ЕГЭ · Базовая математика · Задание 8 · На основе ФИПИ

Задание 8. Анализ утверждений

40 заданий по образцу банка ФИПИ: тот же навык и форма ответа, свои тексты, факты и данные. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 8. Анализ утверждений»

В теме 5 подтем: Логика: следствия из условия «если …, то …», Логика: сравнения и порядок, Логика: оценки значений, Логика: множества и подсчёт, Логика: «все», «некоторые», «ни один».

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Дано короткое условие (правило, числа, сравнения) и четыре утверждения. Нужно выбрать все утверждения, которые верны при любом раскладе, удовлетворяющем условию. Ответ — номера подряд по возрастанию, например $14$ . Задание оценивается в $1$ балл.

«Если…, то…»правило и его следствия; обратное утверждение

Два множества«из 30 человек 18 — одно, 15 — другое»

Порядокстарше/младше, больше/меньше этажей

Границы«рост больше 180 и меньше 197 см»

Непересекающиеся группы«среди них не будет тех, кто…»

Утверждение верно, если оно следует из условия всегда. Чтобы признать его неверным, достаточно одного контрпримера — ситуации, которая подходит под условие, но в которой утверждение ложно.

Неверно и «может быть верно», и «бывает верно»: если утверждение выполняется лишь иногда, его не выбирают.

«Если A, то B»

Правило «если A, то B» говорит: всякий раз, когда есть A, есть и B. На кругах Эйлера множество A лежит внутри множества B.

Дождь всегда означает зонт; зонт бывает и без дождя

Утверждение	Следует ли?
если A, то B (частный случай A — тоже)	да
если не B, то не A	да — равносильно правилу
если B, то A (обратное)	нет
если не A, то не B	нет

Правило: «Если идёт дождь, Маша берёт зонт». Какие утверждения верны? 1) Если Маша без зонта, то дождя нет. 2) Если Маша с зонтом, то идёт дождь. 3) Если дождя нет, то Маша без зонта. 4) Если идёт сильный дождь, Маша берёт зонт.

1 — «если не B, то не A»: верно.
2 — обратное: Маша могла взять зонт от солнца. Неверно.
3 — «если не A, то не B»: тот же контрпример. Неверно.
4 — сильный дождь тоже дождь: верно. Ответ: $14$ .

Два множества в одной группе

В группе $n$ человек; $a$ обладают первым свойством, $b$ — вторым. Сколько обладают обоими?

a + b - n \leq x \leq min (a; b)

x

— число тех, у кого оба свойства

Если $a + b - n$ отрицательно, нижняя граница — $0$ . Если $a + b > n$ , «лишние» $a + b - n$ человек обязательно попадают в оба множества. Ни в одно множество не попадают не больше $n - max (a; b)$ человек.

Наименьшее пересечение:

18 + 15 - 30 = 3

В классе $30$ учеников: $18$ занимаются шахматами, $15$ — футболом. 1) Хотя бы трое занимаются и тем, и другим. 2) Найдутся $13$ учеников, которые не занимаются ничем. 3) Если ученик играет в футбол, то он занимается шахматами. 4) Обоими видами занимаются не больше $15$ человек.

1: $x \geq 18 + 15 - 30 = 3$ — верно.
2: ни в одном не больше $30 - 18 = 12$ — неверно.
3: футболисты не обязаны все быть шахматистами (на рисунке их $12$ ) — неверно.
4: $x \leq min (18; 15) = 15$ — верно. Ответ: $14$ .

Подробнее: дни, кексы, печенье

«Отпуск $9$ дней; $2$ раза на смотровой площадке, $3$ раза на пляже» — та же задача: $n = 9$ дней, $a = 2$ , $b = 3$ . Дней без того и другого — от $9 - 3 - 2 = 4$ до $9 - 3 = 6$ . Значит, «не может оказаться, что он 2 дня никуда не ходил» — верно, а «хотя бы 1 день он был в обоих местах» — неверно ( $a + b - n < 0$ , пересечение может быть пустым).

Порядок: старше, выше, больше

Расставьте всех на одной прямой. «Больше» — строго правее; «не больше», «не старше» — левее или на том же месте.

Петя выше Коли, но ниже Димы; Саша не выше Коли

Петя выше Коли, но ниже Димы. Саша не выше Коли. 1) Дима самый высокий из четверых. 2) Саша и Коля одного роста. 3) Саша ниже Пети. 4) Коля выше Саши.

Цепочка: Саша $\leq$ Коля $<$ Петя $<$ Дима.
1 — верно. 3 — Саша $\leq$ Коля $<$ Петя, значит, Саша ниже Пети — верно.
2 и 4 — оба возможны, но ни одно не обязательно («не выше» допускает и равенство, и строгое «ниже»). Ответ: $13$ .

«Не младше» — это «старше или ровесник», а не «старше».

Границы и непересекающиеся группы

Концы выколоты: ни

170

, ни

190

см не бывает; разница любых двух меньше

20

см

Рост каждого игрока больше $170$ и меньше $190$ см. 1) Есть игрок ростом $190$ см. 2) Нет игроков ростом $165$ см. 3) Рост любых двух игроков различается меньше чем на $20$ см. 4) Обязательно есть игрок ростом $180$ см.

Все значения строго в интервале $(170; 190)$ .
1: $190$ не входит — неверно. 2: $165 < 170$ — верно.
3: разница меньше $190 - 170 = 20$ — верно.
4: значения могут быть любыми внутри, $180$ не обязательно. Ответ: $23$ .

Некоторые ученики в октябре ходили в театр. В декабре некоторые пойдут в музей, причём среди них не будет тех, кто был в театре. 1) Нет ученика, побывавшего и в театре, и в музее. 2) Найдётся ученик, который не был ни там, ни там. 3) Если ученик пойдёт в музей, то в театре он не был. 4) Каждый ученик побывает хотя бы в одном месте.

Группы «театр» и «музей» не пересекаются: 1 и 3 — верно.
2 и 4: про остальных учеников ничего не сказано — может быть и так, и так. Ответ: $13$ .

Слова-ловушки

Слово	Когда утверждение верно
каждый, любой, все	для всех без исключения — один контрпример опровергает
обязательно, всегда	при любом раскладе по условию
найдётся, хотя бы один	существование гарантировано условием
может оказаться	есть хотя бы один допустимый расклад
не может оказаться	ни один допустимый расклад этого не даёт
больше / не меньше	$>$ / $\geq$

Для каждого утверждения попробуйте придумать «вредный» расклад, который его нарушает. Не получилось и видно, почему, — утверждение верно.

Утверждения, противоречащие условию напрямую (рост $200$ см при «меньше $197$ »), неверны. Но утверждения, которые условие просто не запрещает, тоже не выбирают — нужна гарантия. Исключение — утверждения со словами «может оказаться»: им достаточно одного возможного расклада.

Шпаргалка номера

Ситуация	Что верно всегда
если A, то B	если не B, то не A; частный случай A ⇒ B
$a$ и $b$ из $n$	оба свойства: от $a + b - n$ до $min (a; b)$
ни одного свойства	не больше $n - max (a; b)$
цепочка $<$ , $\leq$	только то, что следует по цепочке
значения в $(p; q)$	разница любых двух $< q - p$ ; концы не входят
группы не пересекаются	никто не входит в обе

Номера всех верных утверждений подряд, без пробелов и запятых: $14$ .

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу открытого банка ФИПИ: тот же номер КИМ, тот же проверяемый навык и та же форма ответа, но свои формулировки, тексты и данные. Начните с банка ФИПИ — там официальные задания, — а здесь закрепляйте навык. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: цифры — подряд, без пробелов и запятых, слово — как требует задание; несколько чисел таблицы ответа — через пробел.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0