), достаточно N = 32 — для двоичных таймеров это даже удобнее. Наконец, многие микроконтроллеры имеют встроенный умножитель частоты на ФАПЧ, рассчитанный именно на часовой кварц.

Упражнение 9.8.7

(7) Генератор шума на регистре сдвига тактируется частотой 1 МГц, и последовательность не должна повторяться в течение 30-минутного испытания. Какова наименьшая длина регистра максимальной длины? Какие отводы взять, если хочется обойтись двумя?

m =

Решение

За 30 мин проходит $1800 \cdot 1 0^{6} = 1, 8 \cdot 1 0^{9}$ тактов. Нужно $2^{m} - 1 \geq 1, 8 \cdot 1 0^{9}$ : $2^{30} - 1 = 1, 07 \cdot 1 0^{9}$ мало, $2^{31} - 1 = 2, 15 \cdot 1 0^{9}$ достаточно — m = 31. По таблице регистров с двумя отводами для m = 31 подходят отводы 28 и 31 (или 3 и 31). Регистр собирают из четырёх 8-разрядных 74HC164 (один разряд остаётся свободным) и одного вентиля XOR; для запуска из нулевого состояния удобно взять инвертирующий XOR.