ЕГЭ · Профильная математика · Задание 19 · На основе ФИПИ

Задание 19. Задачи с параметром

В КИМ 2026 это было задание 18 · номера КИМ 2026

60 заданий уровня типовых вариантов ЕГЭ: те же сюжеты и ловушки, другие числа. Решите на бумаге, ответ впишите и проверьте, где есть поле, остальное сверьте с разбором и оцените себя по критериям.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 19. Задачи с параметром»

В теме 3 подтемы: Подвижная прямая и неподвижная фигура: произведение с корнем, |y| = |f(x)|, (x − p)|x − p|, Полуокружность и уголок с параметром: ровно один (два) корня, касание, Окружность с радиусом-параметром и неподвижная фигура (квадрат, углы, пара прямых, окружность).

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Нужно найти все значения параметра $a$ , при которых уравнение, неравенство или система имеет заданное число решений («ровно два», «единственное», «хотя бы одно на отрезке»). Ответ — множество значений $a$ : промежутки и отдельные точки.

Задание части 2 с развёрнутым решением, 4 балла. Оценивают ход решения: рисунок без обоснования особых значений полного балла не даёт.

Окружности и прямыесистемы с

x^{2} + y^{2}

и прямой (или парой прямых) — плоскость

(x; y)

$a$ через $x$ выражаем

a = f (x)

— горизонтали в плоскости

(x; a)

Модуль → окружности

∣ f ∣ = g

даёт две окружности в

(x; a)

Произведение $= 0$

\dots \cdot ln (\dots) = 0

ln A = ln B

на отрезке

Квадрат = квадрат

u^{2} = v^{2} ⟺ u = v

или

u = - v

Замена

t = x + \frac{k}{x}

t =

сумма модулей, уравнение квадратное относительно

a

Системы неравенств«хотя бы одно решение на отрезке»: область в плоскости

(x; a)

и полоса

x \in [p; q]

Главный приём: плоскость (x; a)

Если параметр удаётся выразить: $a = f (x)$ , — рисуем в осях $x$ (горизонталь) и $a$ (вертикаль) неподвижный график $a = f (x)$ . Фиксированное значение $a$ — это горизонтальная прямая. Число решений уравнения = число точек пересечения прямой с графиком (разных $x$ ).

Сколько решений у системы ${x + y = a, ∣ y ∣ = ∣ x^{2} - 4 x ∣$ при разных $a$ ? При каких $a$ их ровно два?

$y = a - x$ — каждому $x$ отвечает одно решение, считаем разные $x$ .
$∣ a - x ∣ = ∣ x^{2} - 4 x ∣ ⟺ a - x = \pm (x^{2} - 4 x) ⟺ a = x^{2} - 3 x$ или $a = 5 x - x^{2}$ .
Особые уровни: вершины $(\frac{3}{2}; - \frac{9}{4})$ и $(\frac{5}{2}; \frac{25}{4})$ , пересечения парабол: $x^{2} - 3 x = 5 x - x^{2} \Rightarrow x = 0, x = 4$ , то есть $a = 0$ и $a = 4$ .

Ниже вершины

- \frac{9}{4}

и выше

\frac{25}{4}

прямая пересекает только одну параболу — 2 точки; между ними — 4 точки; на пунктирных уровнях и при

a = 0

— 3

a \in (- \infty; - \frac{9}{4}) \cup (\frac{25}{4}; + \infty)

ответ: ровно два решения

Только на особых уровнях: вершины, точки пересечения веток, концы дуг (выколотые!), точки касания. Между соседними особыми уровнями число точек постоянно — достаточно взять по одной пробной прямой.

Окружность и прямая в плоскости (x; y)

Выделяем полные квадраты: $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0 ⟺ (x - 3)^{2} + y^{2} = 9$ — окружность, центр $C (3; 0)$ , радиус $R = 3$ . Прямые $y = x + a$ — параллельный перенос одной прямой; $y = k (x - x_{0}) + y_{0}$ — пучок прямых, вращающихся вокруг точки $(x_{0}; y_{0})$ .

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

расстояние от точки

(x_{0}; y_{0})

до прямой

A x + B y + C = 0

; касание при

d = R

, две общие точки при

d < R

Между касательными (пунктир) прямая

y = x + a

пересекает окружность в двух точках; зелёные — секущие при

a = - 3

a = - 5

Прямая $x - y + a = 0$ , центр $(3; 0)$ : $d = \frac{∣3 + a ∣}{2}$ .
Касание: $∣3 + a ∣ = 32$ , $a = - 3 \pm 32$ .
Две точки при $- 3 - 32 < a < - 3 + 32$ , одна — на концах, ни одной — снаружи.

Радиусы $R_{1}, R_{2}$ , расстояние между центрами $d$ . Две общие точки $⟺ ∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}$ ; касание — при $d = R_{1} + R_{2}$ или $d = ∣ R_{1} - R_{2} ∣$ . Так решаются системы вида $x^{2} + y^{2} = 6 x + 8 y - 9, x^{2} + y^{2} = a^{2}$ (вторая — окружность радиуса $∣ a ∣$ с центром в начале координат).

Модуль и окружности в плоскости (x; a)

∣ f ∣ = g ⟺ {g \geq 0, f = \pm g

условие

g \geq 0

отрезает часть плоскости

$∣ x^{2} + a^{2} - 2 x ∣ = 2 a$ . При каких $a$ ровно два корня?

$a \geq 0$ и $x^{2} - 2 x + a^{2} \mp 2 a = 0 ⟺ (x - 1)^{2} + (a \mp 1)^{2} = 2$ — две окружности радиуса $2$ с центрами $(1; 1)$ и $(1; - 1)$ , обе проходят через $(0; 0)$ и $(2; 0)$ .
Особые уровни: $a = 0$ (общие точки), вершина нижней окружности $a = 2 - 1$ , вершина верхней $a = 1 + 2$ .
Считаем точки на горизонталях (число корней подписано справа на рисунке): при $a = 0$ — 2 корня ( $x = 0$ и $x = 2$ ); при $0 < a < 2 - 1$ — 4 корня; при $a = 2 - 1$ — 3 корня; при $2 - 1 < a < 1 + 2$ — 2 корня; при $a = 1 + 2$ — 1 корень; выше — ни одного.

Закрашена запрещённая полуплоскость

a < 0

; ровно два корня:

a \in {0} \cup (2 - 1; 1 + 2)

Типичная потеря балла — забыть условие $g \geq 0$ или отдельную точку ( $a = 0$ здесь): ответ « $(2 - 1; 1 + 2)$ » без нуля — это 3 балла, не 4.

Произведение равно нулю, логарифмы, квадраты

f \cdot g = 0 ⟺ [f = 0, \exists g g = 0, \exists f

\exists g

— второй множитель определён (существует) при найденном

x

$ln A = ln B$

A = B

A > 0

(достаточно проверить одно)

$u^{2} = v^{2}$

(u - v) (u + v) = 0

u = v

или

u = - v

$3 x - 1 \cdot ln (x^{2} + 1 - a^{2}) = 0$ имеет ровно один корень на $[0; 1]$ .

Область: $x \geq \frac{1}{3}$ . Первый множитель: $x = \frac{1}{3}$ — корень, если логарифм определён: $\frac{1}{9} + 1 - a^{2} > 0$ , $∣ a ∣ < \frac{10}{3}$ .
Второй: $x^{2} + 1 - a^{2} = 1 ⟺ x = \pm a$ ; на рисунке это отрезки $a = \pm x$ при $\frac{1}{3} \leq x \leq 1$ (логарифм от 1 определён).
Ровно одна точка на горизонтали: $∣ a ∣ \leq \frac{1}{3}$ (корни совпали при $∣ a ∣ = \frac{1}{3}$ ) или $1 < ∣ a ∣ < \frac{10}{3}$ .

Выколотые концы: при

∣ a ∣ = \frac{10}{3}

логарифм в точке

x = \frac{1}{3}

не определён

∣ a ∣ \leq \frac{1}{3} или 1 < ∣ a ∣ < \frac{10}{3}

ответ примера:

a \in (- \frac{10}{3}; - 1) \cup [- \frac{1}{3}; \frac{1}{3}] \cup (1; \frac{10}{3})

Замена переменной и «квадратное по a»

После замены $t = t (x)$ важно знать, сколько $x$ даёт каждое $t$ . Для $t = x + \frac{9}{x}$ : $∣ t ∣ \geq 6$ , причём $t = \pm 6$ даёт один $x$ ( $\pm 3$ ), $∣ t ∣ > 6$ — два, $∣ t ∣ < 6$ — ни одного.

Горизонталь

t = c

пересекает график

t = x + \frac{9}{x}

в 0, 1 или 2 точках

$(x + \frac{9}{x})^{2} - 16 (x + \frac{9}{x}) + 60 = 0$ : $t^{2} - 16 t + 60 = 0$ , $t = 6$ или $t = 10$ .
$t = 6$ даёт $x = 3$ , $t = 10$ даёт $x = 1$ и $x = 9$ — всего 3 корня.
С параметром задача сводится к расположению корней квадратного трёхчлена по $t$ относительно $\pm 6$ : «ровно два корня» — например, один корень $t$ в зоне $∣ t ∣ > 6$ , а второй в зоне $∣ t ∣ < 6$ .

$t = ∣ x - p ∣ + ∣ x - q ∣$ имеет минимум $∣ p - q ∣$ на всём отрезке между $p$ и $q$ («полка» — бесконечно много $x$ ), а каждое большее значение даёт ровно два $x$ .

Если $a$ входит во второй степени, решите уравнение относительно $a$ : дискриминант обычно — полный квадрат. $a^{2} - (x^{2} + 1) a + x^{2} = 0$ : $D = (x^{2} - 1)^{2}$ , $a = x^{2}$ или $a = 1$ — дальше снова плоскость $(x; a)$ .

Графически или аналитически: как выбрать способ

Все 69 заданий № 19 банка ФИПИ мы разобрали и для каждого выбрали более короткий путь: графический — 17, аналитический — 52. В разборе задания вверху стоит плашка со способом и причиной, а ниже — оба решения: сначала аналитическое (если оно короче), потом графическое — с построенными графиками и ключевыми положениями при изменении $a$ .

Способ	Когда выбирать
Графический	фигура движется: прямая сдвигается или поворачивается вокруг точки, окружность или «уголок» скользят, квадрат $∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$ раздувается; особых положений много — касания, концы дуг, проход через точку. Или $a$ выражается через $x$ ( $a = f (x)$ ), и ответ читается по горизонталям в плоскости $(x; a)$ . Без рисунка пришлось бы разбирать расположение корней квадратного трёхчлена.
Аналитический	после разложения на множители, замены или подстановки все корни выписываются явно ( $x = 0$ , $x = 1 - 2 a$ , $x = \pm \frac{a}{2}$ …), и остаётся отбор: ОДЗ, отрезок, совпадение корней. Или задача сводится к одному-двум дискриминантам, теореме Виета, расположению корней относительно числа.

Способ

Когда выбирать

Графический

фигура движется: прямая сдвигается или поворачивается вокруг точки, окружность или «уголок» скользят, квадрат

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a

раздувается; особых положений много — касания, концы дуг, проход через точку. Или

a

выражается через

x

(

a = f (x)

), и ответ читается по горизонталям в плоскости

(x; a)

. Без рисунка пришлось бы разбирать расположение корней квадратного трёхчлена.

Аналитический

после разложения на множители, замены или подстановки все корни выписываются явно (

x = 0

x = 1 - 2 a

x = \pm \frac{a}{2}

…), и остаётся отбор: ОДЗ, отрезок, совпадение корней. Или задача сводится к одному-двум дискриминантам, теореме Виета, расположению корней относительно числа.

Сначала попробуйте разложить и выписать корни. Получилось — отбирайте аналитически, а рисунок в плоскости $(x; a)$ используйте для проверки. Корни «не выписываются», а фигура движется — сразу рисуйте.

Графический способ удобнее в заданиях ФИПИ № DADE95, 04FEB6, 37FD10, 4A8E2F, 6854C0, 752FA4, F3A6D5, 093D22, 421A63, 44907E, EDB7D3, 3D498A, 7B510F, DA9BFE, F605A0, 7CC260, ABE248.

Оформление и критерии

Равносильный переход с областью определения: корни, логарифмы, знаменатели, условие $g \geq 0$ для $∣ f ∣ = g$ .
Выбор плоскости и описание фигур словами: «парабола с вершиной…», «окружность с центром… радиуса…».
Рисунок с подписанными особыми точками.
Вычисление особых значений: касание (через $d = R$ или $D = 0$ ), пересечение веток, концы дуг — каждое числом, а не «с рисунка».
Подсчёт по промежуткам и в особых точках, затем ответ.

«Уравнение равносильно совокупности $a = x^{2} - 3 x$ , $a = 5 x - x^{2}$ . В плоскости $(x; a)$ это параболы с вершинами $(\frac{3}{2}; - \frac{9}{4})$ и $(\frac{5}{2}; \frac{25}{4})$ , пересекающиеся в точках $(0; 0)$ и $(4; 4)$ . Число решений равно числу общих точек прямой $a = const$ с объединением парабол…»

Балл	Что получено
4	обоснованно получен верный ответ
3	верным рассуждением получено множество, отличающееся от искомого конечным числом точек
2	верным рассуждением получены все граничные точки искомого множества
1	верно найдена хотя бы одна граничная точка

Проверяйте концы: точка касания, выколотая точка (не входит в область определения) и совпадение двух корней в один — три главные причины лишней или потерянной точки.

Шпаргалка номера

Видим	Делаем
$a$ выражается через $x$	$a = f (x)$ , горизонтали в плоскости $(x; a)$
$x^{2} + y^{2} + \dots$	полные квадраты → окружность $(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}$
$y = x + a$	параллельные прямые; касание: $d = R$
$y = k (x - x_{0}) + y_{0}$	пучок через точку $(x_{0}; y_{0})$
$∣ f ∣ = g$	$g \geq 0$ , $f = \pm g$
$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = a$	квадрат с вершинами $(\pm a; 0)$ , $(0; \pm a)$
$f \cdot g = 0$	множитель $= 0$ , другой определён
$ln A = ln B$	$A = B, A > 0$
$u^{2} = v^{2}$	$u = v$ или $u = - v$
$t = x + \frac{k}{x}$ $(k > 0)$	$∣ t ∣ \geq 2 k$ ; $t = \pm 2 k$ — один $x$
квадратное по $a$	разложить на множители относительно $a$

d = \frac{∣ A x _{0} + B y _{0} + C ∣}{A ^{2} + B ^{2}}

расстояние от центра до прямой: касание при

d = R

∣ R_{1} - R_{2} ∣ < d < R_{1} + R_{2}

у двух окружностей две общие точки (

d

— расстояние между центрами)

Порядок работы: упростить равносильно → нарисовать неподвижное → двигать то, что зависит от $a$ → найти особые положения → посчитать точки → собрать ответ с концами.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу банка ФИПИ и типовых вариантов: тот же уровень сложности, те же приёмы и ловушки. Начните с банка ФИПИ — там официальные прототипы, — а здесь тренируйтесь на новых числах. На экзамене записывается полное решение, его проверяет эксперт.

Критерии оценивания

Обоснованно получен верный ответ	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений a, отличающееся от искомого конечным числом точек	3
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого множества значений a	2
Верно получена хотя бы одна граничная точка искомого множества значений a	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0