ЕГЭ · Профильная математика · Задание 8 · На основе ФИПИ

Задание 8. Производная и первообразная

150 заданий уровня типовых вариантов ЕГЭ: те же сюжеты и ловушки, другие числа. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 8. Производная и первообразная»

В теме 12 подтем: График f′: отмеченные точки в промежутках возрастания/убывания, График f: в скольких отмеченных точках f′ > 0 (f′ < 0), График f′: число точек максимума/минимума/экстремума на отрезке, График f′: наибольшее/наименьшее значение, точка экстремума, горизонтальная касательная, График f′: целые точки и длины промежутков монотонности, График f′: касательная параллельна данной прямой, График f и касательная: значение производной, График f: в какой отмеченной точке производная наибольшая/наименьшая и ещё 4.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

В задании 8 дан рисунок — график функции $y = f (x)$ или график её производной $y = f^{'} (x)$ . По нему надо ответить на вопрос о производной или о поведении функции. Считать производную по формуле не нужно. Ответ — число (значение, количество точек или абсцисса точки), 1 первичный балл.

Касательнаязначение

f^{'} (x_{0})

по касательной, проведённой к графику

f

Знак производнойв скольких отмеченных точках

f^{'} > 0

или

f^{'} < 0

— по графику

f

Нули производнойкорни

f^{'} (x) = 0

— вершины графика

f

Экстремумы по $f^{'}$ количество точек максимума, минимума, экстремума

Монотонность по $f^{'}$ сколько точек лежит на промежутках возрастания / убывания

Отрезокв какой точке отрезка

f

принимает наибольшее/наименьшее значение

Первым делом прочитайте подпись: «график функции» и «график производной» читаются совершенно по-разному. Это главный источник ошибок номера.

Производная и касательная

Значение производной в точке $x_{0}$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке — тангенсу угла наклона касательной к оси $O x$ .

f^{'} (x_{0}) = k = \frac{Δ y}{Δ x}

k

— угловой коэффициент касательной;

Δ x

Δ y

— изменения абсциссы и ординаты при переходе между двумя точками касательной

Касательная проходит через узлы сетки

(- 2; 0)

(4; 3)

По рисунку найдите $f^{'} (x_{0})$ .

Найдём на касательной две точки в узлах сетки: $(- 2; 0)$ и $(4; 3)$ .
$Δ x = 4 - (- 2) = 6$ , $Δ y = 3 - 0 = 3$ .
$f^{'} (x_{0}) = \frac{3}{6} = 0, 5$ . Ответ: $0, 5$ .

Если касательная идёт вниз (слева направо), производная отрицательна: $Δ y < 0$ , и в ответе ставят минус. Точки берите только в узлах сетки, иначе ответ будет приблизительным.

Дан график функции f

На графике $f$	Производная
график идёт вверх (функция возрастает)	$f^{'} (x) > 0$
график идёт вниз (функция убывает)	$f^{'} (x) < 0$
вершина «горки» или «ямы»	$f^{'} (x) = 0$
чем круче подъём	тем больше $f^{'} (x)$

Знак над точкой — знак

f^{'}

: смотрим, куда идёт график

Сколько из отмеченных точек $x_{1}, \dots, x_{6}$ лежат там, где производная положительна?

Где график поднимается: в $x_{1}$ и $x_{6}$ — там $f^{'} > 0$ .
В $x_{2}$ , $x_{5}$ — вершины, $f^{'} = 0$ ; в $x_{3}$ , $x_{4}$ график опускается, $f^{'} < 0$ .
Ответ: $2$ .

Знак производной не зависит от того, выше или ниже оси $O x$ лежит сам график $f$ . В точке $x_{3}$ значение $f (x_{3}) > 0$ , но $f^{'} (x_{3}) < 0$ .

Количество корней $f^{'} (x) = 0$ по графику $f$ — это число вершин (точек, где касательная горизонтальна). «Наибольшее значение производной из отмеченных точек» — там, где подъём самый крутой; «наименьшее» — где спуск самый крутой.

Дан график производной f′

Теперь важна не форма графика, а его положение относительно оси $O x$ .

Нули

f^{'}

с переменой знака — экстремумы

f

; в точке

5

знак не меняется

На графике $f^{'}$	Для функции $f$
выше оси $O x$	$f$ возрастает
ниже оси $O x$	$f$ убывает
пересекает ось: «−» → «+»	точка минимума
пересекает ось: «+» → «−»	точка максимума
касается оси, знак не меняется	не экстремум

По графику на рисунке найдите количество точек экстремума функции $f$ на отрезке $[- 6; 6]$ .

Нули $f^{'}$ : $- 3$ , $1$ , $5$ .
В $- 3$ знак меняется с «−» на «+» — минимум; в $1$ — с «+» на «−» — максимум.
В $5$ график касается оси и остаётся ниже — экстремума нет. Ответ: $2$ .

Наибольшее и наименьшее на отрезке

Если на отрезке производная не меняет знак, функция монотонна, и ответ — один из концов отрезка.

На отрезке

[1; 4]

график

f^{'}

ниже оси:

f

убывает

$f^{'} > 0$ на отрезке

f

растёт: наибольшее — в правом конце, наименьшее — в левом

$f^{'} < 0$ на отрезке

f

убывает: наибольшее — в левом конце, наименьшее — в правом

$f^{'}$ меняет знак«+» → «−»: наибольшее в точке максимума; «−» → «+»: наименьшее в точке минимума

По графику производной найдите, в какой точке отрезка $[1; 4]$ функция $f$ принимает наибольшее значение.

На $(1; 4)$ график $f^{'}$ лежит ниже оси: $f^{'} (x) < 0$ , функция убывает.
Убывающая функция больше всего в левом конце. Ответ: $1$ .

Отвечают абсциссой точки ( $x$ ), а не значением функции: значение $f$ по графику производной вообще не определить.

Подсчёт точек по графику f′

1) Отметить на оси концы отрезка из условия. 2) Найти точки, где график $f^{'}$ пересекает ось $O x$ внутри отрезка. 3) Для каждой определить смену знака и отобрать нужные.

Тот же график производной

По графику производной найдите количество точек максимума функции $f$ на отрезке $[- 6; 6]$ и количество точек минимума.

Смена «+» → «−» только в точке $1$ : точек максимума — $1$ .
Смена «−» → «+» только в точке $- 3$ : точек минимума — $1$ .

По этому графику: в какой точке отрезка $[- 5; 0]$ функция принимает наименьшее значение?

До $- 3$ производная отрицательна (убывает), после — положительна (растёт).
Наименьшее значение — в точке минимума. Ответ: $- 3$ .

Вопрос «сколько отмеченных точек принадлежат промежуткам возрастания $f$ » по графику $f^{'}$ — это «над сколькими точками график $f^{'}$ выше оси».

Не путайте: на графике $f^{'}$ «горки» и «ямы» — это не экстремумы $f$ . Экстремумы $f$ — там, где $f^{'}$ пересекает ось.

Шпаргалка номера

Вопрос	График $f$	График $f^{'}$
$f^{'} > 0$	график идёт вверх	выше оси
$f^{'} < 0$	график идёт вниз	ниже оси
$f^{'} = 0$	вершины	точки на оси
максимум $f$	вершина «горки»	пересечение «+» → «−»
минимум $f$	дно «ямы»	пересечение «−» → «+»
$f^{'} (x_{0})$	$\frac{Δ y}{Δ x}$ по касательной	ордината графика в $x_{0}$

Значение $f^{'} (x_{0})$ по графику $f^{'}$ — это просто высота точки графика над $x_{0}$ . А по графику $f$ — наклон касательной.

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу банка ФИПИ и типовых вариантов: тот же уровень сложности, те же приёмы и ловушки. Начните с банка ФИПИ — там официальные прототипы, — а здесь тренируйтесь на новых числах. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0