ЕГЭ · Профильная математика · Задание 20 · На основе ФИПИ

Задание 20. Числа и их свойства

В КИМ 2026 это было задание 19 · номера КИМ 2026

105 заданий уровня типовых вариантов ЕГЭ: те же сюжеты и ловушки, другие числа. Решите на бумаге, ответ впишите и проверьте, где есть поле, остальное сверьте с разбором и оцените себя по критериям.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 20. Числа и их свойства»

В теме 13 подтем: Наборы чисел: средние арифметические и суммы различных чисел, Цифры и суммы цифр: остатки по модулю 5 и 9, Делимость и остатки: кратные на отрезке, последовательности, карточки, Камни, кучки, ходы: инварианты и разбиения, Проценты и доли: состав класса, доля массы, Средние и наборы: переход между школами, произведения в интервале, среднее любых k чисел, Наборы по дням, различные числа с данной суммой, прогрессии, удачные тройки, Запись чисел: единицы и плюсы, приписывание цифр, операции по цифрам, произведения цифр и ещё 5.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Сюжет про натуральные числа (доска с числами, ученики и баллы, камни в коробках, цифры числа) и три вопроса: а) и б) — «может ли…?», в) — «найдите наибольшее/наименьшее». Нужна не формула, а рассуждение: пример или доказательство невозможности.

Задание части 2, 4 балла. Ответ записывают по пунктам: «а) да; б) нет; в) 11». Каждое «да» подтверждают примером, каждое «нет» и каждую оценку — доказательством.

Суммы различных чиселнаименьшая возможная сумма, «лесенка»

1 + 2 + \dots + n

Средниесумма

=

среднее

\times

количество, перевод ученика

Делимость и остаткипоследняя цифра суммы, чётность, кратность

Цифры числа

\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c

, сумма цифр

Процессыходы с камнями, парами чисел — инварианты

Доли и проценты«целое число процентов», контейнеры, монеты

Как отвечать на а), б), в)

«Может ли…?» — дадостаточно одного примера, но с проверкой всех условий

«Может ли…?» — нетдоказательство: противоречие по чётности, остаткам или оценке суммы

в) наибольшее/наименьшееоценка (больше нельзя)

+

пример (ровно столько можно)

Сумма нескольких различных натуральных чисел равна 100. Каково наибольшее количество чисел?

Оценка. $n$ различных натуральных чисел в сумме не меньше $1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ . При $n = 14$ это $105 > 100$ , значит, $n \leq 13$ .
Пример. $1, 2, \dots, 12$ и $22$ : числа различны, сумма $78 + 22 = 100$ .
Ответ: 13.

Оценка отсекает всё, что больше 13; пример показывает, что 13 достигается

Только пример без оценки или только оценка без примера — это половина пункта в). Число, найденное «подбором», не доказывает, что лучше нельзя.

Различные числа: минимальная сумма

Если числа различны, их сумма не меньше суммы «самых маленьких» возможных. Отсюда оценка количества чисел и наибольшего числа.

1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}

наименьшая сумма

n

различных натуральных чисел

Пример к пункту в): «лесенка» и добавка к последнему числу

k d + 10 \cdot \frac{k ( k - 1 )}{2}

наименьшая сумма

k

различных чисел с последней цифрой

d

: это

d, d + 10, \dots, d + 10 (k - 1)

Возьмите самые маленькие допустимые числа, а недостающую сумму добавьте к наибольшему: различность сохранится, остальные условия обычно тоже.

Средние арифметические

S = m \cdot n

S

— сумма чисел,

m

— их среднее,

n

— количество; при целом

m

сумма

S

делится на

n

Если из группы со средним $m_{1}$ убрать число $x < m_{1}$ , среднее группы растёт; если в группу со средним $m_{2}$ добавить $x > m_{2}$ , её среднее тоже растёт. Значит, при $m_{2} < x < m_{1}$ растут оба средних.

\frac{5 + 7}{2} = 6 \to 7

\frac{1 + 3}{2} = 2 \to \frac{1 + 3 + 5}{3} = 3

«Может ли среднее в группе вырасти в 2 раза?» Запишите: $\frac{m _{1} n _{1} - x}{n _{1} - 1} = 2 m_{1}$ , откуда $x = m_{1} (2 - n_{1})$ . При $n_{1} \geq 2$ правая часть $\leq 0$ , а $x$ натуральное — нельзя.
«Среднее шести наименьших равно 5»: их сумма $30$ ; среди шести различных чисел сумма $\geq 1 + 2 + \dots + 6 = 21$ — так получают оценки на отдельные числа.

Если числа «наибольшие» и «наименьшие» перекрываются (шесть наименьших и шесть наибольших из десяти), общие числа считаются в обеих суммах — сумма всех равна $S_{1} + S_{2} -$ (сумма общих).

Остатки, чётность, последняя цифра

Последняя цифра суммы определяется последними цифрами слагаемых; остаток суммы при делении на $m$ — остатками слагаемых. Сумма нечётного количества нечётных чисел нечётна.

20 различных натуральных чисел, каждое оканчивается на 1 или на 9, сумма 1500. Наименьшее количество чисел, оканчивающихся на 9?

Пусть на 9 оканчиваются $k$ чисел, на 1 — $20 - k$ . Последняя цифра суммы — как у $(20 - k) + 9 k = 20 + 8 k$ , она должна быть 0: $8 k$ оканчивается на 0, то есть $k$ кратно 5.
$k = 0$ : 20 различных чисел на 1 — сумма $\geq 1 + 11 + \dots + 191 = 20 + 10 \cdot 190 = 1920 > 1500$ . Нельзя, значит, $k \geq 5$ .
Пример при $k = 5$ : $1, 11, \dots, 141$ (15 чисел, сумма 1065) и $9, 19, 29, 39, 339$ (сумма 435). Итого 1500.
Ответ: 5.

«Сумма любых четырёх подряд делится на $m$ »: из $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ и $a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5}$ следует $a_{5} \equiv a_{1} (mod m)$ — остатки повторяются с периодом 4. По кругу из $N$ чисел это сильно ограничивает $N$ .

Цифры числа

\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c

a

— цифра сотен (

1 \dots 9

b

— десятков,

c

— единиц (

0 \dots 9

)

\overline{ab c} - (a + b + c) = 99 a + 9 b

число минус сумма цифр всегда делится на 9

Из трёхзначного числа вычли сумму его цифр.

а) Могло получиться 297? $99 a + 9 b = 297 ⟺ 11 a + b = 33$ : $a = 3$ , $b = 0$ . Например, $305 - 8 = 297$ . Да.
б) Могло получиться 500? $99 a + 9 b$ делится на 9, а $500$ — нет. Нет.
в) Сколько разных результатов? Результат $= 9 (11 a + b)$ ; при $0 \leq b \leq 9$ разные пары $(a; b)$ дают разные $11 a + b$ , поэтому значений столько же, сколько пар: $9 \cdot 10 = 90$ .

Число и сумма его цифр дают одинаковый остаток при делении на 9 (и на 3). Приписать цифру $d$ справа — значит получить $10 N + d$ .

Процессы и инварианты

Если описан ход (переложить камни, заменить пару чисел), ищем величину, которая при ходе не меняется, — инвариант: сумма, чётность, остаток разности.

Ход «по камню из двух коробок — в третью»:

(- 1; - 1; + 2)

В коробках 10, 11 и 0 камней. Какое наибольшее число камней может оказаться в третьей?

Сумма всегда 21. Остаток разности первой и второй коробки при делении на 3 всегда равен 2 (как у $10 - 11 = - 1$ ).
Оценка. 21 камень в третьей — это $(0; 0; 21)$ , разность $0$ — нельзя. Значит, не больше 20.
Пример. Состояние $(0; 1; 20)$ достижимо (например, сначала 10 ходов «из 1-й и 2-й в 3-ю» дают $(0; 1; 20)$ ). Ответ: 20.

Инвариант доказывает только «нельзя». Для «можно» нужна явная последовательность ходов — хотя бы описанная словами с проверкой.

Оформление и критерии

Каждый пункт — отдельно, с буквой: «а)…», «б)…», «в)…».
Пример — конкретные числа и проверка каждого условия (различны, сумма, средние целые…).
«Нет» — цепочка: обозначения → следствие (остаток, оценка) → противоречие.
в) — сначала оценка с доказательством, затем пример, затем вывод.

Балл	Что получено
4	верно получены все четыре результата (ниже)
3	верно получены три результата
2	верно получены два результата
1	один результат: обоснованное решение а); обоснованное решение б); оценка в в); пример в в), достигающий оценки

Пункты независимы по баллам: даже без в) за а) и б) можно получить 2 балла, а пример в в) — ещё один.

Шпаргалка номера

Идея	Формула или приём
сумма $n$ различных	$\geq 1 + 2 + \dots + n = \frac{n ( n + 1 )}{2}$
различные с цифрой $d$ на конце	$\geq k d + 5 k (k - 1)$
среднее	$S = m \cdot n$ ; целое $m \Rightarrow n ∣ S$
оба средних растут	переводят $x$ : $m_{2} < x < m_{1}$
последняя цифра суммы	по последним цифрам слагаемых
периодичность	«любые $k$ подряд» $\Rightarrow a_{i + k} \equiv a_{i}$
цифры	$\overline{ab c} = 100 a + 10 b + c$ ; $N \equiv S (N) (mod 9)$
процесс	инвариант: сумма, чётность, остаток разности
«целое число процентов»	$\frac{k}{n} \cdot 100$ — целое

в) = оценка + пример

главная формула номера

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу банка ФИПИ и типовых вариантов: тот же уровень сложности, те же приёмы и ловушки. Начните с банка ФИПИ — там официальные прототипы, — а здесь тренируйтесь на новых числах. На экзамене записывается полное решение, его проверяет эксперт.

Критерии оценивания

Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: обоснованное решение пункта а; обоснованное решение пункта б; искомая оценка в пункте в; пример в пункте в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0