ФИПИ · ЕГЭ · Базовый уровень · Задание 14

Задание 14 (часть 5). Вычисления

140 заданий открытого банка ФИПИ: впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Задание 14 — найти значение числового выражения: с обыкновенными и десятичными дробями, степенями или корнями. Калькулятора нет, поэтому важны порядок действий и аккуратность.

Ответ — целое число или конечная десятичная дробь, может быть отрицательным (например, −8,2). Задание оценивается в 1 балл.

Обыкновенные дробиСмешанные числа, общий знаменатель, деление дробей, «многоэтажные» дроби.

Десятичные дробиДействия с десятичными, переход между десятичной и обыкновенной записью.

СтепениСвойства степеней с целым показателем,

(- 1)^{n}

, запись вида

a \cdot 1 0^{n}

КорниПроизведение и частное корней,

(k a)^{2}

, разность квадратов.

Обыкновенные дроби

Порядок действий: скобки → степени → умножение и деление слева направо → сложение и вычитание. Смешанное число переводят в неправильную дробь: $2 \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$ .

\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a d \pm b c}{b d} \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a c}{b d}, \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

складывают после приведения к общему знаменателю; делят — умножая на перевёрнутую дробь

\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{5}{12}

: общий знаменатель — наименьшее общее кратное

4

6

Найдите $(1 \frac{1}{4} + 2 \frac{2}{5}) \cdot 20$ .

Удобнее раскрыть скобки: $1 \frac{1}{4} \cdot 20 = \frac{5}{4} \cdot 20 = 25$ , $2 \frac{2}{5} \cdot 20 = \frac{12}{5} \cdot 20 = 48$ .
$25 + 48 = 73$ . Ответ: 73.

Найдите $5 \frac{1}{4} : (1 \frac{1}{3} + \frac{1}{6})$ .

$1 \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{8}{6} + \frac{1}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ .
$\frac{21}{4} : \frac{3}{2} = \frac{21}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{7}{2} = 3, 5$ . Ответ: 3,5.

$2 \frac{3}{5}$ — это $2 + \frac{3}{5}$ , а не $2 \cdot \frac{3}{5}$ . И $- 2 \frac{1}{3} = - (2 + \frac{1}{3})$ , минус относится ко всему числу.

Приёмы для дробей

Найдите $48 \cdot (\frac{19}{48} - \frac{11}{24} - \frac{7}{12})$ .

Умножим $48$ на каждую дробь: $19 - 22 - 28$ .
$= - 31$ . Ответ: −31.

Найдите $\frac{1}{\frac{1}{6} - \frac{1}{10}}$ .

Знаменатель: $\frac{5}{30} - \frac{3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$ .
$1 : \frac{1}{15} = 15$ . Ответ: 15.

Перед вычислением посмотрите, не сокращается ли что-нибудь: множитель перед скобкой часто делится на все знаменатели, а числитель и знаменатель дроби — на одно и то же число.

Десятичные дроби

Дроби, которые полезно помнить
$\frac{1}{2} = 0, 5$	$\frac{1}{4} = 0, 25$
$\frac{3}{4} = 0, 75$	$\frac{1}{5} = 0, 2$
$\frac{1}{8} = 0, 125$	$\frac{1}{20} = 0, 05$
$\frac{1}{25} = 0, 04$	$\frac{3}{8} = 0, 375$

В конечную десятичную дробь переводится только дробь, знаменатель которой (после сокращения) раскладывается на двойки и пятёрки. Если в выражении есть $\frac{1}{3}$ или $\frac{1}{7}$ , считайте в обыкновенных дробях.

Перенесите запятую в делимом и делителе на одно и то же число знаков вправо, чтобы делитель стал целым: $6, 3 : 2, 1 = 63 : 21 = 3$ .

Найдите $6, 3 : (2 \frac{1}{4} - \frac{3}{20})$ .

$2 \frac{1}{4} = 2, 25$ , $\frac{3}{20} = 0, 15$ , разность $2, 1$ .
$6, 3 : 2, 1 = 3$ . Ответ: 3.

Найдите $\frac{3 , 6 - 9 , 6}{1 , 5}$ .

Числитель: $3, 6 - 9, 6 = - 6$ .
$- 6 : 1, 5 = - 4$ . Ответ: −4.

Степени

a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}, \frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n} (a^{m})^{n} = a^{mn}

при умножении показатели складывают, при делении вычитают, при возведении в степень перемножают

Нулевой и отрицательный

a^{0} = 1

a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}

при

a \neq = 0

Произведение

(ab)^{n} = a^{n} b^{n}

;

1 2^{5} = 3^{5} \cdot 4^{5}

Степени $- 1$

(- 1)^{чётн} = 1

(- 1)^{нечётн} = - 1

;

(- 10)^{3} = - 1000

Найдите $\frac{5 ^{- 4} \cdot 5 ^{7}}{5 ^{2}}$ .

Показатель: $- 4 + 7 - 2 = 1$ .
$5^{1} = 5$ . Ответ: 5.

Найдите $\frac{6 ^{5}}{2 ^{3} \cdot 3 ^{4}}$ .

$6^{5} = 2^{5} \cdot 3^{5}$ .
$\frac{2 ^{5} \cdot 3 ^{5}}{2 ^{3} \cdot 3 ^{4}} = 2^{2} \cdot 3 = 12$ . Ответ: 12.

Отрицательный показатель не делает число отрицательным: $2^{- 3} = \frac{1}{8} = 0, 125$ . Свойства работают только для одинаковых оснований: $2^{3} \cdot 3^{2}$ не равно $6^{5}$ .

Числа со степенями 10

Умножение на

1 0^{n}

сдвигает запятую на

n

знаков вправо, на

1 0^{- n}

— влево

(a \cdot 1 0^{m}) (b \cdot 1 0^{n}) = ab \cdot 1 0^{m + n} \frac{a \cdot 1 0 ^{m}}{b \cdot 1 0 ^{n}} = \frac{a}{b} \cdot 1 0^{m - n}

числа перемножают отдельно, степени 10 — отдельно

Найдите $(1, 2 \cdot 1 0^{3}) \cdot (4 \cdot 1 0^{- 5})$ .

$1, 2 \cdot 4 = 4, 8$ , $1 0^{3 + (- 5)} = 1 0^{- 2}$ .
$4, 8 \cdot 1 0^{- 2} = 0, 048$ . Ответ: 0,048.

Найдите $7, 2 \cdot 1 0^{3} + 3, 1 \cdot 1 0^{2}$ .

Складывать можно только обычные числа: $7200 + 310$ .
$= 7510$ . Ответ: 7510.

При делении: $\frac{6 , 4 \cdot 1 0 ^{5}}{1 , 6 \cdot 1 0 ^{- 2}} = 4 \cdot 1 0^{7} = 40000000$ . Проверьте число нулей ещё раз — это самое частое место ошибки.

Корни

ab = a \cdot b, \frac{a}{b} = \frac{a}{b} (a)^{2} = a

при

a \geq 0

b > 0

; корни перемножают и делят, но не складывают

Разность квадратов:

a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)

Найдите $(32 - 5) (32 + 5)$ .

$= (32)^{2} - (5)^{2} = 9 \cdot 2 - 5$ .
$= 13$ . Ответ: 13.

Квадрат с множителем

(k a)^{2} = k^{2} a

\frac{( 5 3 ) ^{2}}{15} = \frac{75}{15} = 5

Раскрыть скобки

(27 - 3) 3 = 81 - 3 = 9 - 3 = 6

Под одним корнем

0, 8 \cdot 45 = 36 = 6

;

\frac{98}{2} = 49 = 7

Степени под корнем

2^{6} \cdot 3^{2} = 2^{3} \cdot 3 = 24

$(23)^{2} = 4 \cdot 3 = 12$ , а не $6$ и не $36$ : в квадрат возводится и множитель $2$ , и корень.

Шпаргалка номера

Тема	Правило
Смешанное число	$n \frac{a}{b} = \frac{nb + a}{b}$
Деление дробей	$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$
Десятичные	$\frac{1}{2} = 0, 5$ , $\frac{1}{4} = 0, 25$ , $\frac{1}{8} = 0, 125$ , $\frac{1}{5} = 0, 2$ ; при делении сдвиг запятой у обоих чисел
Степени	$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ , $\frac{a ^{m}}{a ^{n}} = a^{m - n}$ , $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ , $a^{0} = 1$ , $a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$
Степени 10	$\cdot 1 0^{n}$ — запятая на $n$ знаков вправо, $\cdot 1 0^{- n}$ — влево
Корни	$a b = ab$ , $(k a)^{2} = k^{2} a$
Разность квадратов	$(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$
Проверка	ответ — целое или конечная десятичная дробь; получилось $\frac{1}{3}$ — ищите ошибку

Задания открытого банка ФИПИ «Задание 14 (часть 5). Вычисления» (базовый уровень). Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую, без единиц измерения.

Неофициальная копия. Условия заданий — из открытого банка заданий ФИПИ (fipi.ru); номер у каждого задания открывает его в банке ФИПИ. Ответы, подсказки, разборы и рисунки подготовлены reknow.ru. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0