ЕГЭ · Базовая математика · Задание 7 · На основе ФИПИ

Задание 7. Анализ графиков: функция и производная

40 заданий по образцу банка ФИПИ: тот же навык и форма ответа, свои тексты, факты и данные. Впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Учителю — работа из заданий этого номера: на бумаге · онлайн-тест · в классе

Родителю: как помочь с темой «Задание 7. Анализ графиков: функция и производная»

В теме 5 подтем: Чтение графиков реальных зависимостей, Знаки функции и производной в точках, Свойства функции на интервалах по графику, Свойства функций, заданных формулами, на отрезке, Угловой коэффициент и производная по графику.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Задание на соответствие: четырём объектам А, Б, В, Г (интервалам, точкам, графикам или формулам) нужно подобрать по одной характеристике из списка 1–4. Ответ — четыре цифры подряд, например $3142$ . Задание оценивается в $1$ балл.

График процессатемпература, давление, скорость, цена акции по времени

Интервалы и точкизнак функции и производной по графику

y = f (x)

Прямые $y = k x + b$ знаки

k

b

, угловой коэффициент, график производной

Касательнаязначение

f^{'} (x_{0})

по клеточкам

Формулылинейная и квадратичная функция на отрезке: рост, убывание, экстремум, знак

Ищите сначала самую «узнаваемую» пару — ту, где характеристика подходит только одному объекту. Последнюю пару удобно получить методом исключения, но всё равно проверьте её.

Графики реальных процессов

По горизонтали — время, по вертикали — величина. Читаем, как ведёт себя линия на каждом интервале.

Температура двигателя: на 2–3 мин — самый быстрый рост, на 6–7 мин не меняется, на 8–10 мин падает

Фраза	Как выглядит на графике
росла / падала	линия идёт вверх / вниз на всём интервале
не менялась	горизонтальный участок
наибольший рост	самый крутой подъём: наибольшее изменение за одно деление
достигла максимума	на интервале есть самая высокая точка всего графика
была в пределах от … до …	весь участок — в горизонтальной полосе между этими значениями

По графику: на каком интервале — 0–1, 2–3, 6–7 или 8–10 мин — рост был самым быстрым?

0–1: $32 - 20 = 12$ °C за минуту; 2–3: $62 - 44 = 18$ °C; 6–7: $0$ ; 8–10 — падение.
Наибольший рост — на интервале 2–3 мин.

«Росла на всём интервале» не выполнено, если внутри интервала есть хоть один горизонтальный или нисходящий кусок.

Знак функции и производной по графику

Знак функции $f (x)$ — где график: выше оси $O x$ — $f (x) > 0$ , ниже — $f (x) < 0$ , на оси — $f (x) = 0$ .

Знак производной $f^{'} (x)$ — куда идёт график: вверх (возрастает) — $f^{'} (x) > 0$ , вниз (убывает) — $f^{'} (x) < 0$ , в вершине «горки» или «ямы» (точка максимума или минимума) — $f^{'} (x) = 0$ .

Положение точки — знак

f

; направление графика — знак

f^{'}

Точка	$f (x)$	$f^{'} (x)$
A	$< 0$ (ниже оси)	$> 0$ (растёт)
B	$> 0$	$= 0$ (вершина)
C	$= 0$	$< 0$ (убывает)
D	$= 0$	$> 0$

Интервал $(a; b)$ : «функция принимает и положительные, и отрицательные значения» — график на нём пересекает ось $O x$ ; «производная принимает значения разных знаков» — на интервале есть вершина (рост сменяется убыванием или наоборот).

Не путайте: знак $f$ смотрят по высоте точки, знак $f^{'}$ — по наклону. В точке C функция равна нулю, но производная отрицательна.

Прямая $y = k x + b$

$k$ — угловой коэффициент: $k > 0$ — прямая идёт вверх слева направо, $k < 0$ — вниз. $b$ — точка пересечения с осью $O y$ : выше нуля — $b > 0$ , ниже — $b < 0$ .

k = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}

угловой коэффициент по двум точкам

$(x_{1}; y_{1})$ и $(x_{2}; y_{2})$ — две точки прямой в узлах клеток; $Δ x$ — сдвиг вправо, $Δ y$ — подъём (вниз — со знаком «минус»).

Фиолетовая: вправо на 1, вверх на 2 —

k = 2

b = - 1

. Розовая: вправо на 2, вниз на 1 —

k = - 0, 5

b = 2

$(k x + b)^{'} = k$ — одно и то же число во всех точках. Поэтому график производной линейной функции — горизонтальная прямая $y = k$ , а значение производной в любой точке (например, при $x = 1$ ) равно $k$ .

Сравнивая крутизну: чем больше $∣ k ∣$ , тем круче прямая. Прямая под углом $4 5^{\circ}$ вверх имеет $k = 1$ .

Касательная и $f^{'} (x_{0})$

Значение производной в точке $x_{0}$ равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к графику в этой точке: $f^{'} (x_{0}) = k_{кас}$ .

Касательная проходит через узлы

(2; 0)

(4; 4)

f^{'} (x_{0}) = \frac{4}{2} = 2

Касательная к графику в точке $x_{0}$ проходит через точки $(- 1; 3)$ и $(4; 1)$ . Найдите $f^{'} (x_{0})$ .

$Δ x = 4 - (- 1) = 5$ , $Δ y = 1 - 3 = - 2$ .
$f^{'} (x_{0}) = \frac{- 2}{5} = - 0, 4$ .

Сначала знак: касательная идёт вниз — производная отрицательна. Это сразу отсекает половину вариантов ответа. Затем величина: крутая касательная — $∣ f^{'} ∣ > 1$ , пологая — $∣ f^{'} ∣ < 1$ .

Точки для подсчёта берите только в узлах клеток и именно на касательной, а не на самом графике функции.

Функция задана формулой

Линейная $y = k x + b$ : при $k > 0$ возрастает, при $k < 0$ убывает, экстремумов нет.

Квадратичная $y = a x^{2} + b x + c$ : вершина в точке $x_{в} = - \frac{b}{2 a}$ . При $a > 0$ ветви вверх — в вершине минимум; при $a < 0$ ветви вниз — максимум.

Вершина

x_{в} = 3

лежит внутри отрезка

[1; 4]

— на нём есть точка минимума

Сопоставьте функции и характеристики на отрезке $[1; 4]$ . А) $y = 3 x - 2$ ; Б) $y = x^{2} - 6 x + 5$ ; В) $y = - 2 x + 1$ ; Г) $y = x^{2} - 10 x + 30$ .

А: $k = 3 > 0$ — возрастает.
Б: $x_{в} = \frac{6}{2} = 3 \in [1; 4]$ , $a > 0$ — есть точка минимума.
В: $k = - 2 < 0$ — убывает; $y (1) = - 1$ , $y (4) = - 7$ — в каждой точке отрезка отрицательна.
Г: $x_{в} = 5 \in / [1; 4]$ — на отрезке экстремума нет, функция только убывает; $y (1) = 21$ , $y (4) = 6$ — везде положительна.

Квадратичная функция бывает монотонной на отрезке: если вершина вне отрезка, точки максимума/минимума на нём нет.

Знак на отрезке: для линейной функции достаточно значений на концах; для квадратичной — на концах и в вершине, если она внутри.

Шпаргалка номера

Что видно	Что это значит
график выше / ниже оси $O x$	$f > 0$ / $f < 0$
график идёт вверх / вниз	$f^{'} > 0$ / $f^{'} < 0$
вершина «горки» / «ямы»	максимум / минимум, $f^{'} = 0$
прямая $y = k x + b$	$k = \frac{Δ y}{Δ x}$ , $b$ — пересечение с $O y$ , $y^{'} = k$
касательная в $x_{0}$	$f^{'} (x_{0}) = k_{кас} = \frac{Δ y}{Δ x}$
$y = a x^{2} + b x + c$	вершина $x_{в} = - \frac{b}{2 a}$ ; $a > 0$ — min, $a < 0$ — max
процесс «не менялся»	горизонтальный участок графика
«наибольший рост»	самый крутой подъём

Цифры характеристик в порядке букв А, Б, В, Г — без пробелов: $3142$ .

Задания «На основе ФИПИ» составлены reknow.ru по образцу открытого банка ФИПИ: тот же номер КИМ, тот же проверяемый навык и та же форма ответа, но свои формулировки, тексты и данные. Начните с банка ФИПИ — там официальные задания, — а здесь закрепляйте навык. Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: цифры — подряд, без пробелов и запятых, слово — как требует задание; несколько чисел таблицы ответа — через пробел.

Задания этого раздела составлены reknow.ru, в банке ФИПИ их нет. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0