ЕГЭ · Профильная математика · Задание 12 · На основе ФИПИ

Задание 12. Наибольшее и наименьшее значение функции

Архив КИМ 2026. Отдельного задания на наибольшее и наименьшее значение функции в КИМ 2027 нет: экстремумы — в задании 9 (по графику производной) и в задании 17 (функцию составляют по условию). Смотрите задания 9 и 17 КИМ 2027 · все номера КИМ 2026

169 заданий уровня типовых вариантов ЕГЭ: те же сюжеты и ловушки, другие числа. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 12. Наибольшее и наименьшее значение функции»

В теме 8 подтем: Функция с x√x, Кубический многочлен, Произведение многочлена и экспоненты, Функция с логарифмом, Дробно-рациональная функция, Тригонометрическая функция, Тригонометрия и линейная функция с π в знаменателе, Экспонента: нецелая точка экстремума.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Дана формула функции. Нужно найти либо точку максимума или минимума (ответ — значение $x$ ), либо наибольшее или наименьшее значение на отрезке (ответ — значение $y$ ). Инструмент — производная.

Ответ — целое число или десятичная дробь, часто отрицательный. Задание части 1, 1 балл.

Многочлен

x^{3} + a x^{2} + b x + c

: точка экстремума

С логарифмом

x^{2} + b x + c ln x

k x - ln (x + a)

ln (k x) - k x

С экспонентой

(x + a) e^{b - x}

(a x^{2} + b x + c) e^{x}

С корнем

x x + a x + b

(

x x = x^{3/2}

)

Тригонометрия на отрезке

a cos x + b x + c

a sin x + b x + c

Читайте вопрос: «точка минимума» — это $x$ , «наименьшее значение» — это $y$ . Перепутать — значит потерять балл.

Производные: таблица и правила

Функция	Производная
$C$ (число)	$0$
$x^{n}$	$n x^{n - 1}$
$x x = x^{3/2}$	$\frac{3}{2} x$
$e^{x}$	$e^{x}$
$ln x$	$\frac{1}{x}$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$

(uv)^{'} = u^{'} v + u v^{'}

производная произведения

(f (k x + b))^{'} = k \cdot f^{'} (k x + b)

сложная функция с линейным аргументом: производная «внешней» функции, умноженная на

k

$(e^{2 - x})^{'} = - e^{2 - x}$ , $(ln (x + 5))^{'} = \frac{1}{x + 5}$ , $(ln (6 x))^{'} = \frac{6}{6 x} = \frac{1}{x}$ .
$ln ((x + 3)^{7}) = 7 ln (x + 3)$ при $x > - 3$ — степень выносим вперёд.

Точки экстремума: алгоритм

Найти область определения (для $ln$ — аргумент $> 0$ ).
Найти $y^{'}$ и решить $y^{'} = 0$ .
Расставить на прямой корни и знаки $y^{'}$ на промежутках.
«+» сменился на «−» — максимум; «−» на «+» — минимум.

Знак

y^{'}

меняется с «+» на «−» — максимум, с «−» на «+» — минимум

Найдите точку минимума функции $y = x^{3} - 10 x^{2} + 25 x + 3$ .

$y^{'} = 3 x^{2} - 20 x + 25$ ; $D = 400 - 300 = 100$ , $x = \frac{20 \pm 10}{6}$ : $x = \frac{5}{3}$ или $x = 5$ .
Ветви параболы $y^{'}$ вверх: знаки $+, -, +$ . Минимум при $x = 5$ . Ответ: $5$ .

Для $y = x^{3} + a x^{2} + c$ производная $3 x^{2} + 2 a x = x (3 x + 2 a)$ — корни $0$ и $- \frac{2 a}{3}$ видны сразу. Для $y = x^{3} - p x + c$ : $x = \pm p /3$ , максимум в минусе, минимум в плюсе.

Функции с логарифмом

Найдите точку максимума $y = x^{2} - 14 x + 24 ln x + 5$ .

ОДЗ: $x > 0$ . $y^{'} = 2 x - 14 + \frac{24}{x}$ .
К общему знаменателю:
$y^{'} = \frac{2 x ^{2} - 14 x + 24}{x} = \frac{2 ( x - 3 ) ( x - 4 )}{x} .$
При $x > 0$ знак — как у $(x - 3) (x - 4)$ : $+, -, +$ . Максимум при $x = 3$ (а $x = 4$ — минимум). Ответ: $3$ .

Найдите наибольшее значение $y = 4 ln (x + 5) - 4 x + 3$ на $[- 4, 5; 0]$ .

$y^{'} = \frac{4}{x + 5} - 4 = 0 \Rightarrow x + 5 = 1$ , $x = - 4$ — в отрезке.
Слева от $- 4$ $y^{'} > 0$ , справа $y^{'} < 0$ : это максимум, он и есть наибольшее.
$y (- 4) = 4 ln 1 + 16 + 3 = 19$ . Ответ: $19$ .

Критическую точку составители подбирают так, чтобы под логарифмом получилась $1$ и $ln 1 = 0$ . Пример: $y = ln (6 x) - 6 x + 2$ на $[\frac{1}{12}; \frac{5}{12}]$ : $y^{'} = \frac{1}{x} - 6 = 0$ , $x = \frac{1}{6}$ , $y = ln 1 - 1 + 2 = 1$ .

Значения на концах ( $ln 0, 5$ , $ln \frac{5}{2}$ ) нецелые — это подсказка, что ответ в критической точке. Но знак $y^{'}$ всё равно проверьте.

Экспонента и корень

Найдите точку максимума $y = (x + 4) e^{2 - x}$ .

$y^{'} = e^{2 - x} - (x + 4) e^{2 - x} = e^{2 - x} (- x - 3)$ .
$e^{2 - x} > 0$ всегда, знак задаёт $- x - 3$ : $+$ при $x < - 3$ , $-$ при $x > - 3$ . Максимум $x = - 3$ . Ответ: $- 3$ .

$y = (x^{2} - 5 x + 5) e^{x}$ : $y^{'} = (2 x - 5) e^{x} + (x^{2} - 5 x + 5) e^{x} = (x^{2} - 3 x) e^{x}$ , корни $0$ и $3$ , знаки $+, -, +$ : максимум $0$ , минимум $3$ .

Сравниваем значения в критической точке и на концах:

5

- 251

- 195

Найдите наименьшее значение $y = x x - 12 x + 5$ на $[0; 100]$ .

$y^{'} = \frac{3}{2} x - 12 = 0 \Rightarrow x = 8$ , $x = 64$ .
$y (64) = 512 - 768 + 5 = - 251$ ; $y (0) = 5$ ; $y (100) = 1000 - 1200 + 5 = - 195$ .
Наименьшее — $- 251$ . Ответ: $- 251$ .

Тригонометрия на отрезке

Функция вида $a sin x + b x + c$ или $a cos x + b x + c$ . Если $∣ b ∣ > ∣ a ∣$ , производная не обращается в ноль — функция монотонна, ответ на конце отрезка.

y^{'} < 0

на всём отрезке — функция убывает, наибольшее значение на левом конце

Найдите наибольшее значение $y = 8 sin x - \frac{30 x}{π} + 4$ на $[- \frac{5 π}{6}; 0]$ .

$y^{'} = 8 cos x - \frac{30}{π}$ ; $\frac{30}{π} \approx 9, 55 > 8 \geq 8 cos x$ , значит $y^{'} < 0$ .
Функция убывает — наибольшее на левом конце: $y (- \frac{5 π}{6}) = 8 \cdot (- \frac{1}{2}) + 25 + 4 = 25$ . Ответ: $25$ .

Наименьшее значение $y = 6 cos x + 8 x + 3$ на $[0; \frac{3 π}{2}]$ .

$y^{'} = - 6 sin x + 8 \geq 2 > 0$ — функция возрастает.
Наименьшее при $x = 0$ : $6 + 0 + 3 = 9$ . Ответ: $9$ .

Проверка: ответ ЕГЭ — конечная десятичная дробь, поэтому в найденном значении $π$ должно сократиться: $\frac{30}{π} \cdot \frac{5 π}{6} = 25$ . Если в ответе осталось $π$ — ошибка в производной или в выборе точки.

Наибольшее и наименьшее на отрезке

Найти $y^{'}$ и критические точки, лежащие внутри отрезка.
Вычислить $y$ в этих точках и на обоих концах.
Выбрать наибольшее или наименьшее из полученных чисел.

Если внутри отрезка единственная критическая точка и это максимум, то наибольшее значение — в ней (аналогично для минимума). Если критических точек нет — ответ на одном из концов.

Критические точки вне отрезка не рассматриваются. Та же функция $y = x x - 12 x + 5$ на $[0; 49]$ : точка $64$ вне отрезка, на нём $y^{'} < 0$ , функция убывает, и наименьшее — на правом конце: $y (49) = 343 - 588 + 5 = - 240$ .

Шпаргалка номера

Вид функции	Производная и приём
$x^{3} + a x^{2} + b x + c$	$3 x^{2} + 2 a x + b$ ; знаки $+, -, +$ : max в меньшем корне, min в большем
$x^{2} + b x + c ln x$	$\frac{2 x ^{2} + b x + c}{x}$ , $x > 0$
$k x - m ln (x + a)$	$k - \frac{m}{x + a} = 0$ ; удобно, когда $x + a = 1$
$(x + a) e^{b - x}$	$e^{b - x} (1 - x - a)$ ; знак по скобке
$x x + a x + b$	$\frac{3}{2} x + a = 0$ , $x = (- \frac{2 a}{3})^{2}$
$a sin x + b x$ , $∣ b ∣ > ∣ a ∣$	монотонна, ответ на конце

Максимум

y^{'}

: «+» → «−»

Минимум

y^{'}

: «−» → «+»

Проверка за секунду: подставьте $x$ чуть левее и чуть правее найденной точки в $y^{'}$ и посмотрите знаки.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу банка ФИПИ и типовых вариантов: тот же уровень сложности, те же приёмы и ловушки. Начните с банка ФИПИ — там официальные прототипы, — а здесь тренируйтесь на новых числах. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0