ФИПИ · ЕГЭ · Базовый уровень · Задание 15

Задание 15 (часть 2). Простейшие текстовые задачи: проценты

140 заданий открытого банка ФИПИ: впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Родителю: как помочь с темой «Задание 15 (часть 2). Простейшие текстовые задачи: проценты»

В теме 2 подтемы: Простейшие текстовые задачи: проценты, Рациональные числа.

Попросите ребёнка открыть теорию и за 2–3 минуты своими словами рассказать вам главное.
Затем 10 заданий во вкладке «Практика»: смотрите не на скорость, а на точность — и на то, где понадобилась подсказка.
Ошибки не решайте за него: разберите пошаговое решение вместе и вернитесь к ним через день-два.

Кабинет родителя: что проходят, проверочные, результат ребёнка по ссылке →

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Задание 15 — короткая задача на проценты и отношения: цены и скидки, налог, вклад, бюджет, доли учащихся, деление в заданном отношении.

Ответ — число (рубли, человек, проценты, гектары…) без единиц и знака %, целое или конечная десятичная дробь. Задание оценивается в 1 балл.

Процент от числаБюджет, пенсионеры, решили задачу, скидка по карте.

Число по процентуСколько всего учащихся, если

42

человека — это

35 %

Цена до измененияЦена выросла на

p %

и стала

X

; зарплата после налога.

На сколько процентовБыло и стало — найти изменение в процентах.

Два измененияПодорожало дважды, две скидки подряд, скидка на второй товар.

Отношения и долиДеление в отношении

a : b

, «на

n

больше», доли в процентах, концентрация, среднее.

Процент от числа и число по проценту

Процент — сотая часть: $1 % = 0, 01$ . Найти $p %$ от числа — умножить на $\frac{p}{100}$ .

Всё количество — это

100 %

часть = A \cdot \frac{p}{100} A = часть \cdot \frac{100}{p}

A

— всё количество (100 %),

p

— сколько процентов составляет часть

Бюджет города $60$ млн рублей, на одну статью потратили $35 %$ . Сколько миллионов потрачено?

$60 \cdot 0, 35 = 21$ . Ответ: 21.

$27$ учащихся составляют $15 %$ всех учащихся школы. Сколько учащихся в школе?

$1 %$ — это $27 : 15 = 1, 8$ человека.
$100 %$ — это $1, 8 \cdot 100 = 180$ . Ответ: 180.

Доли в проценты: половина — $50 %$ , четверть — $25 %$ , пятая — $20 %$ , восьмая — $12, 5 %$ , десятая — $10 %$ .

Повышение и снижение

Повышение на

15 %

— умножение на

1, 15

рост : \times (1 + \frac{p}{100}) снижение : \times (1 - \frac{p}{100})

наценка, вклад под

p %

годовых — рост; скидка, уценка, налог — снижение

Скидка $15 %$ Платим

85 %

280 \cdot 0, 85 = 238

Налог $13 %$ На руки

87 %

25000 \cdot 0, 87 = 21750

Вклад $12 %$ годовыхЧерез год

7000 \cdot 1, 12 = 7840

Цену чайника повысили на $15 %$ , и она стала $2300$ рублей. Сколько стоил чайник раньше?

$2300$ — это $115 %$ старой цены: $x \cdot 1, 15 = 2300$ .
$x = 2300 : 1, 15 = 2000$ . Ответ: 2000.

После удержания налога $13 %$ получено $17400$ рублей. Найдите зарплату.

$17400$ — это $87 %$ зарплаты.
$17400 : 0, 87 = 20000$ . Ответ: 20 000.

Нельзя отнимать $15 %$ от новой цены: $2300 - 345 = 1955$ — неверно. Проценты считают от того, что было до изменения.

На сколько процентов изменилось

\frac{стало - было}{было} \cdot 100 %

плюс — выросло, минус — уменьшилось; делят всегда на старое значение

Телефон стоил $2500$ рублей, потом стал стоить $1900$ . На сколько процентов снизилась цена?

Снижение $2500 - 1900 = 600$ рублей.
$\frac{600}{2500} \cdot 100 % = 24 %$ . Ответ: 24.

Товар стоит $40$ рублей, покупатель заплатил $35$ рублей $60$ копеек. Сколько процентов составила скидка?

Скидка $40 - 35, 6 = 4, 4$ рубля.
$\frac{4 , 4}{40} \cdot 100 % = 11 %$ . Ответ: 11.

Как сказано	Изменение
новая цена $0, 77$ от старой	снизилась на $23 %$
выросло в $1, 5$ раза	на $50 %$
выросло вчетверо	на $300 %$
уменьшилось в $2$ раза	на $50 %$

Два изменения подряд

Второй процент считается от уже изменённой цены

При последовательных изменениях множители перемножают: $- 20 %$ , затем $- 10 %$ — это $\times 0, 8 \cdot 0, 9 = \times 0, 72.$

Килограмм винограда стоил $80$ рублей, в октябре подорожал на $10 %$ , в ноябре — ещё на $25 %$ . Сколько он стоит теперь?

$80 \cdot 1, 1 = 88$ .
$88 \cdot 1, 25 = 110$ . Ответ: 110.

Скидка на второй товарДва свитера по

450

, на второй скидка

30 %

450 + 450 \cdot 0, 7 = 765

Цены от одной базыПиджак на

20 %

дороже брюк, жилет на

20 %

дешевле:

1, 2 x + 0, 8 x + x = 3 x

$- 20 %$ и $- 10 %$ не дают $- 30 %$ : итог $- 28 %$ . Проценты подряд не складывают.

Отношения, доли, смеси

Отношение

3 : 5

— всего

3 + 5 = 8

равных частей

Разделить $N$ в отношении $a : b$ : одна часть $= \frac{N}{a + b}$ , доли равны $a$ и $b$ таких частей. Доля в процентах: $\frac{b}{a + b} \cdot 100 %$ .

Длины двух рек относятся как $3 : 7$ , одна длиннее другой на $48$ км. Найдите длину большей реки.

Разница — это $7 - 3 = 4$ части: одна часть $48 : 4 = 12$ км.
Большая река: $7 \cdot 12 = 84$ . Ответ: 84.

Мальчиков в школе $54 %$ , их на $40$ больше, чем девочек. Сколько всего учащихся?

Девочек $46 %$ ; разница $54 % - 46 % = 8 %$ — это $40$ человек.
$1 %$ — $5$ человек, всего $500$ . Ответ: 500.

Подробнее: концентрация и среднее арифметическое

Концентрация — доля вещества в растворе. При добавлении воды масса вещества не меняется. К $5$ кг $20$ -процентного раствора добавили $3$ кг воды: вещества $5 \cdot 0, 2 = 1$ кг, раствора $8$ кг, концентрация $\frac{1}{8} = 12, 5 %$ .

Среднее арифметическое: сумма $=$ количество $\times$ среднее. Шесть чисел со средним $10$ дают сумму $60$ ; с седьмым числом среднее $11$ , сумма $77$ , значит седьмое число $77 - 60 = 17$ .

Шпаргалка номера

Задача	Действие
$p %$ от $A$	$A \cdot \frac{p}{100}$
Всё по части ( $p %$ )	часть $\cdot \frac{100}{p}$
Рост / снижение на $p %$	$\times (1 \pm \frac{p}{100})$
Что было до изменения	стало $: (1 \pm \frac{p}{100})$
На сколько процентов	$\frac{стало - было}{было} \cdot 100$
Два изменения	множители перемножают
Отношение $a : b$ от $N$	часть $\frac{N}{a + b}$ ; доля $\frac{a}{a + b}$
Концентрация	$\frac{вещество}{весь раствор} \cdot 100 %$
Среднее	сумма $=$ количество $\times$ среднее

Задания открытого банка ФИПИ «Задание 15 (часть 2). Простейшие текстовые задачи: проценты» (базовый уровень). Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую, без единиц измерения.

Неофициальная копия. Условия заданий — из открытого банка заданий ФИПИ (fipi.ru); номер у каждого задания открывает его в банке ФИПИ. Ответы, подсказки, разборы и рисунки подготовлены reknow.ru. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0