7.7. Задачи к главе

Задачи по всей главе: КШ цепочки каскадов, отношение сигнал/шум в разных полосах, обработка измерений шума, шумовая полоса измерительной цепи и выигрыш от усреднения.

≈ 10 мин чтения · пунктирное подчёркивание — наведите или нажмите, чтобы увидеть пояснение

7.7.1Задачи по всей главе

≈ 10 мин7 упр.

Главное

С/Ш $= 10 l g (v_{с}^{2} /4 k T R_{и} B) - КШ$ : сначала шум источника, затем вклад усилителя.
В цепочке каскадов КШ определяет первый: $F = F_{1} + (F_{2} - 1) / G_{1}$ .
По измерениям: $e_{ш}$ — из шума с закороченным входом, $i_{ш}$ — из прироста с резистором (или с $Z_{вх}$ ); шумовая полоса пары ФВЧ + ФНЧ $B = (π /2) f_{2}^{2} / (f_{1} + f_{2})$ , средневыпрямленный вольтметр — ×1,13.

Задачи этого раздела собирают вместе всё, что было в главе: шум источника и усилителя, коэффициент шума, измерения, шумовую полосу и усреднение. Если не оговорено иное, источник находится при комнатной температуре, а $4 k T = 1, 60 \cdot 1 0^{- 20}$ В²/(Гц·Ом) при 290 К.

Порядок решения шумовой задачи

Переведите всё в плотностиВ/√Гц и А/√Гц; при 290 К $4 k T = 1, 60 \cdot 1 0^{- 20}$ В²/(Гц·Ом)
Сложите квадраты $4 k T R_{и} + e_{ш}^{2} + (i_{ш} R_{и})^{2}$
КШ $10 l g$ (полный шум / шум источника)
Умножьте на полосушумовую, а не по −3 дБ: $U^{2} = e^{2} B$
С/Ш $10 l g (U_{с}^{2} / U_{ш}^{2})$

Упражнение 7.7.1 задача

(1) Приёмник состоит из двух каскадов: первый имеет коэффициент шума $F_{1}$ (в разах, не в децибелах) и усиление по мощности $G_{1}$ , второй — коэффициент шума $F_{2}$ . Покажите, что коэффициент шума всей цепочки равен $F = F_{1} + (F_{2} - 1) / G_{1}$ , и объясните, почему в любой приёмной системе главное — малошумящий первый каскад с большим усилением.

Решение

Пусть на входе источник с мощностью шума $N_{0}$ (в полосе измерения). Первый каскад выдаёт $G_{1} F_{1} N_{0}$ : это усиленный шум источника плюс собственный шум, который по определению КШ равен $G_{1} (F_{1} - 1) N_{0}$ . Второй каскад добавляет свой шум, приведённый к его входу, — $(F_{2} - 1) N_{0}$ (КШ второго каскада тоже определяется относительно источника с шумом $N_{0}$ ), и усиливает всё в $G_{2}$ раз:

N_{вых} = G_{2} [G_{1} F_{1} N_{0} + (F_{2} - 1) N_{0}] .

Делим на шум, который дал бы бесшумный тракт, $G_{1} G_{2} N_{0}$ :

F = \frac{N _{вых}}{G _{1} G _{2} N _{0}} = F_{1} + \frac{F _{2} - 1}{G _{1}} .

Шум второго каскада делится на усиление первого. Если $G_{1}$ велико, вклад всех последующих каскадов почти исчезает, и КШ системы практически равен КШ первого каскада. Поэтому малошумящий усилитель ставят прямо у антенны или датчика, и он должен не только мало шуметь, но и заметно усиливать (вспомните, почему повторитель не годится во входной каскад).

Упражнение 7.7.2

(2) Конвертер спутниковой антенны: малошумящий усилитель с КШ 0,6 дБ и усилением 20 дБ, за ним смеситель с КШ 8 дБ. Найдите КШ и шумовую температуру всего тракта (290 К). Каким был бы КШ без малошумящего усилителя?

КШ =дБT_ш =ККШ без МШУ =дБ

Решение

В разах: $F_{1} = 1 0^{0, 06} = 1, 148$ , $F_{2} = 1 0^{0, 8} = 6, 31$ , $G_{1} = 100$ . $F = 1, 148 + 5, 31/100 = 1, 201$ , т. е. 0,80 дБ — смеситель испортил картину всего на 0,2 дБ. $T_{ш} = 290 \cdot 0, 201 \approx 58$ К. Без усилителя КШ системы был бы КШ смесителя, 8 дБ: сигнал спутника, который сейчас превышает шум на 10 дБ, утонул бы в шуме.

Упражнение 7.7.3

(3) Гидрофон с сопротивлением 10 кОм выдаёт синусоидальный сигнал 1 мкВ эфф.; вода и предусилитель — при 300 К, шумом усилителя пренебречь. Найдите отношение сигнал/шум, обусловленное тепловым шумом гидрофона, (а) в полосе 100 Гц вокруг частоты сигнала; (б) в полосе от 0 до 100 кГц.

(а) =дБ(б) =дБ

Решение

(а) $U_{ш} = 4 k TRB = 4 \cdot 1, 38 \cdot 1 0^{- 23} \cdot 300 \cdot 1 0^{4} \cdot 100 \approx 0, 129$ мкВ; $С / Ш = 20 l g (1/0, 129) \approx 17, 8$ дБ. (б) Полоса в 1000 раз шире, шум больше в $1000 = 31, 6$ раза: 4,07 мкВ, $С / Ш = 17, 8 - 30 = - 12, 2$ дБ. Один и тот же сигнал отчётливо слышен в узкой полосе и полностью скрыт в широкой.

Упражнение 7.7.4

(4) Каскад работает от датчика с сопротивлением 2 кОм. Шумы входного транзистора: на 30 Гц — $e_{ш}$ = 4,5 нВ/√Гц и $i_{ш}$ = 2,5 пА/√Гц; на 300 Гц — 2,6 нВ/√Гц и 0,9 пА/√Гц; на 3 кГц — 2,2 нВ/√Гц и 0,5 пА/√Гц. (а) Найдите КШ на этих частотах (290 К). (б) Найдите отношение сигнал/шум на каждой частоте для сигнала 50 нВ эфф. при полосе усилителя 10 Гц.

КШ 30 Гц =дБКШ 300 Гц =дБКШ 3 кГц =дБС/Ш 30 Гц =дБС/Ш 300 Гц =дБС/Ш 3 кГц =дБ

Решение

$4 k T R_{и} = 1, 60 \cdot 1 0^{- 20} \cdot 2000 = 3, 20 \cdot 1 0^{- 17}$ В²/Гц. 30 Гц: $e_{у}^{2} = 20, 25 \cdot 1 0^{- 18} + (5, 0 \cdot 1 0^{- 9})^{2} = 45, 3 \cdot 1 0^{- 18}$ , $КШ = 10 l g (2, 414) = 3, 83$ дБ. 300 Гц: $6, 76 + 3, 24 = 10, 0 \cdot 1 0^{- 18}$ , КШ = 1,18 дБ. 3 кГц: $4, 84 + 1, 0 = 5, 84 \cdot 1 0^{- 18}$ , КШ = 0,73 дБ. С/Ш источника: $10 l g (2, 5 \cdot 1 0^{- 15} / (3, 20 \cdot 1 0^{- 17} \cdot 10)) = 8, 92$ дБ; за вычетом КШ — 5,10; 7,74 и 8,20 дБ. На низких частотах растут оба шума (составляющая $1/ f$ ), особенно шумовой ток; если сигнал низкочастотный, ток коллектора стоило бы уменьшить.

Упражнение 7.7.5

(5) Усилитель с входным сопротивлением 1 МОм проверяют на 1 кГц. За ним стоит фильтр с крутыми скатами и полосой 500 Гц вокруг 1 кГц. Сигнал 10 мкВ на входе даёт на выходе 0,5 В (шум при этом незаметен). С закороченным входом шум на выходе 4 мВ эфф., с разомкнутым — 0,6 В эфф. (а) Найдите $e_{ш}$ и $i_{ш}$ . (б) Найдите КШ с источниками 1 кОм, 50 кОм и 1 МОм (290 К).

e_ш =нВ/√Гцi_ш =пА/√ГцКШ 1к =дБКШ 50к =дБКШ 1М =дБ

Решение

$K = 0, 5/1 0^{- 5} = 5 \cdot 1 0^{4}$ , $B = 22, 36$ . $e_{ш} = 4 \cdot 1 0^{- 3} / (5 \cdot 1 0^{4} \cdot 22, 36) = 3, 58$ нВ/√Гц. С разомкнутым входом источником служит само входное сопротивление 1 МОм: плотность на входе $0, 6/ (5 \cdot 1 0^{4} \cdot 22, 36) = 536, 7$ нВ/√Гц, тепловой шум 1 МОм — 126,6 нВ/√Гц, значит $i_{ш} R = 536, 7^{2} - 126, 6^{2} - 3, 6^{2} = 521, 5$ нВ/√Гц и $i_{ш} = 0, 52$ пА/√Гц ( $R_{ш} \approx 6, 9$ кОм).

(б) 1 кОм: $(12, 8 + 0, 27) \cdot 1 0^{- 18} /1, 60 \cdot 1 0^{- 17}$ → КШ = 2,59 дБ (мешает $e_{ш}$ ); 50 кОм: $(12, 8 + 680) \cdot 1 0^{- 18} /8, 0 \cdot 1 0^{- 16}$ → 2,71 дБ (мешает уже $i_{ш}$ ); 1 МОм: $2, 72 \cdot 1 0^{- 13} /1, 60 \cdot 1 0^{- 14}$ → 12,5 дБ. Наилучший КШ — около $R_{ш}$ ; с мегаомным источником этот усилитель работать не должен.

12345

Стенд для проверки генератора шума: ФВЧ 47 нФ / 2,2 кОм (вместе с выходным сопротивлением генератора 75 Ом), буфер, ФНЧ 4,7 кОм / 3,3 нФ и средневыпрямленный вольтметр переменного тока.

Что здесь что (5)

Генератор шума. его плотность ЭДС и ищем; выходное сопротивление 75 Ом.
ФВЧ 47 нФ / 2,2 кОм. вместе с 75 Ом генератора $f_{1} = 1/ (2 π \cdot 2275 \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8})$ ≈ 1,49 кГц; передача в полосе 0,967.
Буфер ×1. развязывает фильтры, чтобы они не нагружали друг друга.
ФНЧ 4,7 кОм / 3,3 нФ. $f_{2}$ ≈ 10,3 кГц.
Средневыпрямленный вольтметр. показание ×1,128 — истинное эффективное значение шума.

Упражнение 7.7.6

(6) Выходной шум генератора белого шума проверяют на стенде со схемы выше (выходное сопротивление генератора 75 Ом, ФВЧ 47 нФ / 2,2 кОм, идеальный буфер, ФНЧ 4,7 кОм / 3,3 нФ). Средневыпрямленный вольтметр, размеченный в эффективных значениях синусоиды, показывает 0,35 В. Какова плотность ЭДС шума генератора?

e =мВ/√Гц

Решение

Истинное эффективное значение: $0, 35 \cdot 1, 128 = 0, 395$ В. ФВЧ: $f_{1} = 1/ (2 π \cdot 2275 \cdot 4, 7 \cdot 1 0^{- 8}) = 1488$ Гц, передача в полосе $2200/2275 = 0, 967$ ; ФНЧ: $f_{2} = 1/ (2 π \cdot 4700 \cdot 3, 3 \cdot 1 0^{- 9}) = 10261$ Гц. Шумовая полоса пары $B = (π /2) f_{2}^{2} / (f_{1} + f_{2}) \approx 14080$ Гц, $B \approx 118, 6$ . Плотность ЭДС: $e = 0, 395/ (0, 967 \cdot 118, 6) \approx 3, 44 \cdot 1 0^{- 3}$ В/√Гц. (Наивный расчёт с полосой $f_{2} - f_{1}$ и без поправки вольтметра дал бы ошибку около 25 %.)

Упражнение 7.7.7

(7) Слабый повторяющийся сигнал амплитудой 50 нВ эфф. регистрируют вместе с шумом 2 мкВ эфф. (в той же полосе) и усредняют синхронно с повторениями. Сколько повторений нужно усреднить, чтобы отношение сигнал/шум достигло 10 дБ?

N =

Решение

При усреднении $N$ реализаций сигнал не меняется, а независимый шум уменьшается в $N$ раз. Нужно, чтобы шум стал в $1 0^{10/20} = 3, 16$ раза меньше сигнала, т. е. $50/3, 16 = 15, 8$ нВ. $N = 2000/15, 8 = 126, 5$ , $N = 16000$ . При частоте повторений 1 кГц это 16 секунд — так и работают усредняющие осциллографы и регистраторы вызванных потенциалов мозга.