ЕГЭ · Профильная математика · Задание 12 · На основе ФИПИ

Задание 12. Графики функций

В КИМ 2026 это было задание 11 · номера КИМ 2026

166 заданий уровня типовых вариантов ЕГЭ: те же сюжеты и ловушки, другие числа. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 12. Графики функций»

В теме 6 подтем: Прямые: значение и точка пересечения, Прямая и парабола или гипербола: вторая точка пересечения, Парабола по трём узлам, Гипербола: асимптоты и узел, Показательная функция, Функция с корнем.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

На рисунке — график функции заданного вида (например, $f (x) = \frac{k}{x}$ ), на нём отмечены точки с целыми координатами. Нужно найти неизвестные коэффициенты, а затем — значение функции в точке или абсциссу точки пересечения двух графиков, которая часто лежит за пределами рисунка.

Ответ — целое число или десятичная дробь, бывает отрицательным. Задание части 1, 1 балл.

$y = k x + b$ одна прямая или две прямые

$y = a x^{2} + b x + c$ парабола, с прямой

y = k x

$y = \frac{k}{x}$ гипербола, с прямой

y = a x + b

$y = a x$ ветвь корня, с прямой

y = k x

$y = a^{x}$ показательная функция

$y = lo g_{a} x$ логарифмическая функция

Подставить координаты отмеченных точек в формулу и найти коэффициенты. Сколько неизвестных коэффициентов — столько точек нужно.

Прямая y = kx + b

$b$ ордината точки пересечения с осью

O y

$k$ на сколько изменится

y

, если сдвинуться на

1

вправо

k = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

угловой коэффициент по двум точкам графика

(x_{1}; y_{1})

(x_{2}; y_{2})

b = - 2

(пересечение с

O y

k = \frac{3}{2}

: вправо на

2

— вверх на

3

Прямая проходит через $(0; - 2)$ и $(2; 1)$ . Найдите $f (6)$ .

$b = - 2$ ; $k = \frac{1 - ( - 2 )}{2 - 0} = 1, 5$ ; $f (x) = 1, 5 x - 2$ .
$f (6) = 9 - 2 = 7$ . Ответ: $7$ .

Прямая идёт вниз — $k$ отрицателен. Проверяйте знак по рисунку.

Две прямые

Коэффициенты читаем по отмеченным точкам, затем приравниваем:

\frac{x}{2} + 1 = x - 2

Первая прямая проходит через $(- 2; 0)$ и $(0; 1)$ , вторая — через $(0; - 2)$ и $(1; - 1)$ . Абсцисса точки пересечения $A$ ?

Первая: $b = 1$ , $k = \frac{1 - 0}{0 + 2} = \frac{1}{2}$ , $y = \frac{x}{2} + 1$ . Вторая: $b = - 2$ , $k = 1$ , $y = x - 2$ .
$\frac{x}{2} + 1 = x - 2 \Rightarrow \frac{x}{2} = 3$ , $x = 6$ . Ответ: $6$ .

Проверка: подставьте ответ в обе формулы — значения $y$ должны совпасть: $\frac{6}{2} + 1 = 4$ и $6 - 2 = 4$ .

Парабола y = ax² + bx + c

Что видно на рисунке	Удобная запись
корни $x_{1}$ , $x_{2}$	$y = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$
вершина $(x_{0}; y_{0})$	$y = a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$
пересечение с $O y$	$c = y (0)$

Ветви вверх — $a > 0$ , вниз — $a < 0$ . Коэффициент $a$ находят по ещё одной точке.

Парабола пересекает $O x$ в точках $- 1$ и $3$ , а $O y$ — в точке $(0; - 3)$ . Найдите $f (5)$ .

$f (x) = a (x + 1) (x - 3)$ ; $f (0) = - 3 a = - 3$ , $a = 1$ .
$f (5) = 6 \cdot 2 = 12$ . Ответ: $12$ .

f (x) = (x - 2)^{2} + 1

g (x) = 2 x

: точки пересечения

x = 1

x = 5

Вершина параболы $(2; 1)$ , она проходит через $(0; 5)$ ; прямая $y = k x$ — через $(1; 2)$ . Абсцисса точки $B$ ?

$f = a (x - 2)^{2} + 1$ , $f (0) = 4 a + 1 = 5$ , $a = 1$ ; $g = 2 x$ .
$x^{2} - 4 x + 5 = 2 x \Rightarrow x^{2} - 6 x + 5 = 0$ , $x = 1$ (это $A$ ) или $x = 5$ . Ответ: $5$ .

Гипербола y = k/x

Для любой точки гиперболы $k = x \cdot y$ . При $k > 0$ ветви в I и III четвертях, при $k < 0$ — во II и IV.

k = x \cdot y = (- 2) \cdot (- 3) = 6

; прямая проходит через

(0; - 1)

A

$f (x) = \frac{k}{x}$ и $g (x) = a x + b$ пересекаются в $A (- 2; - 3)$ и $B$ ; прямая проходит через $(0; - 1)$ . Абсцисса $B$ ?

$k = 6$ ; $b = - 1$ ; $- 3 = - 2 a - 1$ , $a = 1$ : $g = x - 1$ .
$\frac{6}{x} = x - 1 \Rightarrow x^{2} - x - 6 = 0$ , $x = - 2$ (точка $A$ ) или $x = 3$ . Ответ: $3$ .

Абсцисса $A$ известна — второй корень быстрее найти по теореме Виета: $x_{A} \cdot x_{B} = - 6$ , $x_{B} = \frac{- 6}{- 2} = 3$ .

Гипербола $y = \frac{k}{x}$ проходит через $(4; - 1)$ . Найдите $f (16)$ .

$k = 4 \cdot (- 1) = - 4$ ; $f (16) = - \frac{4}{16} = - 0, 25$ . Ответ: $- 0, 25$ .

Корень y = a√x

График начинается в $(0; 0)$ . Удобные точки — где $x$ целый: $x = 1, 4, 9$ . При $a < 0$ ветвь идёт вниз.

Вторая точка пересечения

x = 144

далеко за рисунком — её находят только вычислением

$f (x) = a x$ проходит через $(9; - 6)$ . Найдите $f (64)$ .

$- 6 = a \cdot 3$ , $a = - 2$ .
$f (64) = - 2 \cdot 8 = - 16$ . Ответ: $- 16$ .

$f = a x$ через $(1; 3)$ , $g = k x$ через $(4; 1)$ . Абсцисса $B \neq = 0$ ?

$a = 3$ , $k = \frac{1}{4}$ .
$3 x = \frac{x}{4}$ ; делим на $x \neq = 0$ : $x = 12$ , $x = 144$ . Ответ: $144$ .

Нашли $x = 12$ — ответ не $12$ , а $1 2^{2} = 144$ .

Показательная y = aˣ

Любой

y = a^{x}

проходит через

(0; 1)

; при

x = 1

высота равна

a

Через точку $(1; y_{1})$ : $a = y_{1}$ . Через $(- 1; y_{1})$ : $a^{- 1} = y_{1}$ , то есть $a = \frac{1}{y _{1}}$ .
$a > 1$ — функция растёт, $0 < a < 1$ — убывает.

График $f (x) = a^{x}$ проходит через $(- 1; 2)$ . Найдите $f (- 5)$ .

$a^{- 1} = 2$ , $a = \frac{1}{2}$ .
$f (- 5) = (\frac{1}{2})^{- 5} = 2^{5} = 32$ . Ответ: $32$ .

Если отмечена точка $(2; 9)$ , то $a^{2} = 9$ , $a = 3$ ( $a > 0$ по определению).

Логарифм y = logₐx

Любой

y = lo g_{a} x

проходит через

(1; 0)

; точка с ординатой

1

— это

(a; 1)

Через $(a; 1)$ : основание — абсцисса точки с $y = 1$ . Через $(b; - 1)$ : $a^{- 1} = b$ , $a = \frac{1}{b}$ .
Через $(4; 2)$ : $a^{2} = 4$ , $a = 2$ .

$f (x) = lo g_{a} x$ проходит через $(3; - 1)$ . Найдите $f (81)$ .

$lo g_{a} 3 = - 1 \Rightarrow a^{- 1} = 3$ , $a = \frac{1}{3}$ .
$f (81) = lo g_{1/3} 81 = - 4$ , так как $(\frac{1}{3})^{- 4} = 81$ . Ответ: $- 4$ .

Убывающий график — основание меньше $1$ , и значения при $x > 1$ отрицательны. Если получился положительный ответ, проверьте знак.

Шпаргалка номера

Вид	Как найти коэффициенты
$k x + b$	$b = y (0)$ , $k = \frac{Δ y}{Δ x}$
$a x^{2} + b x + c$	$a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ или $a (x - x_{0})^{2} + y_{0}$ ; $c = y (0)$
$\frac{k}{x}$	$k = x \cdot y$ любой точки
$a x$	$a = \frac{y}{x}$ в точке с $x = 1, 4, 9$
$a^{x}$	$a = y (1)$ ; $(0; 1)$ — у всех
$lo g_{a} x$	$y (a) = 1$ ; $(1; 0)$ — у всех

Приравнять формулы, решить уравнение; один корень — уже известная точка $A$ , ответ — другой. Для квадратного уравнения $x_{A} \cdot x_{B} = \frac{c}{a}$ , $x_{A} + x_{B} = - \frac{b}{a}$ .

Проверьте найденную формулу по третьей точке рисунка — это защищает от ошибки в знаке.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу банка ФИПИ и типовых вариантов: тот же уровень сложности, те же приёмы и ловушки. Начните с банка ФИПИ — там официальные прототипы, — а здесь тренируйтесь на новых числах. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0